線性吸收介質非局域線性電光效應的耦合波理論?

吳丹丹1)2) 佘衛龍1)

1)(中山大學,光電子材料與技術國家重點實驗室,廣州 510275)

2)(華南理工大學物理教學實驗中心,廣州 510006)

(2016年9月30日收到;2016年11月15日收到修改稿)

線性吸收介質非局域線性電光效應的耦合波理論?

吳丹丹1)2) 佘衛龍1)?

1)(中山大學,光電子材料與技術國家重點實驗室,廣州 510275)

2)(華南理工大學物理教學實驗中心,廣州 510006)

(2016年9月30日收到;2016年11月15日收到修改稿)

本文提出了線性吸收介質非局域線性電光效應的耦合波理論,建立了相應的耦合波方程組,并求解了該方程組.由此,可給出在任意方向外加電場的作用下,光在具有空間非局域響應的線性吸收介質中沿任意方向傳播時出射光場的表達式.據此,研究了線性吸收是如何改變出射光場的兩個偏振分量的振幅、相位和波形的.進一步討論了線性吸收對電光強度調制的影響,以及如何測量一階線性和二階非線性極化率非局域響應的特征長度和介質的線性吸收系數.

線性電光效應,非局域,線性吸收,電光調制

1 引 言

線性電光效應是一種重要的光學現象,在電光調制和電光開關等方面有著非常廣泛的應用[1?8].折射率橢球理論[9]以其直觀和簡潔,長期以來被廣泛應用于線性電光效應的各種理論分析中.但此理論存在著局限:首先,晶體加電場后其折射率橢球方程的主軸化往往是一件很困難的事,況且還要計算沿光傳播方向上的折射率;其次,折射率橢球理論不能用來處理存在線性吸收或極化率張量具有非局域響應等情況下的線性電光效應.為了繞開這些限制,科研工作者們先后提出了一些新的處理線性電光效應的理論[10?12].在2001年,She和Lee[13]提出了線性電光效應的耦合波理論,該理論可以用來描述在任意方向的外加電場的作用下,光在任意對稱點群的晶體中沿任意方向傳播時的線性電光效應.此耦合波理論從根本上克服了折射率橢球理論的種種局限,為線性電光效應的理論和應用的研究開辟了新方法.現在線性電光效應的耦合波理論已經被成功應用于處理具有線性吸收的介質中的線性電光效應[14,15],也相繼提出了線性電光效應與其他光學效應級聯的耦合波理論[16?19]. 2016年初,在不考慮介質存在吸收的情況下,我們建立了非局域線性電光效應的耦合波理論[20].

本文從麥克斯韋方程組出發,在考慮介質具有線性吸收的情況下發展了非局域線性電光效應的耦合波理論,建立了相應的耦合波方程組,并求解了該方程組.研究表明:首先,當線性吸收介質中兩個吸收系數α11和α22相等時,線性吸收僅使介質中光場的振幅衰減,而不影響其相位和波形,因此,與無吸收介質中的情況一樣,可以認為電光強度調制時出射光束不再保持高斯光束波形的現象是二階非線性極化率存在非局域響應的一個可能信號;其次,當α11與α22不相等時,線性吸收使介質中光場的振幅衰減,相位改變,此時,線性吸收會導致電光強度調制時出射光束的波形不再保持高斯光束波形,因此不能簡單地根據出射光波形是否偏離高斯型來判斷是否存在非局域響應,但可通過測量非局域響應的特征長度值σ2來判斷是否存在非局域響應;在α11?=α22的情況下,線性吸收還使電光強度調制的消光比減小,但對半波電壓沒有明顯影響.最后,我們討論了測量一階線性和二階非線性極化率非局域響應特征長度σ1和σ2以及晶體吸收系數α11和α22的方法.

