在美國推動教育數學（上）

童增祥

引言

我是一位數學教授，但在今天的會議上，實實在在是一個小學生。這篇報告，與其說是學術報告，不如說是在師長面前，披瀝我的心路歷程，敘說我在美國兩所大學教學28年所見到的美國學生和數學教師，敘說我怎樣幸遇教育數學，怎樣在數學系里推動教育數學的相關情況。我認為，教育數學的理念是中國數學家的一個偉大創造。中國的數學教育界需要教育數學，美國的數學教育界更需要教育數學。張景中院士和在座的各位師長關于教育數學的智慧之火燎原于美國之時，就是美國的數學教育重歸燦爛輝煌之日。

回顧我“文革”前后的青壯年時期，我想提及兩點：一是我一直感激那些鼓勵、指導、教誨我進入數學之門的師長，特別是南京大學的唐述釗、孫光遠、鐘瑚綿、黃正中、曾遠榮、仇慶久、王聲望教授，華東師范大學的程其襄、李銳夫教授，上海師范學院的吳望名教授，北京師范大學的汪培莊教授，四川大學的劉應眀教授，上海鐵道學院的樓世博、李鴻祥教授；二是我熱愛數學，熱愛學生，熱愛數學教學，一直希望以最有效的教學幫助學生學得快、學得好、學得深?！拔母铩苯Y束后百廢待興，1977、1978年，上海市普陀區舉行以班級為單位的數學團體競賽，我任教的班級連續兩年獲得第一名。1978年，上海舉辦“文革”后的第一次數學競賽，我輔導的一位學生獲得第三名。我的兒子于1989年至1991年連續三年獲得特拉華州全州初中數學競賽第一名，于1993年獲得俄亥俄州全州高中數學競賽第一名。

我1985年10月來美國，至今已近32年。我主要在兩所大學（特拉華大學和奧特本大學）任教。特拉華大學有20000多名學生，其學術上的綜合排名，在全美3600多所大學中位列第75名。奧特本大學是私立大學，有3000多名學生，其學術上的綜合排名，在美國中西部200多所可授碩士學位的類似大學中位列第12名。這兩所大學當然不是長春藤名校，其入學新生的學術水準位于全國前25%至40%，因而更能代表美國的大學水平。我教授的課程有微積分、線性代數、微分方程、復變函數、實變函數、組合數學、高等幾何、概率論，也有數學史、數學文化、高等數學入門，還教過實際上是中學數學的三角以及大學代數、前微積分和初等數理統計。所以，我了解美國數學上各種層次的學生。

美國大學生的數學基礎出奇地差

我在來美國前，曾以為美國的科學和數學教育無疑是世界第一。來美國后的一大震撼是發現美國相當數量的大學生，其數學基礎是出奇地差。以下是我的觀察和估計。

初等代數：（1）40%的學生不熟悉和平方公式、差平方公式和平方差公式，70%的學生不熟悉和立方公式和差立方公式，85%的學生不熟悉立方和公式和立方差公式。（2）70%的學生不會做較為復雜的分式運算。（3）85%的學生不會證明一元二次方程的求根公式。（4）99%的學生不知道一元二次方程的根與系數關系的韋達定理。

初等幾何：（1）70%的學生不會證明三角形內角和是180度。（2）70%的學生不知道三角形的中位線定理，90%的學生不會證明這個定理。（3）95%的學生不知道三角形一個內角的平分線將對邊分成兩段，這兩線段的長度之比等于這個角的兩條鄰邊之比，99%的學生不會證明這個定理。（4）99.999%的學生不會證明三角形三高共點的定理。我不說是100%，因為我不愿意絕對化，或許有人坐在教室里的哪個角落，默默地三言兩語證明了這個定理，卻沒有展示給我看。

美國學生中，數學表達不準確、不規范、不合邏輯，以及不會證明，害怕文字題，不敢做難題的比比皆是。

美國的數學教師都優秀嗎？

我在美國的又一個震撼是發現有相當數量的數學教師并不對其所教授的數學有透徹嚴謹的理解。整體而言，美國的數學教師未必是世界上最好的。下述幾例都是我的親眼目睹。

1.一位教授A（數學教育博士）在數學文化課上解釋無限有不同的等級，無理數集合的勢比整數集合的勢大的時候，說：“你們看，一個整數2可以產生無限多個無理數，平方根2、立方根2、四次方根2，等等。所以，無理數集合的無限，比整數集合的無限要大得多?！?/p>

