基于CWLS的多運動站TDOA/GROA輻射源定位算法

孫 順，董 凱，修建娟，劉 瑜

(海軍航空工程學院 信息融合研究所，煙臺 264001)

工程與應用 doi:10.3969/j.issn.1673-5692.2016.05.015

基于CWLS的多運動站TDOA/GROA輻射源定位算法

孫 順，董 凱，修建娟，劉 瑜

(海軍航空工程學院 信息融合研究所，煙臺 264001)

針對多運動站的到達時間差(TDOA)和到達增益比(GROA)的輻射源定位問題，提出了一種無源定位算法。傳統定位模型需要利用中間變量構造線性方程,不適用于多運動站連續定位。針對該問題，本文推導了無需中間變量的TDOA/GROA聯合定位模型，然后根據量測模型推導了誤差項，并推廣到所有歷史量測，提出了基于約束加權最小二乘(CWLS)的多運動站輻射源定位算法，最終通過對加權矩陣和約束矩陣進行廣義特征值分解得到目標的狀態估計。所提算法避免引入中間變量帶來冗余的問題，無需初始化過程,性能更加穩健。仿真結果表明該算法性能逼近克拉美羅下界(CRLB)且是漸進無偏的。

輻射源定位；約束加權最小二乘；時差；增益比；中間變量

0 引 言

隨著信息技術的快速發展，無源定位技術已經成為信號處理領域的重要研究課題，并廣泛應用于雷達[1]、聲吶[2]、無線通信[3]、無線傳感器網絡[4]等領域。時差(TDOA)定位體制是多站無源定位中最常見的體制，具有穩定、高精度等優點。目前的時差定位算法中，多通過引入額外的中間變量(輻射源到參考觀測站的徑向距離)建立線性時差方程。在此定位模型基礎上，文獻[5]給出了經典的兩步加權最小二乘(TS-WLS)算法，文獻[6]則給出了對其改進后的BiasSub法和BiasRed法；文獻[7]提出了總體最小二乘(TLS)算法，改善了定位精度；通過考慮中間變量和輻射源之間的約束關系，文獻[8]提出了二次約束的最小二乘算法，但是計算量太大，文獻[9]提出了約束總體最小二乘(CTLS)算法，文獻[10]提出了約束加權最小二乘(CWLS)算法，進一步提高了定位精度。另一方面，由于輻射源信號會隨著傳播而產生能量衰減，Ho等人嘗試將達到增益比(GROA)加入到TDOA體制中，利用GROA量測對中間變量的修正，改善對輻射源的定位精度[11]，文獻[12]對文獻[11]的方法進行了改進。文獻[13]和文獻[14]提出了聯合TDOA/GROA信息的CTLS方法和CWLS方法，進一步提高了定位精度。以上都是使用的基于中間變量的定位模型的定位算法，對于多運動站的情況下，由于觀測站不斷運動，中間變量即輻射源到參考觀測站的徑向距離也在不斷變化，使得上述定位模型及其算法無法直接推廣到多運動站連續定位，需要建立新的定位模型。

文獻[15]研究了時差瞬時定位方程，通過對雙曲線方程進行轉化，得到了只與目標狀態向量有關的線性方程，從而避免了引入中間變量。文獻[16]基于此模型推導了TDOA連續定位算法，在此基礎上，本文推導了GROA定位模型，并提出了一種基于CWLS的TDOA/GROA聯合定位算法，并對其性能進行了理論分析與仿真驗證。

1 無需中間變量的TDOA/GROA聯合定位模型

1.1 TDOA定位模型描述

(i=1,2,…,M-2)

(1)

采用文獻[16]的方法對式(1)做變換，可得無測量誤差時的TDOA線性方程為

(2)

式中：

其中，c為光速。

圖1 典型定位場景示意圖

實際到達距離差(RDOA)測量值中含有測量噪聲

(3)

(4)

(5)

式中：T為觀測時間，ω為信號帶寬，ρ=Psignal/Pnoise為信號的信噪比，Psignal和Pnoise分別為信號和噪聲的功率譜密度函數，IM-1為M-1階單位矩陣，1(M-1)×(M-1)為M-1階全1矩陣。

原有需要中間變量的TDOA定位模型通過兩步最小二乘的方法，需要先得到目標狀態和中間變量的聯合估計值，然后利用約束條件對待求的目標狀態進一步求精。由式(1)和式(2)可知該TDOA定位模型不需要估計中間變量，減少了待估計參數數量，簡化了算法流程，達到去冗余的目的，也沒有增加其他觀測量，適用于多運動站的無源定位。

