以簡馭難
——一道經典例題的深度研讀

上海市向明中學(200020) 侯寶坤

以簡馭難
——一道經典例題的深度研讀

上海市向明中學(200020) 侯寶坤

課本例題大多是經過編寫者精心選擇的,有些例題甚至經過幾代人磨礪,被多套教材采用的,是有很大教學價值的問題.放棄對教材例題的引用和挖掘,猶如入寶山而空回.使用教材例題、研究教材例題教學價值應成為教師的自覺行動,同時也應把對教材的閱讀與研究習慣傳輸給學生,培養學生的閱讀習慣,提升自主學習、自我反思的能力.下面就以一道簡單的課本例題來談談怎樣根據不同學段要求,較為充分的研讀例題,挖掘其所蘊藏知識、方法、思想上教學價值.

例題寫出{1,2,3}的所有子集和真子集.

這道例題在人教版的歷代教材中都有,現在的北師大版、蘇教版、滬教版、湘教版也都引用了這道例題,應該是一道經典的例題.

一、例題本體的深度研讀

1.例題的一般化處理

一般化是促進數學抽象的需要,是對結論價值、方法應用的深刻理解.一個數學問題的一般化包括問題呈現形式的一般化、結論一般化和方法一般化.

呈現形式一般化,可以將具體的數字變成抽象的字母,并將元素的個數一般化,形成

問題1 寫出{a1,a2,···,an}的所有子集和真子集.

結論一般化,就是對一般化的問題形成的結論,對引例而言就是問題1的結論：有n個元素的集合子集共有2n個,真子集共有2n-1個.這個結論可以讓高一學生通過列舉用不完全歸納法得到,高二、高三則可以作為數學歸納法的一個例子使用.

方法一般化,就是解決問題的方法是否有一般性,是否有更廣闊的應用價值,這往往是例題最值得研究的地方.

引例按元素個數和順序找子集的列舉法,是完全可以用到n元集合上,在高一學生的思維最近發展區,學生完全可以列舉發現：?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}{d},{a,d},{b,d},{c,d},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}

體悟出每增加一個元素,子集個數增加一倍,新增加的子集就是原來子集再添上新元素形成的,即子集個數滿足遞推關系an=2an-1.這個方法告訴學生,要學會從問題產生的順序上摸清解題思路,要關注前后聯系,特別是新對象對問題的影響,形成主動聯系的學習習慣.

子集個數問題也是一個裝球入盒問題,是典型的計數問題.從形成子集的元素個數分類入手有2n;從某個指定的元素“取”與“不取”兩種狀態入手,用乘法原理有將問題換個背景,進行跨界處理,也是處理數學問題的靈活手段,是數學知識統一性的體現,對培養學生普遍聯系的觀點、拓寬知識面是非常有益的;善于從不同角度研究一個知識也是對知識深刻理解的表現,是學習能力提高的表現.

2.對例題不足的補充

認知差異使學生對相關概念、方法理解的程度也會不同,有些問題例題中可能沒有涉及,有些可能需要再做些強化,才能使學生有更深透的理解.

對于引例,如想突出和前一節集合的聯系,考查集合的互異性,也可以在引例前設計：

問題2{a,2}?{0,1,2},則a=___.

如覺得引例中?會遺忘,經過點明學生會補充,但不一定真理解到?的意義,可以設計：

問題3{x|ax=0}?{1,2},求a的取值.

有人認為上面都是離散的數集,對象簡單,方法仍是列舉沒有突破,可以設計：

問題4{x|a≤x≤2a+1}?{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍.

如想突破數集,可以設計：

問題5 非空集合A={(x,y)|y=2x,1≤x≤a},集合B={(x,y)|y=kx,m≤x≤a},若A?B,求實數k,m應該滿足的條件;

如想突出問題4“取等號”這個細節以及子集與真子集的區別,可以設計：

問題6{x|a≤x＜2a+1}?{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍;

問題7{x|a≤x＜2a+1}?{x|-1≤x＜3},求a的取值范圍;

問題8{x|a≤x＜2a+1}{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍.

