高校本科生有限元方法課程的教改探討

郭利明　周新建　張慶敏

摘要：目前，有限元方法已經廣泛應用于各類科學和工程計算。本文探討了開設有限元方法課程的必要性，探索了該課程內容安排，提出了多媒體為輔助的教學模式，建立了合理的評價體系。

關鍵詞：有限元方法；教學改革；本科生

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）05-0118-02

引言

自然科學和工程技術中的各種基本規律通常是以微分方程的形式給出，一般情況下，要得到這些方程的解析解是不可能的，因此數值求解微分方程是非常必要的。有限元方法[1，2]是數值求解偏微分方程的一種有效的方法。有限元方法的雛形可以追溯到1943年，Courant首次提出了三角形上的分片線性函數逼近的思想。20世紀50年代初，工程師們提出了有限元方法，并利用該方法來求解簡單的結構問題。20世紀60年代，以馮康先生[3]為代表的中國學者和西方學者獨立并行地建立和完善了有限元方法的數學基礎。自此之后，有限元方法成為應用數學、工程力學、流體力學、電磁學等不可或缺的工具。

有限元方法不同于求解偏微分方程的差分方法，其主要有下述三大特點：[4]（1）從數學物理問題的變分原理出發，而不是從方程出發；（2）若考慮的數學物理問題區域是二維的，需要作三角形剖分，而不是僅僅作矩形剖分；（3）用剖分區域上基函數來逼近原問題的解，而不是單純地采用剖分節點的數值來逼近。有限元方法的這些特點，決定了學習有限元方法需要較多的基礎知識，例如變分方法，泛函分析，索伯列夫空間的理論，[5]橢圓邊值問題的現代理論等等。本科生對于有限元方法的基礎知識掌握程度有限，因此在教學過程中，要結合本科學生的特點，更強調有限元方法的應用層面，在基本了解有限元方法原理的基礎上，重視采用有限元方法來解決簡單的數學物理問題。

一、開設有限元課程的必要性

目前，有限元課程的理論和實踐的學習，主要應用于研究生教育。本科生開設有限元課程的相對較少，以工科學生對應用技術和軟件操作的學習為主。但是，如果學生僅僅是對照工具書來操作軟件的話，往往會因為不理解理論而帶來各種各樣的錯誤。因此，筆者認為對本科生開設有限元課程學習相關的理論和應用，是非常必要的。特別是對于希望進一步學習計算數學專業的學生，了解部分有限元課程的知識，對他們進入研究生乃至博士生階段的學習都是很有幫助的。對于工科生來說，了解有限元知識，加深對軟件操作的認識，會使其在廣大應聘者中脫穎而出，得到用人單位的青睞。

二、教學內容的安排

由于本科生對于有限元基礎知識的掌握程度有限，因此任課教師在講授有限元課程的時候，要幫助他們了解一些簡單的基礎知識，在此基礎上加強實踐環節的培訓。

（一）理論知識的學習

首先要復習泛函分析的內容，泛函分析課程對于本科生來說是難度比較大的課程，通過簡單的復習，讓他們對這些基本知識有較為熟悉的認識。在此基礎上，講解索伯列夫空間相關知識，對于本科生來說，只要求了解基本定理，不要求掌握定理的證明。

其次變分原理是本科生第一次接觸到的東西，且其在有限元方法的學習中占著很重要的位置，是需要重點講解的東西。對于變分原理的教學目標，要求本科生對于簡單的數學物理問題：如泊松方程，四階橢圓方程等，寫出相應的變分形式。

最后，以簡單的二維泊松方程和三角形單元為例，講解有限元方法的離散。學習有限元方法的離散，首先要了解三角形單元上的基函數；其次，學習從單元上剛度矩陣到總體剛度矩陣的過渡，從而得到最后的線性方程組，求出該泊松問題的數值解。

（二）教學實踐

大學生實踐能力薄弱是目前普遍存在的問題。特別是一般的普通高校的學生，因為學校的硬件設施跟不上等問題，往往忽視了實踐環節。在高校中，經常會碰到一些學生，雖然理論知識很扎實，但是動手實踐能力比較差。而教師如果單純地講授理論知識的話，會讓學生似懂非懂，對該課程的學習缺乏熱情，久而久之，產生厭學的情緒。

