探究力：小學數學教學的核心價值追求之一——HPM視角下復習課“無邊界學習”探思

嚴兵

探究力：小學數學教學的核心價值追求之一——HPM視角下復習課“無邊界學習”探思

嚴兵

小學數學復習課以鞏固整理、查漏補缺和發展提高為主要目標。除了使學生在復習中鞏固、掌握基本知識與技能外，教師還可以從HPM視角出發，讓學生參與到創造性活動中去，進一步積累數學活動經驗，提高數學探究力，從而使復習課教學達到“無邊界學習”的理想狀態。

復習課；探究力；HPM視角；“無邊界學習”

數學探究力，是指學生在求索、質疑、檢驗的過程中形成和發展起來，并用于解決數學問題的個性心理特征。新課標提出數學教學活動“應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎……教學中注重結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑”。作為一種積極的思維方式，數學反映了人們積極進取的意志、縝密的邏輯推理以及對完美境界的追求。作為文化的一部分，數學最根本的特征是它體現了一種探索精神。在被大多數教師忽視的復習課中，更要著力激活學生的思維，提高學生的數學探究力。

一、從“快遞”到“自取”：引導學生學會探究

快捷、高效是物流業追求的服務標準，若應用于教育則弊端重重。很多教師為追求學生考高分，復習課以應試為中心，忽視了學生的創造與生成。

筆者一直致力于改變“快遞式”復習的現狀，倡導教師不做“分揀員”（代替學生整理知識體系），不當“送件員”（在學生面前匆匆丟下知識包裹）。教師應喚醒學生“自取式”復習的意識：創設情境讓學生在活動中自主探索、整理、發現；靈活運用觀察、對比、綜合、分析來溝通知識之間的聯系；重視在課堂上的有效指導，幫助學生主動經歷數學知識的發生、發展與形成過程，幫助他們理解和掌握數學思想和方法；引導學生提出問題、深入思考、反復研究，并在收集、組織、創造、操作、交流的過程中，提高他們的觀察、想象、思維和應用等能力……教師在開發復習課程時可以從HPM視角出發，在復習課中營造濃厚的探究氛圍，使學生主動構建知識體系，從“學會知識”到“學會探究”，以期達到理想的復習狀態。

二、HPM視角：關注兒童身上的數學生長史

德國生物學家?？藸栒J為：“兒童精神的發展不過是系統發生進化的一個簡短復制?！狈▏鴶祵W家龐加萊說：“動物學家認為，動物胚胎的發育還在短暫的期間內，經過其祖先演化過程的一切地質年代而重演其歷史，看來思維的發展亦復如此。教育工作者的任務，就是要使兒童思想的發展踏過前人的足跡，迅速地走過某些階段?！痹跀祵W教學中，重演法則意味著學生學習數學在某種程度上將重演古人數學思考和探索的過程。1972年，在第二屆國際數學教育大會上成立了數學史與數學教育之間的關系（History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）國際研究小組。

HPM視角下的小學數學教學既不能照搬高校的研究成果，也不是將數學家的故事、歷史名題等簡單地融入課堂?？梢哉f，兒童學習數學的過程對應著歷史上漫長的數學發展初期，每個兒童的數學學習過程又是一部豐富的、個性化的數學生長史。因此，HPM視角下的小學數學教學要注重兩點：一是關注“快閃式”重演的過程。越初始的數學歷時越漫長，如負數的產生就經過了數千年的時間，要在簡短的時間內重演如此漫長的過程，就要為兒童創設HPM視角下全新的問題情境，引領兒童在現實情境下“快閃式”重演古人思考與探索的過程。二是定位在兒童視角。研究HPM視角下的小學數學教學，教師必須把目光聚焦在兒童身上，用兒童的眼光發現問題，從兒童的實踐與思考中挖掘他們身上的數學生長過程，讓他們在愉悅的探究中發展自己的數學生長史，在反思自己成長的過程中加深對數學的理解，從而提升數學探究力。