2 基本理論

其中,μ0為真空中的磁導率;ε0為真空中的介電常數;為晶體的電導率張量;是橫向的面積元,積分的上下限分別為∞和?∞;和分別是一階線性和二階非線性的非局域極化率張量(后文中,在不引起歧義的情況下會將其分別簡寫為和,并且都是實數(實際應用中,如果有虛部存在,則應將其虛部并入方程右邊第一項內).此處,我們認為由于相位失配,只需考慮線性電光效應的貢獻,而忽略了其他二階及更高階的非線性光學效應[19].

這里,我們考慮最簡單的情況[20],即

對于傍軸光束E(x⊥,ζ),我們可以僅考慮其橫向分量(垂直于eζ的分量),而忽略其縱向分量(平行于eζ的分量).這樣E(x⊥,ζ)可以表示為

這里,k1和k2分別為光場E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)的波數.當k1=k2時,E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)分別代表光場兩個相互垂直的分量;當k1?=k2時, E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)分別代表兩個經歷不同折射率的相互垂直的獨立分量,a和b分別為代表E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)方向的兩個單位矢量,并且a·b=0,而ψ1(ξ,η,ζ)和ψ2(ξ,η,ζ)是兩個慢變振幅包絡.將(2)和(3)式代入方程(1)中,把與相關的項當成微擾[13],整理后得到以下的耦合波方程組:

其中,

α11,α12,α22和α21是晶體的吸收系數[15].在方程組(4)中,為了使表達式結構簡潔,將ψj(ξ,η,ζ)寫成ψj,將Rl(|x⊥?x′⊥|)寫成Rl(后文中做類似處理時不再另行說明),用表示Rl和ψj的卷積,即

方程組(4)可以用來描述在任意方向外加電場的作用下,光在線性吸收晶體中沿任意方向傳播時的非局域線性電光效應,其中響應函數的具體形式要根據引起非局域的物理機制來定[23].精確求解方程組(4)會存在困難,但在給定各參數的情況下,可以進行數值求解.

下面,我們僅考慮弱非局域[23]的情況,此時Rl(|x⊥|)的特征長度遠小于ψj(ξ,η,ζ)的束寬.因此有

容易看出,當光束E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)的束寬為無窮大時,就會有,方程組(6)就簡化成文獻[14]中描述的線性吸收介質中局域情況下的線性電光效應.

如果外加電場Ed=0,則d1=d2=d3= d4=0,那么方程組(6)變成

對應的出射光強為

其中

這里,α=(α22?α11)/2,它反映了吸收系數α11與α22的不同.容易驗證下面的恒等式

其中

當Δk=0,α=0,即k1=k2和α11=α22時,我們發現是一個常數矩陣,因此.另一方面,對大多數的雙折射晶體,當k1和k2不是太靠近光軸[13]時,條件|Δk|?|dm|成立(m=1,2,3,4),這使得近似為一個對角矩陣,從而得到.對這兩種情況,(13)式變成

做變換

把(18)和(19)式代入方程(11)中,整理后可得

如果

對于局域情況σ1=σ2=0,方程組(6),(22)和(23)式就變成描述線性吸收介質中入射光是高斯光束時的線性電光效應的耦合波方程組及其解析解.這正好彌補了之前的線性吸收介質線性電光效應的耦合波理論只討論入射光是平面波的情況的不足[14].

3 分 析

3.1 k1=k2且α11=α22

當光沿著單軸晶體的光軸方向傳播,或者在ˉ43m和23對稱點群的晶體中傳播時,我們有eξ=ex,eη=ey和eζ=ez((x,y,z)為晶體的介電主軸坐標系,ex,ey,ez分別為三個坐標軸的方向矢,對單軸晶體ez代表單軸晶體的光軸方向),以及k1=k2,Δk=0和d1=d3,同時α11=α22(即α=0).對振幅調制,我們把兩個正交的偏振片P1和P2分別放在晶體的入射面和出射面處.此時, a=ex平行于P1,b=ey平行于P2.對于入射條件E01=E0,E02=0,由(22)式,我們可以得到從偏振片P2出來的光場為

出射光的強度為

其中,I0=|E0|2是入射光的光強,

由(24)和(25)式可知,電光強度調制時,線性吸收只是使出射光場的強度衰減,而對出射光場的波形,電光調制的半波電壓和消光比都沒有影響.所以與無吸收介質中的情況一樣,出射光場不再保持高斯光束波形這一現象可以被認為是ˉχ(2)存在非局域效應的一個可能信號.由(25)式可知,給定各參數,調節Ed,當β′z??(z)=π時,電光強度調制的出射光強Iout達到最大值,此時有

這樣就獲得了σ2的值.

