數學教學的理性、規范與舉措

江蘇蘇州吳中區木瀆實驗中學 (215101)

周先榮

江蘇省蘇州市蘇苑高級中學 (215000)

張國棣

數學教學的理性、規范與舉措

江蘇蘇州吳中區木瀆實驗中學 (215101)

周先榮

江蘇省蘇州市蘇苑高級中學 (215000)

張國棣

現代數學教師特別是年輕教師學歷普遍較高，其中越來越多的教師不是師范科班出身.如何將專業知識形態轉化為教育教學形態，形成有特色的個人核心專業素養，本文從理性、規范與舉措幾個方面來探討，不妥之處，請斧正！

一、認識原理，生成理性思考

腳手架原理、思維遷移原理、最近發展區原理、原生態教學原理，這四個原理讓我們更加理性的去認識教學，從宏觀上指明了數學教學的行為走向.

1.腳手架原理

老師是學生學習過程中活動的腳手架.數學活動過程的基本特征是層次性，這種層次性通常表現為一系列的“臺階”，而臺階間的潛在距離往往左右學習的效率，距離遠學生斷了念頭；距離近，吊不起胃口，教師必須運用“腳手架”原理給學生設置好“臺階”.這對老師要求很高，方法上具有高度的靈活性，思想上具有創新性，能夠真正發展學生的內在品質：精神性、創造性、生成性、先進性、實用性、拓展性和時代性.

首先要調動學生的學習情感、激發學習興趣.因為學習情感、學習興趣的生成不是老師硬性規定的行為，而是一種非常自然的學習狀態.然后，利用學生求新、好奇、渴望成功的心理特點和思考問題的方式，以及解決問題的行為習慣，創造出奇、合理科學的問題，激發學生智力與非智力因素出現最佳活躍狀態，表現出勇于探索、大膽質疑的精神狀態；觀察敏銳、想象豐富、產生靈感的智力狀態，形成學習的內在推動力.

2.思維遷移原理

發展學生的思維是數學教學的重要任務，而發展思維的重要方式又是思維遷移.人的大腦在思考問題時，會不斷加入新的想法，將原先一些沒有聯系的事情整合成和諧的統一體.這種在一種情景下所學的內容，應用于另一種情景的現象，就是思維遷移.遷移過程包括兩部分：①過去的學習經驗對新學習的影響；②新學習內容在將來如何幫助學生.這一思維過程通常表現為：“行，是這樣，那么然后呢？”.不言而喻的是，如果學生沒有意識到現在學到的知識，在將來的情景中如何應用，他們就會對現在的學習給予很少的關注.

首先，要了解引發思維遷移的幾種類型：正遷移和負遷移；課程發展引發的遷移；學習環境激發的遷移.其次，認識影響思維遷移的幾個重要因素：知識和問題之間的相似性與關鍵屬性以及關聯性；學習情感與知識的掌握程度.最后，要把握如何在教學中更好地使用思維遷移：從過去到現在、從現在到未來的遷移；建立有效的聯系通道；辨別關鍵屬性，準確獲得正遷移；情景模擬與搭橋等等.

90年代，美國心理學家Perkins和Salomon等學者研究認為：教師幫助學生從他們先前經驗和其它新學習的內容之間找出聯系，進行抽象概括從而激發思維遷移，這就是通常說的搭橋藝術.搭橋過程一般有三種方式：①要求學生找出解決問題的方法，討論每種方法的優缺點；②采用類比的方法檢查各個系統之間的相似點和不同點；③要求學生將現有問題應用于其他情景.搭起不同問題相互聯系的通道，建立起思考問題的新模式，這對學生認識如何學習數學非常有幫助.

3.最近發展區原理

維果斯基的“最近發展區理論”，認為學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，另一種是學生可能的發展水平，兩者之間的差距就是最近發展區.教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，并超越其最近發展區而達到更高的發展水平.把握“最近發展區”，讓學生看到成功的希望，明確努力的目標，獲得前進的動力，一步一步地發展自己，一點一滴地完善自己.