上午9時整，升旗儀式正式開始。隨著鏗鏘有力的號令聲，3名升旗手手擎一面國旗、兩面廠旗，在10名護旗手的護衛和干部職工的注目禮下，邁著堅定有力的步伐走向升旗臺。伴隨著雄壯的《中華人民共和國國歌》和催人奮進的《開磷之歌》，國旗與廠旗在莊嚴注目下冉冉升起。砥礪拼搏六十載，開磷披荊斬棘仍舊斗志不減；風雨兼程六十載，開磷歷經滄桑依然奮發昂揚；崢嶸歲月六十載，開磷牢記使命鐫刻時代豐碑；春華秋實六十載，開磷揚帆筑夢譜寫輝煌華章。

將一個簡單例題演化為相對復雜的同類問題,根據課堂需求組成問題串,就可以非常到位地幫助初學者建立和理解相關概念,知曉易錯點,初步體會數學問題產生的途徑,逐步養成關注細節、大膽列舉、反思探究的良好習慣.

二、前后知識的關聯性研讀

對例題的研讀不能僅停留在本節課的理解和設計上,更應當從問題的關聯性入手,加強知識的前后聯系,使例題的價值得到更大發揮.一般可以從知識點的關聯性和思想方法的關聯性兩個方面去挖掘加深.

1.知識點的關聯性

子集與求交、并、補集的運算聯系較明顯了,有A∩B?A(B)?A∪B,A∩B=A??A?B??A∪B=B,B∪CUA=U??A?B??A∩CUB=?,A∩B=???A?CUB等.在單元復習時,將子集與交、并、補運算結合,可設計綜合問題：

問題9 非空集合A,滿足A?{1,2,3,4,5,6},若x∈A,則必有2x∈A,求所有滿足條件的集合A.

問題10 已知集合A?{1,2,3,4,5,6,7},且A∩{1,2,3,4}={1,2},求所有滿足條件的集合A有多少個?

子集也是集合,所以它的落腳點必然是元素,必然要考慮集合所具備的性質,集合元素的“取”可能更難些,子集的“取”只是元素個數的問題了,其實集合的交、并、補運算也是怎么“取”元素的問題,所以說“怎么取”才是集合的核心問題,這也是集合與排列組合的聯系所在.基于這種知識的關聯性理解,我們可以設計加深子集的理解問題：

問題11 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7},含有元素1的子集有多少個?含有元素6的子集有多少個?所有子集的元素之和是多少?如果A={1,2,···,n}上述問題答案如何?

問題12 將集合A={a1,a2,···,ak},且a1＜a2＜···＜ak,我們稱a1-a2+a3-a4+···+(-1)k-1ak為集合A的交錯和,求{1,2,···,n}所有子集的交錯和的和.

問題12與問題11思路相同,每個元素出現的次數剛好是剩下的元素所形成的子集個數,為2n-1,和為2n-1(1+2+···+n)=2n-2n(n+1),這個問題高一單元復習可以使用.問題12對于元素1它始終為正,元素i(2≤i≤n)前的“+,-”由它在子集中的位置決定,當從1,2,···,i-1取偶數個數在子集中時i為“+”,所以“+”出現次,同樣“-”也出現剛好相互抵消,所以答案為2n-1.這道題考慮元素出現的方法與上面是一樣的,只是用了簡單的組合性質,可以作為高三的復習用題,或者改成較小數字,成為高一的拓展用題.

2.思想方法的關聯性

一個例題最重要的價值是,它所蘊藏的思想方法是不是有進一步拓廣的價值.能幫助我們解決相似相關的問題的價值就高,過于關注技巧而沒有一般性的價值就低.引例所涉及的列舉法、從特殊到一般、代表元素法、遞推思想都具有一般性,對其他類似問題具有指導意義,以下舉例的難度稍大,可以作為高年級的課外活動.

列舉法是解決集合、數列、計數等復雜問題的有力手段,也是從特殊到一般思想方法的具體體現.通過列舉可以發現結論的規律性,更為重要的是在列舉的過程中發現形成這一規律的原因,從而找到解決問題的辦法;列舉是典型的從特殊到一般的思維方式,從簡單具體的事例出發,發現并抽象從一般性的規律,是解決復雜問題的有效手段.譬如下面問題：

問題13 已知集合A={a1,a2,···,an},B={x|x=ai+aj,i/=j,i,j=1,2,···,n},n≥2,求B集合元素個數的最大、最小值.