1.2 TDOA/GROA聯合定位模型推導

為推導無需中間變量的TDOA/GROA聯合定位模型，首先推導基于GROA的定位模型。

根據信號傳播理論，不考慮多徑效應時，信號的傳播損耗與信號源和傳感器之間距離的n次方成正比，在自由空間中，可將損耗因子n設定為常數2[17]，則

(6)

(i=2,3,…,M)

(7)

(i=3,4,…,M)

(8)

這樣我們就得到了無測量誤差時的GROA線性方程

(9)

式中：

實際到達增益比測量值中含有測量噪聲

(10)

(11)

(12)

原有需要中間變量的GROA定位模型通過聯合TDOA和GROA量測方程得到ri1=(gi1-1)D1，可知原模型通過加入GROA量測信息提高對中間變量D1的估計精度，進而提高算法性能，并沒有通過GROA量測直接改善目標定位精度。由式(8)和式(9)可知所提無需中間變量的GROA定位模型能夠直接估計目標狀態，并避免引入中間變量，適用于多運動站的無源定位。

綜上所述，通過引入GROA定位模型，構建TDOA/GROA聯合定位模型，可以充分利用GROA中包含的目標位置信息，提高算法性能，并且保持了無需中間變量的優點，適用于多運動站對固定目標的連續定位。其聯合定位模型為

(13)

2 基于CWLS的無源定位算法

(14)

將式(15)帶入式(13)，整理后可得

bk-Akx=Δbk-ΔAkx=Ckvk

(16)

定義加權矩陣

(17)

從而得到加權最小二乘(WLS)算法的最小化代價函數為

(18)

其定位解的解析表達式為

(19)

將WLS定位解推廣到前k時刻的所有觀測量，可得

(20)

(21)

因為回歸變量和回歸從屬變量之間的誤差相關性[6]，所以WLS算法是有偏的，因此將其建模為CWLS模型[6][18]。

定義增廣矩陣

Au=[-Ab]

(22)

和增廣解向量

X=[x 1]T

(23)

易得

(24)

式中：

則式(20)可被重寫為

(25)

帶入式(24)并對ε求期望，可得平均代價函數為

(26)

正是第二項的存在，當最小化E(ε)時，使解偏離真值從而產生偏差。因此，當約束第二項為常數時，E(ε)將在X取得真值時達到最小值。于是可構造CWLS問題為

(27)

(28)

(29)

注意到隨著時間的推進，矩陣維數快速增大，導致計算量劇增，可利用式(30)和式(31)避免高維矩陣直接相乘，從而減小計算量，也可以對該算法加窗處理[20]，提高算法的實時性。

(30)

(31)

3 性能仿真與分析

對2維空間而言，至少需要4個觀測站才能得到閉式解，仿真中選用4個運動觀測站采用TDOA/GROA聯合定位體制對固定輻射源連續定位，觀測站的初始狀態如表1所示，固定輻射源位于(200 km,300 km)處。設采樣點數為Tω/π=200 000，連續觀測200個周期?？疾斓趉周期輻射源狀態估計的均方根誤差(RMSE)為

(32)

表1 觀測站的初始狀態

(1)連續定位算法比較

圖2 不同算法連續定位性能對比

從圖2可以看出隨時間的推移，三種算法的定位誤差不斷下降。其中RLS算法在第30周期后，開始快速偏離CRLB，這是因為該算法僅對各時刻的瞬時定位結果進行了平滑，并沒有充分利用歷史量測信息。本文所提的WLS算法和CWLS算法能夠充分利用所有量測信息，使定位性能逼近CRLB，其中CWLS算法由于引入約束矩陣，使其優于WLS算法，定位精度更高，收斂速度更快。

(2)信噪比對定位性能的影響

設帶寬因子c/ω為100 m，蒙特卡羅次數N=100，改變信噪比SNR，圖3分別給出了RLS算法，WLS算法，CWLS算法與CRLB定位性能比較的曲線圖。

圖3 定位RMSE隨SNR變化對比

由圖3可知，隨著SNR減小，以上三種算法的定位精度均有不同程度下降。其中RLS算法由于對歷史量測利用有限，在整個SNR范圍內都無法達到CRLB的估計精度，SNR小于-23 dB時，產生門限現象，大幅度偏離CRLB。WLS算法在高信噪比情況下能夠逼近CRLB，但由于其算法是有偏的，隨著量測噪聲增加，SNR小于-10 dB時，開始緩慢偏離CRLB。本文所提的CWLS算法性能明顯優于以上兩種算法，能夠達到CRLB的定位精度，直到SNR小于-23 dB時，算法性能才開始偏離CRLB。