三、HPM視角下復習課的實踐反思

在以往的研究中，筆者提出了小學數學“無邊界學習”的理念：倡導生活與經驗、游戲與學習、預設與生成的無邊界，倡導師生關系、課程資源、學科以及目標評價的無邊界。小學數學復習課是 “無邊界學習”的重要領域，教師要引導學生追問數學的發展歷程，追溯數學的內涵、邏輯思維方式的衍化和發展過程。師生應站在現代數學的成果上，從源頭厘清數學的發展規律、認清它的邏輯思維方式，使學生更好地理解數學。教師可以從HPM視角對復習內容進行創新設計，在提升學生探究力的同時提高其數學素養。

1.探究中促進理解。

復習蘇教版五下《分數的意義》，在讓學生說涂色部分用什么分數表示時，筆者故意給學生一組沒有平均分的圖形，促使他們先去平均分，再數一數總份數和涂色部分所占的份數，使他們深刻地理解“平均分”的必要性、單位“1”的含義以及“分數分數，先分后數”的意義。

教學中，教師讓學生拿一根長80cm的線去測量課桌面的寬（40cm）與長（60cm），學生主動探索，用對折一次后的繩子去量寬，用對折兩次后的繩子去量長，得出寬與長分別是繩長的學生在探索中懂得了分數與分數單位產生于度量的需要，從HPM視角體驗到了“量起源于量”的含義。

學生在理解分數意義時出現障礙是數學發展過程中所經歷困難的“再現”。在HPM視角下，教師可以選擇與學生生活實踐相關的內容進行滲透，以現實情境展示數學發展史，讓他們主動探索結論，去經歷歷史上數學家曾經歷的測量、計量等過程，這樣能更好地在學生腦海中建立知識點之間、數學與生活之間的聯系，使他們更深刻地理解分數的意義。

2.探究中聚焦問題。

學生從一年級就開始學習用直線上的點來表示數，但一直沒有形成完整的認識，在“數與代數”總復習時，學生心中仍有許多疑問：如何用直線上的點表示出所學過的每個數？直線上的點有無數個，是不是每個點都與某個數相對應？是不是一個點對應一個唯一的數？……教師激起學生的探究興趣后，引導他們提出數學問題并交流討論，使學生在腦中產生并逐步豐富數軸這一數學模型，同時復習了數的分類與意義。

復習課教師結合學生逐步豐滿的數軸學習史，提升了學生的幾何直觀能力，滲透了數形結合思想，使其對數的認識更加豐富完整。課堂上師生關系無邊界，教師作為引導者、合作者，激勵學生提出問題、交流討論，使其獲得了許多新的發現。

3.探究中引發猜想。

學過蘇教版五上《釘子板上的多邊形》后，一些學生很快便忘記了結論。復習時，教師可以先根據表格，引導學生大膽猜測多邊形的面積與什么有關。學生各抒己見：有的說與多邊形邊上的釘子數有關，有的說與多邊形內部的釘子數有關，還有學生猜想和兩者都有關系……猜想激發了學生的探究熱情，他們開始主動交流見解：有的圖形面積大，經過的釘子數卻不多；并不是內部的釘子數越多面積就越大；有三個圖形邊上的釘子數相同，但面積不同；有兩個圖形內部釘子數與邊上釘子數一樣，面積也一樣……教師繼續引導：如何才能研究出多邊形的面積與釘子數的關系？學生紛紛表示需要分類研究。

對學生而言，能否發現規律其實并不重要，得出結論更不是終極追求，讓他們經歷提出猜想、探索發現、驗證反思的完整的探究過程才是真正有意義、有價值的。數學正是在猜想、出錯中發展的，猜想對學生提高探究力、理解數學內容和思想方法有極大的幫助，可見，教師抓住適當的、有價值的數學問題是多么重要的事情。美籍匈牙利數學家波利亞認為：“教師不但要教學生運用演繹思維證明問題，而且要教學生猜測問題，既要教正規的演繹推理，又要教非正規的合情推理?！痹贖PM視角下，復習課要培養學生的探究能力，可以選取合適的內容，采用讓學生自己發現的方法來教學，引導學生利用教師提供的材料提出研究題目，像數學家那樣，親自去發現所要學習的結論，認識數學的本源與特質。此時，教師向學生呈現的不僅是明確的數學知識，更多的是知識的創造過程，師生之間創造出一種無邊界的、雙向的探索與研究的氛圍。

