“映射理論”視野下的小學數學結構化教學

朱軍權

摘 要：“映射理論”是心理學領域的一種類比遷移理論。在數學教學中借鑒“映射理論”，建構結構化教學，能夠讓學生的數學學習獲得有益支撐。其中，教材的知識結構是基礎，學生的結構化學習能力是關鍵，核心素養的提升是指向。教學中教師要從數學知識的結構化以及學生思維的結構化等方面展開探索，進而構建數學結構化教學的理想大廈。

關鍵詞：數學教學；映射理論；結構化

數學結構化教學是指以構建學生數學認知心理結構為中心，遵循學生認知心理規律和知識發生規律，有組織、有系統地安排數學學習材料、程序的一種教學觀念和方法。作為一種觀念，結構化教學是基于數學知識整體發生和發展的學習；作為一種方法，結構化教學強調數學學習材料結構化、學習活動結構化等。在研究結構化教學過程中，“映射理論”為數學結構化教學提供了新視角和有益的理論支撐。

“映射理論”是心理學領域問題解決過程中的一種類比遷移理論。該理論由美國教育學者Gentner提出。在她看來，學習中的“類比遷移”是一個結構映射的過程，“源問題”因素之間的關系（即結構）被提取，并被運用解決“靶問題”?！坝成淅碚摗弊裱瓋蓚€基本原理：一是“系統性原理”，即“源問題”和“靶問題”只映射關系，不映射屬性；二是“透明性原理”，即如果對應事物結構清晰，則更容易遷移、類比。

一、“映射理論”對數學結構化教學的啟示

結構是什么？結構是一個整體、一個系統、一個集合，在數學認知領域具有獨特的意義和價值。數學結構教學不僅包括數學知識結構，也包括學生的學習心理結構、思維結構等。數學結構教學是數學知識結構與學生思維結構的同構共生、協同互動?；凇坝成淅碚摗钡囊暯?，數學結構化教學能夠獲得如下啟示：

1. 數學知識結構是基礎

“映射理論”告訴我們，在數學教學過程中，如果我們掌握了數學本體性知識的結構，就有利于知識的映射遷移，有利于知識的保持與記憶。結構體現著知識的脈絡，隱含著運用的方法。在數學教學中，教師要站在數學學科知識結構的高度，用結構的觀點、結構的視角來研讀教材、處理教材。例如：《因數和倍數》《分數的加法和減法》以及六年級《分數乘法》《分數除法》等知識，對于貫穿其中的知識脈絡、知識隱線教師必須了如指掌。唯其如此，教學才能上下貫通，一氣呵成。

2. 學生結構化思維是關鍵

“映射理論”認為，數學教學必須促進學生對基本圖式的學習，圖式學習必須至少有兩個圖式例子，以便于比較和概括。研究表明，知識結構越清晰越容易歸納形成圖式。因此，教師要提高圖式透明度，引導學生對相關數學知識進行比較、概括，以便形成主題凸顯的目標導向。這其中，學生的結構化思維能力是關鍵。例如有學生在學習了《因數和倍數》后，對相關知識的內容、依據、作用等進行整理，形成了“知識樹”；學習了立體圖形的體積后對公式進行自主概括，形成統一公式等。學生的結構化思維能力體現在對知識的靈活提取與運用上。

3.核心素養的提升是指向

數學核心素養是學生數學學習的關鍵能力和必備品格。盡管數學核心素養不是具體的數學內容，但它反映了數學的本質、價值和取向。結構化學習能夠促進學生數學核心素養的生成。根據“映射理論”，在數學教學中，教師不僅要關注數學類結構知識的核心素養目標，還要關注每個單元的核心素養目標、每節課的核心素養目標，因為先前的數學學習將會對后續的數學學習產生結構映射效應。例如教學《因數和倍數》單元知識，教師就必須站在后續知識如“分數加減法”“分數乘除法”等知識的基礎上進行教學。只有這樣，數學教學才能前呼后應、前延后續、前承后啟。

二、映射理論在數學結構化教學中的運用

基于映射理論的數學結構化教學要從數學知識結構和學生思維結構的視角來展開，讓數學知識相互映襯、深度交融，讓學生思維相互啟迪、相互作用、協同認知。通過整體架構、有機滲透，將不同的數學知識及其思維運作過程融于教學過程之中，充分發揮學科育人功能，促進學生核心素養的發展和提升。