(3)帶寬因子對定位性能的影響

固定SNR為20 dB，其他仿真條件不變，以上算法性能隨帶寬因子的變化情況如圖4所示。

圖4 定位RMSE隨c/ω變化對比

由圖4可知，RLS算法的定位RMSE隨著c/ω的增加而下降，并且在整個c/ω范圍內比CRLB高5 dB 以上。當c/ω小于46 dB時，所提的WLS算法和CWLS算法都能達到與CRLB相同的定位精度，當c/ω大于46dB時，WLS算法開始偏離CRLB，但CWLS算法偏離較小，其定位RMSE優于WLS算法。

由于假設采樣點數Tω/π不變，隨著c/ω增大，采樣間隔T增大，觀測站運動路程也在增加。當c/ω增大到30 dB以后，飛機接近并飛過觀測站1、2、3和目標共線的位置，由文獻[22]可知，在該區域附近T型布置觀測站對目標的觀測精度有所改善，導致36 dB后的觀測精度都有所提升，并隨著c/ω增大逐漸降低。

設采樣點數Tω/π=20 000，SNR為20 dB，其他條件不變，將TDOA/GROA聯合定位性能與僅用TDOA量測的定位性能進行仿真比較，其結果如圖5所示。

圖5 不同定位體制對定位RMSE影響隨c/ω變化對比

由圖5可知，當c/ω較小(小于50 dB)時，TDOA/GROA聯合定位體制與僅用TDOA的定位體制的定位性能基本一致，當c/ω較大(大于50 dB)時，TDOA/GROA聯合定位體制的定位性能更加優秀；相同定位體制時，相對于WLS算法，CWLS算法性能更優。

通過觀察式(4)和式(11)中TDOA和GROA的量測噪聲協方差，并對其作商，可得

(33)

由上式可知，隨著c/ω的增大，雖然TDOA和GROA的量測誤差都在增大，但相對于TDOA量測信息，GROA量測擁有相對更高的量測精度，其對定位性能的貢獻應當更大。這也就解釋了當c/ω較大時，TDOA/GROA聯合定位體制的優越性，表明所提GROA定位模型是有效的。

(4)CWLS算法偏差分析

令信噪比分別為-7 dB、-4 dB、0 dB，其他條件與1)小節一致，考察第k周期目標狀態估計的偏差

(34)

仿真結果如圖6所示。由圖6可知，不同SNR條件下，隨著觀測時間的增加，本文CWLS算法的偏差趨于零，說明該算法是漸進無偏的。同時可知SNR越小，算法收斂越快。

圖6 不同SNR下CWLS算法偏差

4 結 語

推導無需中間變量的TDOA/GROA聯合定位模型，帶入量測模型推導了誤差項，并推廣到所有歷史量測，進而提出了CWLS連續定位算法，并給出了求解方法。所提算法充分利用歷史量測數據，并且不需要初始化，適用于多運動站無源定位的情況。仿真結果表明該方法的定位精度逼近CRLB且是漸進無偏的。

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孫 順(1992—)，男，山東人，主要研究方向為無源定位、誤差配準、信息融合；

E-mail:sunms7@qq.com

董 凱(1986—)，男，湖南人，博士，主要研究方向為雷達數據處理、系統仿真；

修建娟(1971—)，女，山東，博士，副教授，主要研究方向為無源定位、雷達數據處理；

劉 瑜(1986—)，男，湖南人，博士，主要研究方向為多傳感器信息融合。

A Passive Source Localization Algorithm with Multiple Moving Observers Using TDOA/GROA Measurements Based on CWLS

SUN Shun, DONG Kai, XIU Jian-juan, LIU Yu

(Research Institute of Information Fusion, Naval Aeronautical andAstronautical University, Yantai 264001, China)

This paper proposes a algorithm to solve the problem of passive source localization with multiple moving observers using time differences of arrival (TDOA)and gain ratios of arrival (GROA)measurements.Traditional localization model introduces an intermediate variable to construct the linear equation, which is not suitable for the occasion of continuous localization with multiple moving observers.Therefore, a TDOA/GROA joint localization model without the intermediate variable is established for the problem.First, error items are derived on the basis of measurement model, generalized to all history measurements, and passive source localization algorithm based on constrained weighted least squares(CWLS)is proposed.Finally, target state estimation is obtained through generalized eigendecomposition of weighted matrix and constrained matrix.The proposed algorithm avoids redundancy caused by intermediate variable, doesn't require initialization process and has robuster performance.Simulation results indicate that the proposed algorithm achieves the Cramér-Rao lower bound (CRLB)and has an asymptotically unbiased solution.

source localization; constrained weighted least squares; time difference of arrival; gain ratio of arrival; intermediate variable

2016-06-18

2016-09-25

國家自然科學基金項目(61471379, 61102166, 91538201)

：A

1673-5692(2016)05-540-07