分層有耗手征介質中斜入射電磁波的傳播矩陣?

王飛1)2) 魏兵1)2)

1)(西安電子科技大學物理與光電工程學院,西安 710071)

2)(西安電子科技大學信息感知技術協同創新中心,西安 710071)

(2016年9月28日收到;2016年11月11日收到修改稿)

分層有耗手征介質中斜入射電磁波的傳播矩陣?

王飛1)2)?魏兵1)2)

1)(西安電子科技大學物理與光電工程學院,西安 710071)

2)(西安電子科技大學信息感知技術協同創新中心,西安 710071)

(2016年9月28日收到;2016年11月11日收到修改稿)

根據相位匹配條件,推導了平面電磁波斜入射情形下分層有耗手征介質中本征波復數波矢量的實部和虛部,二者方向不同使得在介質中傳播的本征波為非均勻平面波.然后通過波矢量實部確定了介質中本征波的折射角.最后根據邊界條件和本征波場方程給出了分層有耗手征介質中斜入射電磁波的傳播矩陣,該傳播矩陣可用于解析分析任意入射角情形下分層手征介質的反射透射和電波傳播特性.

分層有耗手征介質,斜入射,傳播矩陣

1 引 言

在電波傳播、微波遙感和光學等多個領域,分層介質中電磁波的傳播特性研究一直引人關注且具有普遍實用價值.而最近幾年,手征超材料(chiralmetamaterials,CMM)的興起再次引起了人們對電磁波與手征介質的相互作用問題的濃厚興趣.手征介質具有的手征性(chirality)是指平移和旋轉都不能使一個物體和其鏡像完全重合的性質,除人工CMM外,自然界中的螺旋結構高分子化合物及DNA螺旋結構等都具有手征性.不同于一般介質,手征介質中的電場和磁場是耦合的,其中傳播的本征電磁波是右、左旋圓極化波,這使得通過其中的電磁波極化面發生旋轉[1?3],這一特性使其在微波天線陣列、天線罩、微帶線基片和波導等方面有著廣泛的應用.分層手征介質中電波傳播特性的解析分析方法研究,對于手征介質天線設計、CMM設計、手征參數反演等都具有重要意義. 1988年,Basiri等[4]解析分析了手征介質界面對平面電磁波的反、透射并給出了手征介質中的本征波場表達式;隨后,很多國外學者先后將矢量電路[5], Wentzel-K ramers-Brillouin近似[6]、譜域并矢格林函數[7]、矢量傳輸線[8],4×4矩陣[9]、并矢格林函數[10]、調和格林函數[11],Mueller矩陣[12]等解析分析方法推廣應用于層狀手征介質;國內學者利用傳播矩陣[13]、傳輸線理論[14]、不對稱傳輸線模型[15]分析了電磁波正入射分層手征介質問題;張援農等[16]用傳播矩陣分析了無耗分層手征介質的光子帶隙特性.

Engheta等[17]和Lindell等[1]的研究表明,手征介質都具有頻率色散特性,其電磁參數一般為頻率的復數函數.這使得在手征介質中傳播的右、左旋圓極化本征波的波矢量和波數一般為復數,即手征介質一般是有耗的.因此,當平面電磁波從空氣斜入射到手征介質中時,由于相位匹配,手征介質中波矢量的實部和虛部方向不同.波矢量實部方向為相位傳播方向,而虛部方向為振幅傳播方向,二者不同使得這時在手征介質中傳播的本征波為非均勻平面波.本文首先根據相位匹配條件,推導了平面電磁波斜入射分層有耗手征介質時介質中本征波復數波矢量的實部和虛部,并依此計算出本征波的折射角;然后根據邊界條件和本征波場方程推導了分層有耗手征介質中斜入射電磁波的傳播矩陣,該傳播矩陣可用于解析分析任意入射角情形下分層手征介質的反射透射和電波傳播特性.

