對一道課本例題的變式探究

安徽省寧國中學 (242300)

陳曉明

對一道課本例題的變式探究

安徽省寧國中學 (242300)

陳曉明

普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1(人教A版)第70頁例5：過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

圖1

在過去的教學中筆者直接講解此例，發現絕大多數學生難以掌握，春去秋來，又是一屆學生，我改變了教學方式.首先將此例具體化為特殊的拋物線y2=4x進行研究，然后推向一般即得例題結論，再進一步進行變式探究.收到了意想不到的效果！

改編例題：過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線BD∥x軸.

(為了證明此例，首先給出引例：過拋物線y2=2px焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，求證：y1y2=-p2.

課本中的證法有些繁，我給出改編例題的簡便證法：

接下來再讓學生把結論推向一般式y2=2px，學生很快證明了課本例5.我緊接著對例題進行變式，并讓學生證明，然后把結論推向一般.

變式1過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，過B點作x軸平行線交準線于一點D.求證：A，O，D三點共線.

變式2過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，過B點作x軸平行線與AO延長線交于一點D.求證：D點在一條定直線上.

拓展1過點M(2,0)的直線交拋物線y2=4x于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，過點B作x軸平行線與AO延長線交于一點D.求證：D點在一條定直線上.

圖2

∴xD=-2.即D點在一條定直線x=-2上.

拓展2過點M(a,0)(a>0)的直線交拋物線y2=4x于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，過點B作x軸平行線與AO延長線交于一點D.求證：D點在一條定直線上.

同理可證定直線為x=-a.

試題鏈接:我們來看一下2014年江西高考題(文科第20題)：

如圖3，已知拋物線C:x2=4y，過點M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點).

圖3

(1)證明：動點D在定直線上；

(2)略.

變式3如圖1，已知D為拋物線y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，過D作x軸平行線與拋物線交于一點B(x2,y2)，直線BF與DO延長線交于一點A(x1,y1)，求證：點A在拋物線上.

變式4如圖1，已知D為拋物線y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，連結DO并延長與拋物線交于一點A(x1,y1)，過點D作x軸平行線與直線AF交于一點B(x2,y2).求證：點B在拋物線上.

證明略.

變式5如圖1，已知D為拋物線y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，連結DO并延長與拋物線交于一點A(x1,y1)，過點D作x軸平行線與拋物線交于一點B(x2,y2).求證：A，F，B三點共線.

證明略.

反思與小結

1.條件與結論共6個：點A在拋物線上；點B在拋物線上；點D在拋物線準線上；A，O，D三點共線；A，F，B三點共線；直線BD∥x軸.它們之間有怎樣的關系？通過變式探究，我們應該有所感悟！

2.這里只對變式2進行了拓展，顯然其它變式同樣可進行類似拓展.

3.各種變式中y2=4x易推廣到y2=2px，讓學生自己完成.

4.拋物線的焦點弦的性質非常多，讓學生課后再去探究.

教學啟示

1.正如美國著名數學教育家波利亞所說：“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”.[1]教師要研究教學，將課本上數學知識的學術形態轉化為教育形態，讓“冰冷的美麗”引起學生“火熱的思考”.

2.縱觀幾十年的高考試題，信手可得到許多高考試題也來源于課本教材.教材中的例題習題具有典型性，示范性，同時也滲透著一些數學思想方法或提供某些結論.[2]因此，以本為本，重視對教材中的例題習題的深入探究，發現新的東西，是提高高考復習效率的最佳捷徑.

[1]于世章.挖掘課本習題價值上好復習課[J].數學通報，2014(12)：36.

[2]劉飛.2014年高考數學安徽卷理科第16題的探究[J].中學數學教學，2014，(4)：43.