圖1 Iout/I0隨α11+α22的變化,其中,d2=d4= 0 m?1,d1=d3=71.2494 m?1Fig.1.The dependence of the ou tpu t intensity Iout/I0on the absorp tion coeffi cientα11+α22.Here d2= d4=0 m?1,d1=d3=71.2494 m?1.

3.2 |Δk|?|dm|

此處,不失一般性,我們設置k1＞k2,這樣β≈ ?Δk?d2+d4?iα.對于振幅調制,設θ是偏振片P1和a之間的夾角,且E01=E0cosθ, E02=E0sinθ為入射光束的振幅.由(22)式,我們可以得到從偏振片P2出來的光場為

出射光的光強為

圖2 當吸收系數α11和α22的值不同時,出射光I(ξ,0,ζ)/I0在不同的傳播距離ζ/kow2處的光束形狀,其中,k1=ko= 2.87770×107m?1,k2=ke=2.76460×107m?1,d2=192.076 m?1,d4=437.124 m?1Fig.2.Shapes of the output beam s I(ξ,0,ζ)/I0at diff erent travelling distancesζ/kow2w henα11andα22have d iff erent values.Here k1=ko=2.87770×107m?1,k2=ke=2.76460×107m?1,d2=192.076 m?1,d4=437.124 m?1.

圖3 出射光強度Iout/I0隨外加電場Ed的變化,其中虛線α11= α22=0 m?1,實線α11=10 m?1, α22=15 m?1;其他參數的選取與圖2相同Fig.3.The dependence of the ou tpu t intensity Iout/I0on the external dc electric field Ed. Dashed line: α11= α22=0 m?1;solid line,α11=10 m?1, α22=15 m?1.O ther param eters are the sam e as Fig.2.

注意到圖2(d),(e),(f)中的光束形狀(對應于α11= α22=20 m?1)與圖2(g),(h),(i)中的光束形狀(對應于α11=α22=0)分別對應相同,但圖2(d),(e),(f)中的振幅由于吸收的存在發生了衰減.將圖2中的(a),(b),(c)圖分別與相應的圖2(d),(e),(f)進行對比,同時結合(27)式可以發現,圖2(a),(b),(c)由于α11?= α22,出射光束的波形相對于圖2(d),(e),(f)發生了改變.而且,由(27)式我們還注意到:在有吸收的介質中,當α11?=α22時,即使沒有非局域效應,入射時的高斯光束在晶體中傳播一段距離后在晶體的出射面處波形也可能發生畸變而不再保持高斯光束波形.所以與無吸收介質中的情況不同,此處不能簡單地根據出射光束波形的變化來判斷ˉχ(2)是否存在非局域響應.

仍然以LiNbO3晶體為例,根據(28)式給出了出射光強隨外加電場變化的曲線,如圖3所示.從(28)式和圖3可以看出,電光振幅調制時,線性吸收使出射光的光強發生了衰減,調制的消光比減小,但調制的半波電壓并沒有受到明顯的影響.這可為電光器件設計者提供參考.根據(28)式,給定各參數后,調節外電場Ed,當(Δk+d2?d4)ζ+?(ζ)=π時,出射光強Iout達到最大值,此時有

可以依據σ2的值是否為零,來判斷ˉχ(2)是否存在非局域響應.