4.原生態教學原理

生物的生長和環境保護都要追求原生態.那么教育呢？什么是教育的“原生態”？它應遵循的規律是什么？作為教育工作者對這個問題思考過沒有？思考過多少？教育的對象是學生、是人，所以，要談教育的“原生態”，首先要確立以人為本的理念，以學生為本的思想，不能把學生僅僅看成教育的對象、認知的群體，更重要的是要把學生看成獨立的生命主體.那么，教育就應該回歸到本應屬于生命主體的活動中去，回歸到學生具體的年齡、成長階段和時代背景中去施以自然有效的引導.無論是教育內容還是教育方式、方法都要少一點人為的雕琢，追求一種自然、和諧的原生態.

老師在原生態的教學環節下，當好腳手架，讓學生的思維不斷遷移，達到更高發展區，這樣的教學理念不可或缺.

二、遵循原則，規范教學行為

核心素養原則、預設生成原則、難易轉換原則、手段優化原則、因材施教原則，這五大原則能讓我們更好的選擇和優化教學行為，讓我們的教學行為更加科學、合理.

1.核心素養原則

發展學生的核心素養，是數學教學的根本.教育部《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》指出：“核心素養是指學生在接受相應學段的教育過程中，逐漸形成的適應個人終生發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.”重點指向：品格、毅力、自制力、好奇心、責任心、勇氣、自信心等.數學核心素養的內涵比“思想方法”“能力”“技能”等更加廣泛，它是知識、能力、態度和情感的融合，不僅包含學生的認知發展，又包括學生的非認知發展，主要體現在抽象、邏輯、建模、計算、直觀、分析等六個方面.

不同學段對數學核心素養的理解也是不一樣的.學生的數學核心素養總是在特定的情境和需要中反映出來的，其獲得也是一個循序漸進、不斷深化的過程，需要不同教育階段的長期培養和教育的連續培養.在建立核心素養體系時，既要關注數學核心素養具備的普遍性，更要關注核心素養的個性化特征，如“個性修養、自主發展”等內容.如果忽視這些，只注重記憶概念、定理、結論，并通過大量的練習來強化應用，增加熟練程度，這最多只能是提高了學生的“技能”，是短視的功利的“分數”思想，是舍本逐末的教學行為.

2.預設生成原則

對課堂教學所作的預設和勾畫只是一個藍圖，它應該是一個開放的系統而不是封閉的系統.無論課前作出多么周密的設計和預測，總還存在很多不可預知的因素，因此，這種預設決不是課堂教學中必須遵守的教條.教學中，要隨時調整課前的預設，及時創造，即興修改，創設出有利于學生進行有效學習的情景，這也是課堂教學的生成性.

科學家錢學森說過：“靈感，也就是人在科學或藝術創作中的高潮，突然出現的、轉瞬即逝的短暫思維過程.”數學思維靈感的出現往往帶有突然性，同時也可能轉瞬即逝.這種機不可失的“妙微心會”，錯過了就不會再來，往前走一步也許就能帶來柳暗花明的新意境.教師要善于捕捉這樣的瞬間，抓住機遇將“意外”變成“無法逾越的精彩”，“教學原本是即席創作.”

處理好教學方式預設性與生成性的關系是對把握課堂能力的考驗.敏銳抓住瞬間生成的教學方式，保護和發展學生的探索激情，讓學生的思維持續飛翔，使之既有“水的靈動”又有“山的沉穩”，進而“明明白白我的心”，這可能是我們所希望的課堂教學吧！

3.難易轉換原則

大難至簡，難的問題用簡單的方法解決，從簡單的問題發現深刻的道理.老師在構建問題時，要立足于學生實際，把握好難、易之間的潛在距離，讓學生“跳起來摘桃子”.所以，難、易轉換應具備以下幾個特性：