解析要使元素少,那么ai+aj出現重復的數值就要多;要多,重復就少.給我們的問題比較抽象,我們先將問題特殊為An={1,2,···,n}(再慢些用{1},{1,2},{1,2,3}等)來體會,此時Bn={3,4,···,2n-1}共2n-3個元素;如果將最大數換成n+1,即An={1,2,···,n-1,n+1},此時Bn={3,4,···,2n}增加一個元素,為2n-2;如果將最大數換成n+2,即An={1,2,···,n-1,n+2},此時Bn={3,4,···,2n+1}又增加一個元素,為2n-1;……,當最大數換成2n-3,時Bn={3,4,···,3n-4}元素個數為3n-6;最大數再變大時B中元素個數不再增加.我們發現：

(1)對An={1,2,···,n}最大元素變化時,集合元素個數從最小2n-3連續取到最大.

(2)當最大數字變大時,新集合中數字與原來由An-1={1,2,···,n-1}形成的Bn-1集合重復元素減少,當An最大值大于Bn-1的最大值后就不再有重復數字,這時所有這樣的Bn比Bn-1都多n-1個元素.

所以要想元素最多,所取的數必須不小于前面兩個最大數的和,如取著名的斐波那契數列{1,2,3,5,8,13,···}和等比數列{1,2,4,···,2n-1}構成的集合,它們元素最多,為最少為2n-3.

抽象的也可以簡單證明,元素最多就是所取任意兩數和都不相等,為如我們所構造的兩個例子,構造法證明存在性就是一般轉化為特殊.下面證明最?。?/p>

不妨設a1＜a2＜···＜an,顯然,a1+a2＜a1+a3＜a1+a4＜···＜a1+an＜a2+an＜a3+an＜a4+an＜···＜an-1+an共有2n-3個,如我們構造的An={1,2,···,n}.

如果再更一般的追問：B={x|x=ai+aj,i/=j,i,j= 1,2,···,n}的元素個數能否取遍2n-3到中的所有整數?

這時,上面列舉的價值就可以得到充分體現了,利用數學歸納法,我們只證明第二步：

假設n=k時,集合B元素個數取遍2k-3到中的所有整數.

當n=k+1時,由發現(2),此時B元素個數取遍(2k-3)+k到中的所有整數,即取遍3k-3到中的所有整數;由發現(1)知,當n=k+1時,B元素個數取遍2(k+1)-3到3(k+1)-6=3k-3中的所有整數;綜合即知結論成立.

集合是由一類具有共同性質的元素構成的,代表元素法就是選取集合的一個元素作為研究的對象,集中力量研究它的構成和性質,是一種以點帶面的解題方法,是解決抽象集合問題的有效手段.譬如：

問題14 取集合{1,2,3,···,n}的所有含有m個元素的子集,再將子集中的元素從小到大排列,則所有子集的第r個元素的平均數為多少?

解析本題關鍵在求第r個元素的和,第r個元素前有r-1個元素后有m-r個元素,將第r個元素分類為：r,r+1,···,k,···,n-(m-r),選取代表元素k研究：k前面元素有取法,后面元素有種取法,所以第r個元素是k的集合共有根據分析,如果按照第r個元素的不同將這些子集分類,根據加法原理我們有：

值得注意的是,解題過程中要注意分析結論以外的東西,加強對問題條件的理解和應用,盡量產生更多有用有趣的結論,使問題能向縱深發展.

問題1的解決表明,數學規律的發展通常是有先后順序的,是相互關聯的.如果能厘清先后關系,找出它們的數量關系或者變化特征就能使問題得到解決.前后關系中表現最為典型的就是遞推關系和數學歸納法,它們也是解決與整數有關問題的有力手段.比如：

問題15 證明：方程x2-2y2=1有無窮多組正整數解.

解析要證明有無窮多組正整數解,不可能窮舉,只能構造解的遞推關系,來完成解是可以不斷產生的.首先猜出一組解然后建立遞推關系式

根據上述推算,由此產生的解是遞增的正整數,且有無數個.

通過對例題本體性研究,可以促進我們對例題所包含的知識有更為深透的理解;通過一般化研究,可以驗證涉及的方法是否具有更廣闊的前景,同時也加深了對方法的體會,為靈活使用奠定基礎;通過對不足的自覺反思,加強變式研究,促進了對知識的全面升華.

知識關聯性研究,可以使知識前后連貫,相互關聯,氣勢相通,形成四通八達的網絡結構,使知識更加牢固靈活;同時也可以培養善于聯想的思維品質.數學思想方法的關聯則更為深刻,通過對思想方法的領悟,可以由點及面、由例及類的解決一大片問題,甚至解決與原例相去甚遠乃至面目全非的問題,通過思想方法的關聯可以培養更有深度和跨度的思考能力,使思維更加通透深刻.