北京市陳經綸中學 (100020)
張留杰
特殊相似橢圓的一組性質
北京市陳經綸中學 (100020)
張留杰
根據相似形的定義,我們不難定義相似橢圓:
如果兩個橢圓的長軸和短軸對應成比例,則稱它們是相似橢圓.
顯然對于中心在原點的兩個相似橢圓,其方程可以設為C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=λ2,它們的相似比為λ(λ>0且λ≠1).
首先,類比同心圓的性質,給出相似橢圓的一條重要性質定理:
定理相似橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=λ2(λ>1),如圖1,過C2上一點P作C1的兩條切線PA、PB,交橢圓C2于A、B兩點,切點分別為M、N.則M、N分別為PA、PB中點,且OP平分切點弦MN.
圖1
證明:設P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),所以C1的切線PM:αx1x+βy1y=1,PN:αx2x+βy2y=1,將點P(x0,y0)的坐標代入,得αx1x0+βy1y0=1和αx2x0+βy2y0=1,所以切點弦MN所在直線方程為αx0x+βy0y=1.
下面探究兩對相似比為特殊值的相似橢圓的性質.
命題1相似橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=2,過C2上一點P作C1的兩條切線(切線與坐標軸不平行),交橢圓C2分別為A、B,切點分別為M、N,如圖2,則
(1)四邊形OMPN為平行四邊形;
(2)切線PA與PB的斜率之積為定值;
(3)四邊形OMPN的面積為定值;
(4)A、O、B三點共線.
圖2
證明:設P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
(4)連結OA、OB,由定理知PM=MA,PN=NB,又由(1)知MN平分PO,所以MN∥AO且MN∥OB,所以A、O、B三點共線.
對于相似比為2的相似橢圓,除了相似橢圓共有的性質之外,還有如下性質.
圖3
命題2相似橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=4,過C2上一點P作C1的兩條切線,交橢圓C2分別為A、B,切點分別為M、N,如圖3,則(1)AB是橢圓C1的切線;(2)△PAB的面積為定值.
證明:設P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
=1,所以AB切橢圓C1于點D.
(2)由(1)可得S△PAB=4S△PMN,又OQ∶OP=1∶4,所以S△PMN=3S△OMN,所以S△PAB=12S△OMN.而
經過探究,筆者還發現上述三個橢圓之間存在如下關系
命題3過橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)上一點M作切線,交橢圓C2:αx2+βy2=2于A、B兩點,如圖4,橢圓C2在A、B兩點處的切線交于點P,則點P的軌跡是橢圓αx2+βy2=4.
圖4
經歷以上探究過程,不僅得出這兩組特殊相似橢圓的優美性質,為進一步研究相似橢圓奠定了基礎,還凸顯了橢圓方程αx2+βy2=1在論證過程中所起的簡便作用.