(1)挑戰性：能激發探究的欲望，促進學生積極參與，形成“不到長城非好漢”的學習韌性；

(2)體驗性：能給學生提供深刻的體驗，人人有所得，包括操作、探究的機會，讓學生親身感受、體驗數學；

(3)可及性：問題要符合學生的一般認知規律、身心發展規律，包括學生的知識經驗、能力水平、學習習慣、興趣愛好、心理狀況等；

(4)開放性：問題富有層次感，入手較易，開放性強，解決方案多，學生思維與創造的空間較大.低起點高要求，恰當把握問題的思維難度、思維跨度和思維梯度，才能使學生有不斷探索的欲望，有利于學生思維的可持續發展.正如笛卡兒所說：“從最簡單、最易懂的對象開始，依照先后次序，一步步達到更為復雜的對象”，這也是學生必須明白的學習之道.

4.教學手段優化原則

隨著計算機技術的發展，新的教學手段不斷出現，如網絡、視頻課件、微信、聊天室等,這也使現在的“翻轉課堂”、“慕課”成為可能，并有受推崇之勢.作為現代老師，掌握現代教學手段已經成為教師專業核心素養的一部分.然而，不論是教學工具和教學手段都要追求有效合理、自然，不能讓ppt只是起到小黑板的作用，也不能為了追求“現代化”讓課堂花哨而無用，關鍵是把握現代教育技術使用的“度”和效果.

5.新因材施教原則

我們的教學歸根結底是以人的發展為本，涵蓋生理、心理、品格、知識、素養等諸方面.二千多年來，教學很經典的“圣經”無疑就是“因材施教”.現代的因材施教，其中的“材”不應該是一個單一的、靜止不變的概念，而是一個動態的、發展的概念.要用發展的眼光看待學生和教學，要以現在的教學為孩子將來的終身發展服務，它要求我們不僅要以學生的“實際發展水平”而教，而且要以學生的“潛在發展水平”而教.

三、引領探索，優化實施舉措

數學教育教學，知識的傳授、能力的提高是基本行為，核心素質的發展是重要行為，人的健康成長才是終極行為.老師要善于引領學生主動探索以下幾個方面，這是學生健康成長所必備的基本數學學習行為.

1.引領探索生活中的數學

荷蘭著名數學家和教育家費賴登塔爾(H.Freudenthal)認為：“數學來源于現實，且寓于現實中.”以這一思想為基礎，要能夠通過問題的構建和解決，濃縮升華為數學概念、運算法則、數學思想和數學理論，并在這種學習過程中掌握“數學化”的方法.同時，應當尋找數學知識在客觀世界中的實際背景材料，把大量的數學好題置于學生所熱愛的生活情境之中，讓學生親身體驗數學的實際創造過程，從而提高學生從生活中發現數學的水平.這個過程，最重要的是能提煉數學思想方法，揭示數學本質.

學生作為認知主體感受到問題的存在，但問題的關鍵是什么？如何解決？用什么方式來解決？特別是問題背后蘊含著什么樣的深刻道理？一般情況下，這些在學生的頭腦中是一些模糊的印象.所以，問題的提出和解決，都要給學生提供自主想象問題、發現問題的空間，進而確定需要解決的實質性問題.正如愛恩斯坦所說：“提出一個問題比解決問題更重要，后者僅僅是方法和實驗過程，而前者則要找到問題的關鍵和要害”.當然，這種“提出問題”是要撥開問題表面的浮云，重在數學自身的本質及價值的發現.

2.引領探索概念、定理的起源

數學概念、定理是組成數學知識的基本單元，是數學大廈的基石.學生對概念、定理的認知過程并不是簡單的“死記硬背”，要探索如何由感性事例上升到對概念、定理的理性認識；探索概念、定理之間的相互聯系與區別，克服思維定勢的消極影響，發展學生思維的靈活性和發散性；探索概念、定理應用的多樣性，找出對概念、定理理解上的缺陷并加以完善，克服“懂”而“不會用”的心理障礙等等.