2.一位教授B（數學教育博士）對數學補習班學生解釋一元二次方程求根公式中的正負號來自于平方根法則，說：“x的平方是9，兩邊開方，左邊是x的絕對值，右邊是3，所以x等于正負3?！绷硪晃唤淌趩朆：“假如x的平方是負9，兩邊開方，左邊是x的絕對值，右邊是虛數3i，所以x等于正負3i。這也是平方根法則嗎？”B說：“是的?！?/p>

3.一位教授C（數學教育博士）分析一道抽象代數習題，如果一個群的每一非單位的階數都是2，那么這個群一定是阿貝爾群。教授C花了25分鐘，分析了幾種情況，幾乎寫了一黑板。一位聽課的教授課后對他說：“你的詳細分析固然對學生有益，但是就題論題，只需一句話即可直搗黃龍，完成證明?！苯淌贑聽了，卻是一片茫然。

4.一位教授D（數學教育博士）頗為著名，到另一所大學申請講座教授職稱，被邀請試教概率論隨機變量引論。他準備的Power Point講稿上定義著：“連續型隨機變量是可以取無限多個值的隨機變量?！痹诿嬖囍?，另一位教授問他：“假如你被錄用，教哪些課程是你喜歡而且擅長的？”他的回答中，概率論赫然列在第二位。

5.一位年輕的圖論新博士E申請一個大學的助理教授職位，被要求試教微積分中求極值的應用問題。題中涉及一個分式函數的求導。學生發現E寫在黑板上的導數答案是錯的。E看著黑板，卻不知自己錯在哪里。學生請E用求導法則一步一步演示，只需1分鐘即可得到結果。E略顯羞澀，說為了不影響教學進程，就不演算了。奇怪的是，這個系里的大多數教授主張錄用E。

6.一位年輕的代數學新博士F申請一個大學的訪問助理教授職位，被要求在該系的教授面前試教微積分基本定理及其應用。F敘述了基本定理的兩個部分，準備講應用的例題。一位教授說：“且慢。請先證明該定理的第一部分：若函數f在閉區間[a，b]上連續，則函數在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，且在（a，b）上?！盕開始證明……卡住了。他停頓了一會，就直接寫了結論。那位教授不肯放松，請F說明怎么能跳躍到最后的結論。F臉色泛紅，承認自己是知其然而不知其所以然。

7.一位教授講了一個真實的故事。他的兒子G是某城一所較好的初級中學的學生。一天，G帶回來一張彩色圖，圖中兩個一樣的大三角形，由幾塊同樣的圖形拼成，只是拼圖的次序不同。奇怪的是一個大三角形比另一個多出了一個小方塊。怎么會憑空多出一個方塊？那個學校有十多位數學教師，卻沒有一位能破解其中的奧秘。他們知道G的父親是一位數學教授，所以請G的父親為他們釋疑解惑。

8.一位中年的中學教師H到一所大學申請一個初等數學的臨時教職。系主任與他面談，以了解他的教學經驗和知識背景，結果發現H已有近25年的教齡，卻不懂得排列組合，連排列組合的定義也不知道。

9.一個高等歐幾里得幾何班里有8位高中或社區大學的教師。教授問他們最喜歡哪一本幾何著作。令人驚訝的是，他們列不出一本書。他們都有 10年、20年，甚至30年教授幾何的經驗，卻除了所教的教科書之外，沒有讀過一本或深或淺、或有趣或嚴謹、或可修煉自身或可輔助教學的幾何書！

10.一位教授J（數學教育博士）作講演，介紹教育學中的布魯姆分類學說。他引經據典，顯示圖表，滔滔不絕，認為一個教授在數學教學中要有意識地注意認知和思維的六個層次———知識，理解，應用，分析，綜合和評判———才能給予學生完備的數學教育。有一位教授對J說：“你是一位數學教授，請你以你的教學，一個科目，一堂課，一個概念，或者一個問題為例證，說明你是怎樣引導學生的認知在這六個層次上逐步深入、逐步提高的?！盝頓時張口結舌，最后王顧左右而言他了。

我估計在美國3600多所高校中，不合格的數學教師占10%至15%，在美國的中小學中不合格的數學教師占20%以上。要提高美國中小學數學教育的質量，關鍵在于提高現任和未來的教師的質量。單純增加錢未必有用。要有智慧地使用錢，把錢用到培養教師、提高教師的事業中去。

為什么———疑惑復疑惑

1993年至1995年間，我和系里的同事談起我的發現，說我內心感到很震撼、很失望、很不安。一位美國教授說，“你的參照物不恰當。中國只有極少數人接受高等教育，所以進入大學的都是精英。美國的高等教育已經普及，只要愿意，高中畢業生幾乎都可以進大學?！蔽蚁胍矊?，我1961年進南京大學，那時，我同年齡的青年中只有小于2%的人有幸入大學；而美國，則是30%甚至更多的青年進入了大學。