4.探究中強調實踐。

為了激發學生的學習熱情和主動探究精神，鼓勵學生與同伴合作并交流自己的想法，在總復習時，筆者帶領學生進行“黃金比”知識的探索。課上，學生通過發現、感悟、嘗試、創造等一系列活動，對黃金分割有了豐富的、多元的了解，通過探索自主設計出了黃金矩形，又從花瓣數中發現了斐波那契數列。課快結束時，筆者拿出一段枝葉，說：“同學們，你們把自己想象成太陽，從莖的頂端向下看，會發現第一層和第二層的兩片葉子之間的角度大約是137.5°，第二層和第三層，第三層和第四層……每兩層葉子之間都是這個角度，這是什么原因呢？課后去破譯這個密碼吧?！闭绾诟駹査f：“數學是上帝描述自然的符號?！卑褦祵W上升到哲學的高度，不僅給學生帶來了探究熱情，還留下了無盡的遐想。

動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式，教師應引導學生主動開展觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。每學期安排數次動手操作能力復習與考核，如測量學校操場面積、設計旅游計劃、測量大樹高度、畫出大蒜生長高度隨時間變化的統計圖等，這些動手操作作業需要學生在數學思維的積極參與下，在特定的環境中進行探索、研究活動，讓學生在實驗與操作過程中和數學家一樣，更深刻地去探究數學。

5.探究中重視創造。

復習“正比例圖像”時，筆者以“烏鴉喝水”的故事為例，引導學生描述函數圖像、讀懂函數圖像。在故事中，假設從烏鴉看到瓶的那一刻起向后的時間為x，瓶中水位的高度為y，如圖1所示的函數圖像，哪個最符合故事情景？

（圖1）

引導學生探究后，他們發表見解：烏鴉在沉思的這段時間內水位沒有變化，排除C；烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位將會上升，排除A；烏鴉喝水后的水位應不低于一開始的水位，排除B。學生對D的解釋是：剛開始水位較低，烏鴉沉思一會后才想出辦法，說明在沉思的這段時間內水位沒有變化。烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升，烏鴉放石子越來越熟練，加上瓶口較細，上升加快。水面快滿的時候，烏鴉開始喝水，一直到喝不到為止，烏鴉喝水后的水位應高于一開始的水位……學生甚至能改編故事，畫出不同的動態圖，如有位學生畫出圖2，他的解釋是：烏鴉迫不及待地要喝水，水位每上升一點就喝一點，水不夠喝時就往瓶中丟小石子，如此循環直到喝不到為止。

（圖2）

這就是兒童的數學探究過程，也是兒童數學生長史的展現。兒童的數學生長過程與數學家不同，兒童就是兒童，教師要抓住兒童的特點來促進其生長，既要創設新奇刺激、親切有趣的情境，又要讓他們感受到圖像中蘊含的信息，從熟悉的現實情境中理解問題并完成抽象、創造過程。

數學知識的習得都會經歷觀察、實驗、交流、分析、綜合、推理、總結等過程，教師應注重誘發學生探究學習的內在動力，引導學生學會思考、積極探索。在開發復習課程時，教師可以從HPM視角出發，著力創設有吸引力、真實、切合兒童實際需要又符合知識產生、發展規律和順序的探究性學習情境。在HPM視角下，學生進行探究性學習時，教師應對某一概念或體系形成的關鍵點進行引導，讓學生經歷關鍵的探究活動，經歷思維原過程，同時進行適當的指導，不斷豐富學生的學習內容，增加學生對數學的興趣，使他們在探索交流的過程中獲得知識。這對培養學生不畏困難、勇往直前的探索精神有著不可忽視的作用，可使數學復習課的“無邊界學習”更加生動且富有感染力。

［1］杜永寧.基于數學文化的小學數學課堂教學策略［J］.科學咨詢，2010（11）

［2］王萬先，譚世康.略談數學史與創新精神的培養［J］.科教導刊，2010（27）.

［3］汪曉勤，張小明.HPM研究的內容與方法［J］.數學教育學報，2006（1）.

注：本文獲2015年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。

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1005-6009（2016）52-0036-03

嚴兵，江蘇省句容市實驗小學（江蘇句容，212400）副校長，一級教師。