另外，探究概念、定理發生、發展的歷程，滲透數學史是數學教學的重要任務.當然，數學家們建立一個數學概念、定理往往需要經過漫長而曲折的過程，學生學習時不可能完全重復這一過程.這就要求教師精心選擇典型事例，既不違背歷史，又符合學生認知特點，引導學生對數學概念、定理的發展歷程有一個正確的、深刻的、全面的認知.

3.引領探索公式變化、推廣

4.引領探索數學審美

一般認為，數學美分生活中的美和思維領域的美兩個方面，包括數學的表現形式、應用形式、文化價值，以及思維領域的統一、和諧、簡潔、奇異、邏輯、嚴謹等諸多方面.可以講，數學美在形成人類的理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、別的學科不可代替的作用，這也正是數學的魅力所在.

新形勢下，數學審美就是將數學美轉變成為教育形態，是以培養學生發現數學美和欣賞數學美的能力，并利用數學美來陶冶情操、凈化心靈，提高學習數學的興趣和數學素養的教育行為.數學審美是蘊含在教學過程中，首先，讓學生在數學學習的過程中潛移默化的感受到數學美，形成對數學“美”的贊嘆，追求數學“完美”的渴望.然后，是以數學美“育人”.在使學生獲得相應數學知識、數學能力的同時，更是培養學生美的情操.

目前，老師中對數學審美也有兩種誤解.其一，課堂教學首先考慮的是完成“應試”的教學任務，如果做不到這一點，寧可不要其他的不管是怎樣美妙的旗號；其二，數學審美的研究還停留在相對膚淺的層次，有些還停留在“這些問題具有什么樣的數學美”的層次.這使得數學審美有簡單化之嫌，浮于表面虛張聲勢，好像只要把數學中的知識點和數學審美的概念掛上了鉤，就是數學審美了.這些認識上的誤區，也影響了實施數學審美的信念，要解決這些問題，關鍵是如何認識數學審美與數學教學的關系.

首先，數學審美是數學教育的重要組成部分，在掌握“知識和技能”中發現數學美，在感悟數學美的同時增加對數學的理性認識，可以講，數學審美對數學教學有著“潤物細無聲”的作用.

其次，數學審美和數學本質水乳交融.任何問題，一旦逼近了事物的本質，符合了事物的規律，走進了真理的內核，她就必然是美的，正如海森堡所說：“美是真理的光輝”.同時，一旦感悟到了數學的美，自然就會進一步增加學生發現問題和解決問題的內動力，提高學習的興趣和探索數學本質的欲望，這也正是李澤厚強調的“以美啟真”.所以，數學審美和數學本質水乳交融.認識到這兩點數學審美也就不會是“水中的月亮”.

5.引領探索數學史、數學文化

數學文化是以數學科學為核心，以數學的思想、精神、方法、技術、理論等所輻射的相關文化領域為有機組成部分的動態系統.莫里斯·克萊因在《西方文化中的數學》前言中指出:“在西方文明中，數學一直是一種主要的文化力量.”數學文化具有知識、理性、智力、美學價值，從數學知識的獲取到數學方法的提煉，從數學思想的感悟到數學精神的弘揚，數學文化的這些價值將豐富數學教育的內涵，促進學生數學核心素養的形成.

數學史是數學文化的重要組成部分，如何研究數學史的教學價值，以下幾方面不可忽視：

其一，數學史教學是數學精神的傳承.我們對數學的認識經歷了科學數學—思維數學—文化數學的過程，真正的數學史教學既是數學文化的傳播，更是數學精神的傳承.

其二，數學史教學是數學思維、理性的重要培育過程.數學史不是冰冷的文字、年代、事件，數學史也是火熱的思考.數學的發展歷程，每一個概念的建立，符號的發明，體系的完善，都是艱難的思考、淘汰、斗爭過程.它不光淋漓盡致的展示了數學思維，更完美的展現了數學的理性.