上機實踐是學習有限元方法的必要環節，通過上機實踐，學生可以加深對于理論的理解。對于數學專業的學生來說，其對MATLAB軟件有較為系統的學習。建議對于該專業的學生，教師可以帶領學生學習MATLAB軟件中自帶的利用有限元方法求解偏微分方程的軟件包：pdetool。但是pdetool有自身的局限性，有時候需要自己編寫MATLAB程序來用有限元方法來求解。根據筆者的經驗，讓本科生自己編寫有限元程序存在一定的難度。筆者的做法是：自己寫一段簡單的有限元程序，讓學生來讀程序，在一步步讀程序的過程中，學生會對有限元方法有更加深刻的認識。

三、教學模式

1.教學時間和教材建設。有限元方法課程可放在泛函分析、數學物理方程之后。有限元方法課程現有的教材，對于本科生來說比較難，因此在教學的過程中，需要教師廣泛搜集各種素材，根據自己的教學目標，相應地刪除或者增加部分內容，對教材進行建設，使之更適合本科生。

2.教學方式。20世紀50年代，美國心理學家卡爾·羅杰斯提出了“以學生為中心”[6]的教育理念，對現代教學改革的實踐具有很強的指導意義。學生是學習的主體，無論在任何教學活動中，都要把學生放在中心位置。教師應當尊重學生個體之間的差異和不同的需求，做到因材施教。有限元方法的課程學習的重要目的在于應用，因此該課程適合采用多媒體來輔助教學，多媒體教學方式不僅能把大量的信息更加直觀形象地展示給學生，吸引學生的注意力，激發學習興趣，還可以提高教學成果。

教學活動是雙方面的活動，取決于教師主導性和學生的主動性。因此在發揮教師主導性的同時，要充分調動學生的主動性。興趣是最好的老師，如果學生對學習有著濃厚的興趣的話，往往是事半功倍。學習興趣的缺失是當下教育，特別是大學教育最大的問題。作為大學教師，我們要盡可能地調動學生學習的興趣，讓學生熱愛思考研究。具體到有限元方法課程的教學，可以讓學生了解本門課程的發展歷史，問題背景等。從歷史背景的學習中，增強學生的民族自信心和自豪感。讓學生把這門課程和其他相關的課程聯系起來，比如說有限元課程的學習會牽涉到泛函分析和數學物理方程。以前學習數學物理方程重視的是解析解，但是對于那些解析解不容易找到的方程，可以告訴學生采用有限元方法來數值求解。

在講授了部分章節之后，可以引導學生以討論班的方式進行學習。對學生進行分組，每一小組負責一部分的內容。上課的時候讓學生講，任課教師在下面聽，通過學生的講解，教師可以知道學生對于知識的掌握程度和薄弱環節，做到有的放矢的教學。在學生的講解過程中也鍛煉了學生授課的能力。

四、評價體系的改革

傳統的評價學生的方式是靜態的，采用統一的試卷來決定一個學生的學習情況。但是有限元方法屬于理論和實際相結合的學科，其內容涉及面較廣。因此如果有限元方法的考核單純采用筆試，閉卷考試的方式很難全面地評估一個學生的學習情況。為了更加全面地評價學生，筆者在授課過程中沿用綜合評價的方式，具體為：（1）平時作業，課堂表現占20%；（2）期中考試占20%；（3）上機實驗占20%；（4）期末考試成績占40%。目前，部分高校沒有開展全校性的期中考試，筆者特意加上期中考試是為了了解學生的情況，讓任課教師知道學生的長處和不足之處，從而來制定和改進已有的教學過程。對于上機實驗部分，可以給學生一些簡單有限元程序讓其在課下認真的學習。上機實驗的時候，調換成其他的數學物理方程，讓學生寫出相應的MATLAB程序，計算出該方程的數值解。

五、結束語

本文對本科生有限元方法課程的學習，分析了其必要性，對于教學內容做了部分調整，使其適合本科生現有的知識水平，采用多媒體教學方式，重視理論和實踐相結合的教學方式，針對有限元方程的課程目標，制定了合理的評價體系。通過實際教學實驗，筆者證明本文提出的教學改革是有效的。

參考文獻：

[1]石鐘慈，王鳴.有限元方法[M].北京：科學出版社，2010.

[2]曾攀.有限元分析及應用[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]王烈衡，許學軍.有限元方法的數學基礎[M].北京：科學出版社，2004.

[4]馮康.有限元方法[J].數學的實踐與認識，1974，（4）：54-61.

[5]陳國旺.索伯列夫空間導論[M].北京：科學出版社，2013.

[6]李嘉曾.“以學生為中心”教育理念的理論意義與實踐啟示[J].中國大學教學，2008，（4）：54-56.