2 手征介質的本構關系和本構參數

手征介質(Paster介質)的本構關系可寫為[1]

其中ε0和μ0分別是真空介電系數和磁導率,εr和μr分別是手征介質的相對介電系數和相對磁導率,κ是手征參數.(1)式稱為手征介質本構關系的EH表述.1990年,Engheta和Zablocky[17]為了確定手征介質的瞬態響應而研究手征介質的K ramers-K ronig關系時,將手征介質的本構關系寫為

(2)式稱為手征介質本構關系的EB表述,其中ξc稱為手征導納.根據(1)和(2)式可得兩種表述中本構參數的關系為

Engheta和Zablocky[17]證明手征導納ξc為頻率的復函數,因此根據(3)式可知手征參數κ也是頻率的復函數,其實部和虛部分別代表了手征介質的旋光色散(optical rotatory dispersion,ORD)和圓二色性(circular dichroism,CD).Lindell等[1]進一步研究證明相對介電系數εr和相對磁導率μr也必是頻率的復函數.因此對手征介質,不論是EH表述下的本構參數εr,μr,κ,還是EB表述下的本構參數εc,μc,ξc,都是頻率的復函數,即介質各個參數皆為復數.

3 分層手征介質

考慮由n層不同參數手征介質構成的分層結構置于真空(或空氣)中的情況,如圖1所示.設介質層各分界面垂直于z軸(平行于xoy平面),沿z軸正方向分別為第1層到第n層,分別設為介質1到介質n,介質層左側和右側的真空區域分別設為介質0和介質t.第1層(介質1)與真空(介質0)分界面坐標為z=d0=0;往后各分界面坐標為z=d1,d2,···,dn;z=dn為最后一層(介質n)與真空(介質t)分界面坐標.設各層手征介質的電磁參數分別為εrl,μrl,κl(l=1,2,···,n).

設平面電磁波從介質0區域(真空)斜入射到該手征介質層,入射面為xoz平面,這時介質0區域為入射波和反射波區域,介質層另一側的介質t區域為透射波區域,如圖1所示.入射角、反射角、透射角分別設為θi,θr,θt.此時,在介質層中的各個區域內都同時存在前向行波(右行波)和后向行波(左行波),另外由于介質的手征特性,各行波都包含兩個本征波:I型本征波即右旋波和II型本征波即左旋波.設各個區域中前行波的兩個本征波傳播方向與z軸的夾角分別為θl1和θl2,即為兩個本征波的折射角.

圖1 層狀手征介質Fig.1.Stratified chiralm ed ia.

3.1 各介質區域內的波矢量

由于介質0和介質t為真空,波數k0=為實數.所以入射波、反射波、透射波的波矢量分別為

根據相位匹配原理[18],各層波矢量的x分量相等,記為kx,則由(4)式可知

在介質1到n各個區域為手征介質,其波數為[1]

其中kl1和kl2分別表示介質l中I型和II型波波數, I型波取+號,II型波取?號.由于手征介質參數為復數,所以其中的波數和波矢量一般亦為復數.設介質l中前行的I型和II型本征波波矢量分別為kl1和kl2,并寫為

上標R,I分別表示實部和虛部.由于各層波矢量的x分量相等,因此有

所以在手征介質層中,波矢量的虛部x分量為0,只有z分量,波矢量可寫為

由(9)式可得

又根據(6)式有

3.2 各介質層中本征波的折射角和波阻抗

由于各介質層中波矢量的虛部只有z分量,所以波的等振幅面垂直于z軸.波矢量的實部既有z分量又有x分量,不同介質層中波矢量實部的x分量相等.波矢量實部的方向為相位傳播方向,由前面給出的波矢量實部z和x分量可以得到各介質層中本征波的折射角的余弦為

介質0和介質t區域為真空,波阻抗Z0=Zt=為實數.在介質1到n各個區域為手征介質,其波阻抗為復數[1]

定義l層和l+1層的相對復數波阻抗為

4 分層手征介質傳播矩陣

4.1 介質層中各層內部的傳播矩陣

一般地,第l(l=1,2,···,n)層手征介質中前向和后向傳播的電磁波為[4](簡單起見,略去時諧因子exp(?jωt),下同)

圖2 平面波斜入射層狀手征介質Fig.2.Oblique incidence on stratified chiralm edia.

其中

下標1,2表示I型(右旋)波和II型(左旋)波,上標±表示前向和后向行波.

根據(18)式可知,I,II型波的前向和后向行波電場在Nl和Ml點(圖2)處的關系為

其中

4.2 介質層中各分界面兩側的傳播矩陣

如圖2所示,Ml+1和Nl分別為第l和l+1層分界面(z=dl)前側和后側的觀察點,根據邊界條件[18],兩點處電、磁場切向連續,則由(18)和(19)式可得

其中

為l和l+1層分界面z=dl兩側從Ml+1點到Nl點的后向傳播矩陣.