其三，數學史對人的成長的影響.數學家不畏權貴的品格，刻苦鉆研團結協作的精神，數學發展的曲折和血腥，數學甄沒的遺憾，都是學生成長不可缺少的精神食糧.正如“新課程標準”指出的“尋找數學進步的歷史軌跡，激發對于數學創新源動力的認識，接受優秀文化的熏陶，提高文化素養和創新意識.”

其四，教材上數學史料的星光閃爍.以江蘇教育出版社《普通高中課程標準實驗教科書(數學)》為例，數學史的呈現形式有邊注、閱讀材料、例題習題、探究案例幾個方面，必修教材共5冊一共有31處.分配如下：

類型閱讀材料邊注例題習題探究案例數量,占比17篇,54.8%7個,22.58%4道,12.9%3篇,9.7%

雖然星光閃爍，難明漫漫長夜.對數學史的滲透、體味可謂杯水車薪.這就需要我們通過更多的形式，補充適當的內容，讓浩夜長明.

其五，中、西方數學史的比較研究.中國近百年是接受和學習西方數學，沒能從精神、理性兩方面來更深層的研究西方數學.西方數學具有明顯的理性特點，古希臘奴隸主之間彼此平等，其社會底蘊是“證明”和說服.于是，“對頂角相等”雖然看起來十分顯然，但仍然用“等量減等量，其差相等”的公理加以證明.中國古代有燦爛的數學成就，如《九章算術》，那是數學家向帝王提出如何“丈量田畝、征取稅金、攤派徭役、計算土方”等實用數學問題的總結.在不對等的政治環境下，“對頂角相等”是不需要證明的，這也是我們過去沒有建立完善的數學公理化體系的重要原因.可以說，古希臘和古代中國政治文化決定了兩種數學文化的走向.

鑒于此，數學史數學文化的教學任務，主要是中、西數學史和數學文化價值觀以及數學文化傳統的介紹與比較.其中最重要的是讓學生正確認識中國固有的數學文化傳統，認識我們民族的數學文化傳統技術和價值觀是如何走向世界，并在接受西方數學的過程中發生改變，以及它在今后如何演變.只有在這些較為系統的數學史對比探索中，才能突出數學的理性精神，“以史為鑒”達到育人的目的.

6.引領探索實驗操作

數學實驗是計算機技術和數學軟件引入教學后出現的必然結果.現在，初中有專門的數學實驗教材，很多學校也都建立了數學實驗室，目的是提高學生學習數學的積極性，提高學生對數學的應用意識，并培養學生用所學的數學知識和計算機技術去認識問題和解決實際問題的能力.通過學生的模擬觀察、動手操作，對數之源、數之趣、數之美、數之用都有一個從感性到理性的升華.

[1]《普通高中數學課程標準(實驗)》[M].

[2]普通高中課程標準實驗教科書《數學》(必修)[M].江蘇教育出版社.

[3][美]David A.Sousa(“認知神經科學與學習”國家重點實驗室，腦與教育應用研究中心譯).腦與學習[M].中國輕工業出版社.2005,2.

[4]李瑛華.學生主體參與數學課堂教學的基本策略、途徑和方法[J].數學通報.2007,1.

[5]王曉軍,張維忠.數學文化視角下課堂教學情境的創設[J].中學數學教學參考.2007,1-2.

[6]王憲昌.數學文化在數學教育中的地位[J].數學通報.2006.6.

[7]黃秦安.關于數學文化的若干重要相關研究領域——兼論如何進一步開展數學教育的文化研究[J].數學教育學報.2007,5.

[8]唐志華.數學史的教育價值及數學史志教育的策略[J].數學教育學報.2007,11.

[9]黃秦安.關于數學教育若干問題與現象的憂與思——兼論數學教育的學科建設[J].數學教育學報.2008,1.

[10]張國棣.談中學數學的審美教育[J].數學通報.2010，12.

[11]張國棣.新課程教學應加強學生“探究”方向的指導[J].數學通報.2007，1.

[12]趙士元,張國棣.從中學的視覺看數學文化觀念下的數學教學[J].數學通訊.2010,10.