浙江省金華市第六中學 (321000)
虞 懿
浙江省麗水中學 (323000)
曹 斌
一道解析幾何題的變式拓展
浙江省金華市第六中學 (321000)
虞 懿
浙江省麗水中學 (323000)
曹 斌
每年高考都會留下一份十分寶貴的資源——數學高考試卷,其中許多試題內涵豐富、立意新穎、視角獨特,彰顯著數學永恒的魅力,也為我們的學習和探究提供了廣闊的平臺.2013年高考江西理科第20題就是難得的優質高考試題,文[1]對此題進行了探究和拓廣,本文在此基礎上進行變式拓展,得到了幾個好的結果,與諸位分享.
圖1
一道好的試題往往是命題者研究成果的結晶,在一個背景下,交換部分條件和結論,或給出某個問題一般結論的特例,便生成出一道新題,又能挑戰你的思維.筆者結合對相關題目的研究,又做了如下探究:
2ma4k2x+a6k2-a2b2m2=0.其中
其中Δ=4m2a4k4-4(a2k2+b2)(a2m2k2-a2b2)=4a2b2(a2k2+b2-k2m2)>0.
=2k+[k(x0-m)-y0]
=2k+[k(x0-m)-y0]·
由PA、PM、PB的斜率成等差數列,則
2k+[k(x0-m)-y0]·
若k(x0-m)-y0≠0,有
=m(a2k2+b2-m2k2).
而a2k2+b2-m2k2=k2(a2-m2)+b2>0,所以x0=m,即點P在直線x=m上.
綜上,點P必在直線AB或直線x=m上.
由于直線AB不過點P,則有km+t-y0≠0,
由于直線PA、PM、PB的斜率成等差數列,且
y0≠0,則
滿足直線AB的方程y=k(x-m),從而A﹑B、M三點共線.
上述結論對雙曲線、拋物線是否成立呢?留給有興趣的讀者去探究.
[1]張國良.圓錐曲線的一個完美性質—一道2013年江西高考試題的推廣[J].中學數學,2014(6).