4.3 入射界面處的后向傳播矩陣

在入射區(介質0)存在入射波和反射波,入射波為前向行波,可表示為[4]

其中

反射波為后向行波,可表示為[4]

其中

根據邊界條件,在介質0和介質1分界面z=d0=0處,界面前側M1點處的場和界面后側N0點處(圖2)的場有如下關系:

其中

為介質0和介質1分界面z=d0=0處,界面兩側從M1點到N0點的后向傳播矩陣.

4.4 透射界面處的后向傳播矩陣

在透射區(t)只有透射波,為前向行波,無后向行波.透射波可表示為[4]

其中

根據邊界條件,在介質n和介質t分界面z=dn處,界面前側Mt點處的場和界面后側Nn點處(圖2)的場有如下關系:

為介質n和介質t分界面z=dn處,界面兩側從Mt點到Nn點的后向傳播矩陣.

4.5 后向傳播矩陣

綜合上述討論分析可得圖2中從Mt點到N0點的傳播用傳播矩陣表示為

其中

即為后向傳播矩陣.

5 線極化波入射時的反射透射系數計算

傳播矩陣M為4×4矩陣,設其元素為mij(i,j=1,2,3,4).根據(34)式可解得反射電場和透射電場用入射電場的表示,

其中反射矩陣R和透射矩陣T分別為

設入射線極化平面波波幅為E0,分別討論TE波入射和TM波入射時,分層手征介質的同極化和交叉極化反射透射系數的計算.入射波為TE波時,入射電場平行分量為0;入射波為TM波時,入射電場垂直分量為0,即

將(38)式代入(36)式可得TE波、TM波同極化和交叉極化反射、透射系數分別為

6 算 例

6.1 色散手征介質層的反射和透射系數

無限大色散手征介質層厚度d=0.1 m,介電系數和磁導系數為Lorentz模型,手征參數為Condon模型

其中ε∞=2,εs=5,ωε=4π×109,ξε=0.5, μ∞=1.1,μs=1.8,ωμ=4π×109,ξμ=0.5, ωκ=4π×109,ξκ=0.3,τκ=0.5/ωκ.設線極化平面波垂直入射該色散手征介質層,圖3中的劃線和實線分別表示利用本文傳播矩陣方法計算得到的反射系數Rco,Rcr和透射系數Tco,Tcr的幅值;同時我們又采用時域有限差分(FDTD)方法[19]計算該介質層對入射脈沖的時域響應并通過傅里葉變換得到頻域反射透射系數,計算結果在圖3中用十字和叉表示,可見二者非常符合.

線極化波進入手征介質后分解為左、右旋兩個圓極化本征波,由于ORD特性,兩本征波的相速不同,使波的極化方向發生旋轉,而CD又使兩本征波的衰減不同,因此線極化波進入手征介質后成為橢圓極化波,反射波和透射波的極化方向都發生變化,只有當垂直入射時,由于手征介質的互易性[12,20,21],反射波與入射波極化方向相同,交叉極化反射系數為0(如圖3(b)所示).

圖3 色散手征介質層的反射透射系數幅值 (a)同極化反透射;(b)交叉極化反射透射Fig.3.The am p litudes of refl ection and transm ission coeffi cients for a d ispersive chiral layer:(a)The co-polarized refl ection and transm ission;(b)the cross-polarized refl ection and transm ission.

6.2 四重旋轉?單元結構CM M平板的反射和透射系數

文獻[22]反演了一種四重旋轉?單元結構CMM平板的本構參數,其表達式為

圖4 四重旋轉?單元結構CMM平板的反射和透射系數幅值 (a)同極化反射;(b)交叉極化反射;(c)同極化透射;(d)交叉極化透射Fig.4.The am p litudes of refl ection and transm ission coeffi cients for the four-folded rotated-particle CMM slab:(a)The co-polarized refl ection;(b)the cross-polarized refl ection;(c)the co-polarized transm ission; (d)the cross-polarized transm ission.

其中ω0=1.8713 THz,γ=0.05463ω0,εb= 3.1736,μb=0.9798,?ε=0.156,?μ=0.0625,?κ=0.0993,板厚度為d=12μm.利用本文傳播矩陣方法計算了線極化平面波入射該手征介質平板時的反射和透射系數,如圖4所示,圖4(a)—(d)分別是同極化、交叉極化反射系數Rco,Rcr和透射系數Tco,Tcr的幅值,其中實線為垂直入射情形,劃線和點線表示TE波在30?和60?斜入射時情形,實心和空心圓圈表示TM波在30?和60?斜入射時情形.由圖可見,由于手征介質的互易性[12,20,21],交叉極化反射、透射系數幅值與入射波極化狀態無關,而且垂直入射時的交叉極化反射系數為0.同時,反射透射系數在頻率ω0=1.8713 THz處有較強振蕩.