4 結 論

我們進一步推廣了線性電光效應的耦合波理論,提出了線性吸收介質非局域線性電光效應的耦合波理論.運用該理論,我們研究了線性吸收對非局域線性電光效應的影響.研究表明:首先,當α11=α22時,線性吸收使出射光場的振幅衰減,而不改變其波形.此時可以根據電光強度調制時出射光束波形是否保持為高斯型來判斷是否存在非局域響應.其次,當α11?=α22時,線性吸收除了使出射光場的振幅衰減還改變了其相位,從而導致電光強度調制時出射光束的波形發生變化,此時可通過測量σ2的值來判斷ˉχ(2)是否存在非局域響應.在α11?=α22時,線性吸收還使電光強度調制的消光比減小,但對半波電壓沒有明顯影響.最后,我們還討論了測量和非局域響應特征長度和晶體吸收系數α11和α22的方法.

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W ave coup ling theory o f non local linear electro-op tic eff ect in a linear absorbent m ed ium?

Wu Dan-Dan1)2)SheWei-Long1)?

1)(State K ey Laboratory of Op toelectronic M aterials and Technologies,Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275,China)
2)(Physics Teaching and Experim ent Center,Sou th China University of Technology,Guangzhou 510006,China)
(Received 30 Sep tem ber 2016;revised m anuscrip t received 15 Novem ber 2016)

Being an im portant optical phenom enon,the linear electro-optic eff ect has diverse app lications in the opticalm odulation and op tical sw itching.The refractive index ellipsoid theory has been w idely used to study the linear electro-optic eff ect for a long time.Despite of its visualization such a theory has lim itations and cannot deal w ith a lot of cases in which the linear absorption cannot be neglected,or the electric disp lacem ent vector has a nonlocal response to electric field,etc.To overcom e such shortcom ings,in 2001 a wave coup ling theory of linear electro-optic eff ect was developed by She and Lee(She W,LeeW 2001 Opt.Comm un.195 303).And in 2016 we generalized this wave coup ling theory to the treatm ent of non local linear electro-optic eff ect in which the disp lacem ent vector has a non local response to electric field.

In this paper,we use this wave-coup ling theory to investigate how the linear absorption influences the linear electro-optic eff ect in a nonlocalm edium.Starting from M axwell’s equations and considering the linear absorp tion and the non locality of the susceptibility tensors,we obtain two coup ling equations for two orthogonal linear polarized waves and also analytical solutions of the resu lting equations,which can be used to describe the non local linear electro-optic eff ect for a light beam propagating along any direction,w ith an external direct current electric field app lied along an arbitrary direction in a linear absorbent crystal.W ith such solutions,we study the infl uences of the linear absorp tion on the phase,am p litude,shape of the output beam,aswellas the half-wave voltage and the extinction ratio of electro-optic m odulation.The results show that no m atter whether there exists linear absorp tion,the Rayleigh distance of the Gaussian beam in the crystalw ill be shortened as a result of the nonlocality ofˉχ(1).W hen linear-absorption coeffi cientsα11andα22are equal,the linear absorption dam ps equally the am p litudes of the two polarized output beam s w ith keeping their phases and shapes unchanged.So in the case ofα11=α22,just as in a losslessm edium,the phenom enon that the output beam is no longer a Gaussian beam in an electro-optic am p litudemodu lation scheme can be considered as a possib le signal of the non local response ofˉχ(2).M ore interestingly,whenα11?=α22,the linear absorption not only reduces the am p litudes of output beam s,but also changes their phases and shapes.In such a case one need tomeasure the nonlocal characteristic length ofˉχ(2)to judgewhetherˉχ(2)has a nonlocal response.Finally,in the case ofα11?=α22, as a result of linear absorption,the extinction ratio is reduced,but the half-wave voltage keeps nearly unchanged in an electro-optic am p litudemodulation scheme.Besides the discussion on the infl uence of the linear absorption,we also m ake suggestions of how to m easure the nonlocal characteristic lengths ofˉχ(1)andˉχ(2)and the absorption coeffi cients α11andα22.

linear electro-optic effect,nonlocal,linear absorption,electro-opticmodulation

10.7498/aps.66.064202

?國家自然科學基金(批準號:11274401)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:shew l@m ail.sysu.edu.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant No.11274401).

?Corresponding author.E-m ail:shew l@m ail.sysu.edu.cn