但是，這個解釋沒有完全消除我的疑惑。進入大學的青年至少應該高中畢業了吧，這樣的數學程度怎么能畢業呢？學生沒學好，錯誤應該是千奇百怪的，帶有鮮明的個人色彩。為什么很多來自不同地區、不同學校的學生會犯類似的錯誤呢？我從自己直接的樸素的經驗中知道，美國中小學的數學教育中存在著問題，且是相當嚴重的問題。問題在哪里呢？

總統的藥方不管用

美國的有識之士也都意識到數學教育中存在著問題。各屆總統，如里根、布什、克林頓、小布什和奧巴馬，都看到美國中小學生的科學和數學知識已淪于世界上的二流甚至三流水平，都信誓旦旦要恢復美國的輝煌。他們充滿信心，認為美國有世界上最好的教師隊伍，又是世界上最富有的國家，只要不斷地增加錢，優秀的教師就一定能培養出最優秀的學生。但是，總統的藥方不管用，年年歲歲豪言壯語，歲歲年年撥款增錢，效果卻不明顯。問題的癥結在哪里呢？

我的早期藥方———東方與西方相結合

怎樣才能有效地提高教師的質量呢？20世紀末，我的結論是要在西方的教育思想、教育制度、教學方法中注入中國的因素、中國的精神，要提高教師的數學知識和素養。2000年，我在系里作了一個報告，題為“教就要學”，副標題是“東方與西方相結合”，其英文或許更傳神，是“To Teach Is To Learn———The East Meets The West”。2001年初，又在美國數學學會（AMS）和美國數學協會（MAA）的聯合年會上作了報告。經學會中一些同仁和朋友的鼓勵與推薦，2002年夏，又在北京舉辦的國際數學家協會（ICM，International Conference of Mathematicians）的會議上作了報告。這個報告雖然反應較好，但是反響不大，我自己也不甚滿意，因為沒有清晰的觀念，什么是教師的數學知識和素養也不是很清晰。

幸遇教育數學———如露入心，醍醐灌頂

大約是2007年，我的良師益友張肇熾教授告知我，張景中院士提出了教育數學的概念，倡導教育數學的研究。我從互聯網上找到張院士的著作《從數學教育到教育數學》，下載后進行了閱讀。在此，我必須先向張院士致歉，因為從互聯網上下載是侵犯了張院士的知識產權。張院士的著作，從數學的內部揭示數學的美，充溢著深思、精思、巧思，而且文字簡潔、精到、優美，秋水文章不染塵。張院士關于教育數學的論述，關于數學材料的教學法改造與教育數學內容的再創造的區別的論述，真正是精辟之至，讀之如露入心，醍醐灌頂。我郁結心中的欲言難言、模糊朦朧的觀念頓時清澄如水。

自20世紀60年代失敗的新數學運動以來，美國的中小學數學教育江河日下，已陷入深重的危機。美國學生在國際數學統考和競賽中的屢屢失敗只是冰山一角。實際上，美國的數學教師、教材、教法，甚至教育思想和教學大綱都存在嚴重的問題。這是一種系統性的病，幾入膏肓。美國的有識之士，包括近40年來的總統，都看到了病癥，擔心美國會因此而衰落，但都開不出有效的藥方。他們的主藥就是錢，以為有了錢就會有足夠數量的教師，有了教師就會有優秀的學生。我的認識是，美國數學教育沉疴之一是教師的質量。中小學、技術學校、社區大學，包括部分普通高校中，有相當數量的數學教師數學素養之低，簡直讓人不可思議。他們的數學知識是斷磚碎瓦，一盤散沙，而不是結構精妙的哥特式教堂。美國需要的不是泛泛的教師，而是優秀的教師。優秀的教師有兩個來源，一是改革師范的教育，二是再教育現職教師。師范教育應改革，應以教育數學為指針，為重點，為核心。教師的再教育、再學習、再提高有兩類方法，一是被動的學習，二是主動的學習。被動的學習就是現行的教師培訓計劃，教師無針對性地選修一些大學課程。主動的學習就是從事教育數學的學習和研究，有針對性，有明確目標，用高的新的觀點看所教的初等數學，明確其邏輯結構，或改善優化其邏輯結構，增刪內容，去粗取精，必要時增添精妙的內容，以幫助學生提高數學素養，培養嚴謹的邏輯，欣賞數學的美，具備數學家的眼光。錢多教師多，學生未必優秀；有大量優秀的教師，必然會有大量優秀的學生。所以，我認為張院士關于教育數學的智慧之火燎原于美國之時，才是美國的數學教育燦爛輝煌之日。

（未完待續）