（一）整合設計：讓知識結構化

1. 一體化設計，讓知識元件相互映襯

結構化教學需要教師在把握教材的基礎上對數學知識進行一體化設計。教學中教師要找出數學知識的主干線，不僅要找到知識元件，而且要發現知識元件的有機關聯。只有抓住了關聯，抓抓了清晰的映射結構，學生的數學學習才會不緊不慢、不急不躁地自然展開。例如小學數學教材第11冊的《長方體和正方體》單元中的“表面積”內容，教材分為兩到三課時將“完全表面積”（即6個面的總面積）和“不完全表面積”（即少于6個面的面積之和）分開教學?？梢钥闯?，這兩課時結構緊密，無論是方法還是其背后的概念都是一脈相承的，都是建立在對長方體的特征的認識以及對展開圖理解的基礎上進行教學的?；诖?，筆者在教學中將這兩個內容統合起來，進行一體化教學設計，讓知識元件相互映襯。實踐證明，這種建立在數學理解、數學本質上的整合教學，擺脫了原有課時的桎梏。學生在應用時思路更加清晰，思維更加靈活，方法更加多樣。

2.鏈接式設計，讓知識元素深度交融

借鑒“映射理論”，在數學教學中，教師要找準相關知識“映射點”，對相關數學學習內容進行鏈接設計，讓知識元素深度交融。在數學中，有些內容從表面看關聯并不明顯，然而深度分析，卻能發現隱藏其中的綿綿紅線。教師要善于比較、分析，尋找共性，將割裂的知識鏈接起來。例如“商不變的規律”“分數的基本性質”“小數的性質”“比的基本性質”等內容散落在各個年級的各個單元之中，教學中教師要瞻前顧后、左顧右盼，引導學生對這些知識內容進行比較。例如，筆者在教學《比的基本性質》時，和學生一起復習了“商不變的規律”“分數的基本性質”等相關知識內容，引發了學生的積極猜想：比的前項和比的后項同時乘或者除以相同的數（0除外），比的大小不變。應該說，這樣的數學猜想已經很接近“比的基本性質”了。由于學生掌握比、分數、除法的聯系與區別，學生積極聯想，如根據“分數的基本性質”可以“約分”，學生推測根據“比的基本性質”可以“化簡比”；約分要同時除以分子、分母的最大公因數，學生推測比的前項、后項要同時除以它們的最大公因數；約分要約成最簡分數，學生推測化簡比要化成最簡單的整數比等。學生發現，比的基本性質與分數的實質是相通的、一致的，從本質上可以看成同一種性質，只是由于不同的運用、不同的數學表征才衍生出名稱不同的性質和規律。學生由衷地體驗到：于紛繁復雜中，數學其實就這么簡單！

（二）整體感悟，讓思維結構化

1. 遷移式思考，讓思維具有指向性

如上所述，“映射理論”源于心理學上的遷移、類比。教師在教學中要逐步放手，引導學生將相關的數學知識、方法、思想遷移到新知識學習、新問題探索之中。學生經歷數學知識的發生、發展過程，不僅能夠感悟到結構性知識遷移的形成過程，更重要的是獲得遷移性的數學活動經驗。例如教學《梯形的面積》，學生因為有了平行四邊形的面積推導經驗、三角形的面積推導經驗，所以在梯形面積推導過程中，學生的轉化就有了方向，探索就有了策略。他們有的將梯形通過旋轉、平移等策略轉化成平行四邊形；有的將梯形通過分割轉化成三角形；有的通過垂直切拼將梯形轉化成長方形……只有學生掌握了遷移的方法、策略，才能激發學生更多的數學運用和數學創造的激情。

2. 結構式感悟，讓思維具有邏輯性

“映射理論”視野下的結構化教學不僅在于讓數學知識結構化，更在于讓學生產生思維結構的感悟，包括思維的有序性、層次性、邏輯性。結構化感悟讓學生形成積極自主的數學知識建構狀態。它包括兩個層面的建構，一是過程性建構；二是方法性建構。例如教學《乘法交換律和結合律》，學生能夠主動地將學習過程結構納入其中，展開自發的數學探索。即學生由一個問題情境中的相同問題列出兩個形式不同的算式，這是解決問題方法的多樣化。通過算式的結果相等提出相應的數學猜想，然后寫出幾組不同的算式，通過算一算、比一比，展開數學驗證，最后概括數學運算律的運算模型，同時展開簡便運算的實踐運用。在這個過程中，學生不僅掌握了探究的過程性結構，而且對這樣一種數學探究方法——“情境猜想—舉例驗證—歸納結論”也熟練掌握。結構式感悟，讓學生的數學思維更具條理性、邏輯性。

“映射理論”為數學教學材料結構化和教學過程結構化提供了一個視角、一種思路，數學結構化教學研究需要運用教育學、心理學、社會學等多門學科理論。數學教學結構化不僅指涉數學知識的結構化，還指涉學生思維的結構化。通過知識結構與思維結構的相互映射、對話、協同跟進，構建數學課程與教學的結構化大廈。