6.3 周期分層手征介質的反射和透射系數

一周期分層結構位于空氣中,它由(εc1,μc1,ξc1)和(εc2,μc2,ξc2)兩種非磁性手征介質交替排列而成,每層厚度相等為d=180 nm,介質參數為μc1=μc2=μ0,εc1=(6.55?0.16j)ε0, εc2=(1.75?0.27j)ε0和ξc1=ξc2=1×10?3?j× 2×10?4(S),共22層.利用本文傳播矩陣方法計算了線極化平面波入射該分層結構的反射和透射系數,如圖5所示.圖5(a)—(d)分別是同極化、交叉極化反射系數Rco,Rcr和透射系數Tco,Tcr的幅值,其中實線為垂直入射的情形,劃線和點線表示TE波在30?和60?斜入射時的情形,實心和空心圓圈表示TM波在30?和60?斜入射時的情形.由圖可見,在紅外區域存在光子帶隙,且光子帶隙的位置和寬度與入射波的極化狀態和入射角都有關系,這使得對同一結構,可以通過控制入射極化狀態和入射角實現光子帶隙調節.

圖5 周期分層手征介質的反射和透射系數幅值 (a)同極化反射;(b)交叉極化反射;(c)同極化透射;(d)交叉極化透射Fig.5.The am p litudes of refl ection and transm ission coeffi cients for the period ic layered chiral m edia:(a)The co-polarized reflection;(b)the cross-polarized reflection;(c)the co-polarized transm ission;(d)the cross-polarized transm ission.

7 結 論

由于手征介質的色散特性使其一般為有耗介質,因此當平面電磁波斜入射層狀手征介質時,介質中傳播的平面本征波為非均勻波.本文首先利用相位匹配條件推導了層狀手征介質中本征波復數波矢量的實部和虛部,并利用波矢量實部計算本征波折射角,然后根據邊界條件和本征波場方程給出計算層狀手征介質中斜入射電磁波的的傳播矩陣,利用該傳播矩陣計算了單層和多層手征介質的反射和透射系數.該傳播矩陣可以用來解析分析斜入射、有耗等條件下電磁波在層狀手征介質中的傳播特性,同時由于可以通過令手征參數κ=0將手征介質退化為一般介質,所以該傳播矩陣同樣適用于一般的層狀介質或一般介質與手征介質復合層狀結構.此外,除了計算反射透射這樣的正問題,可以進一步研究利用傳播矩陣分析逆問題——通過實驗測量得到的反射和透射矩陣反演手征介質參數,這在CMM結構設計和等效參數反演中將具有重要的實用價值和意義.

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PACS:41.20.Jb,42.25.Bs,78.20.CiDOI:10.7498/aps.66.064101

P ropagation m atrix o f p lane w ave inciden t ob liquely on stratifi ed lossy ch iralm ed ium?

Wang Fei1)2)?Wei Bing1)2)

1)(School of Physics and Optoelectronic Engineering,X idian University,X i’an 710071,China)
2)(Collaborative Innovation Center of Inform ation Sensing and Understanding at X id ian University,X i’an 710071,China)
(Received 28 Sep tem ber 2016;revised m anuscrip t received 11 Novem ber 2016)

The real and im aginary parts of the eigen com p lex wave vector in a stratified lossy chiralm edium for the case of ob lique incidence are derived by using the phase-m atching condition.Due to the fact that the real and im aginary parts are nonparallel,the eigen wave propagating in the medium is inhomogeneous.Then the refraction angle of the eigen wave can be deduced via the real part of the wave vector.Finally the propagation m atrix of the obliquely incident wave in a stratified lossy chiralm edium is derived based on the boundary conditions and the field equations of eigen wave in each region.By using the p roposed method,the reflection,transm ission,and p ropagation characteristics of p lane wave w ith arbitrary incident angle in a stratified chiralmedium can be analyzed.

stratified lossy chiralmedia,oblique incidence,propagation matrix

10.7498/aps.66.064101

?國家自然科學基金(批準號:61401344,61571348)和中國國家留學基金(批準號:201606965055)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:w fei79@163.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.61401344,61571348)and the State Scholarship Fund of China(G rant No.201606965055).

?Corresponding author.E-m ail:w fei79@163.com