雙開口Helm holtz局域共振周期結構低頻帶隙特性研究?

姜久龍 姚宏杜軍 趙靜波 鄧濤

1)(空軍工程大學航空航天工程學院,西安 710038)

2)(空軍工程大學理學院,西安 710051)

3)(西安飛行學院,西安 710306)

(2016年8月12日收到;2016年12月27日收到修改稿)

雙開口Helm holtz局域共振周期結構低頻帶隙特性研究?

姜久龍1)姚宏2)?杜軍1)趙靜波2)鄧濤3)

1)(空軍工程大學航空航天工程學院,西安 710038)

2)(空軍工程大學理學院,西安 710051)

3)(西安飛行學院,西安 710306)

(2016年8月12日收到;2016年12月27日收到修改稿)

設計了一種雙開口Helmholtz周期結構,該周期結構單元采用雙開口內外腔設計,基于多腔耦合局域共振機理,可大大增加局域共振區域,增加能得到較低的低頻帶隙特性.通過設計調節內腔弧長,可以使帶隙移動,達到特定低頻頻段的隔聲效果.在分析低頻帶隙形成機理和影響因素時,采用聲電類比原理建立帶隙起始頻率和截止頻率的計算數學模型并與有限元方法進行對比分析.研究表明:該結構具有良好的低頻帶隙特性,其最低帶隙段為86.9—138.2 Hz.外徑一定的條件下,低頻帶隙受內腔弧長、內外腔間隔以及周期單元結構間隔影響,內腔弧長越長,低頻帶隙越低;內外腔間距離越大,從而內腔體積變小,帶隙向高頻移動,其低頻效果變差;減小結構間距對低頻帶隙起始頻率無影響,但可以大大增加低頻帶隙截止頻率,從而增加帶隙寬度.該研究結論可以為低頻降噪領域提供一定的實踐和理論支持.

Helm holtz共振,周期結構,低頻帶隙,聲電類比

1 引 言

近年來,以聲子晶體和聲學超材料為代表的人工周期結構受到了越來越多研究者的關注.在人工周期結構中,周期變化的結構參數使之具有“帶隙”特性.其帶隙特性表現為:頻率在帶隙范圍內的聲波或彈性波在結構中不會傳播,這種特性為該種結構或材料在隔振降噪領域的應用打下了基礎.長期的研究表明,人工周期結構帶隙的產生主要有兩種機制:一種是Bragg散射機制[1?3],另一種是局域共振機制[4,5].Bragg散射型聲子晶體中的帶隙稱為Bragg帶隙,其產生受Bragg條件控制——晶格尺寸至少要與彈性波的半個波長大致相當.因此,為了得到低頻Bragg帶隙,需要的聲子晶體尺寸往往很大,而不便于實際應用.局域共振機制由Liu等[4]首次提出,他們發現這種新型聲子晶體可以在小尺寸條件下產生非常低頻的帶隙(晶格尺寸遠小于帶隙頻率對應的彈性波波長),大大突破了傳統Bragg散射型聲子晶體的局限,從而達到了“小尺寸控制大波長”的目的.局域共振型聲子晶體同時可以表現出負等效質量密度、負等效模量等新奇特性[6?12].

當前,采用人工周期結構處理隔振降噪問題的主要發展方向為設計“輕質小巧、低頻寬帶”的結構.Helmholtz共鳴腔利用了空氣的共振特性,只需進行結構設計而無需另外附加質量便使其在輕質和低頻設計上具有良好的優勢,得到了眾多學者的認可.Fang等[13]利用Helmholtz共振原理設計的周期結構首次實現了結構在特定的頻率段具有負的楊氏模量.Ding等[14,15]提出了一種可控二維Helmholtz周期結構,理論分析和實驗表明其也存在負楊氏模量.Guan等[16]設計了回旋結構的Helmholtz共鳴器,得到了很好的低頻帶隙.Li等[17]設計了多層開口環結構,打開了較低的低頻帶隙,并利用聲電類比方法對影響其帶隙的參數進行了分析.劉敏等[18]通過對二維正方排列圓柱Helmholtz共振腔陣列聲特性的研究,指出局域共振型聲子晶體中存在共振單元與基體的弱耦合作用及共振單元間的耦合作用.Murray等[19]基于Helmholtz共鳴原理設計了雙層漁網結構(double fishnet),獲得了在中高頻段良好的隔聲效果.

當前的Helm holtz共鳴器周期結構研究中,考慮低頻特性較少,尤其是100 Hz以下的低頻段.主要原因是Helmholtz共鳴器周期結構設計中,受開口數量和深度的影響,其局域共振區域較小,導致低頻特性的獲取往往需要較大的體積.本文中,周期結構單元采用雙開口內外腔設計.雙開口設計增加了共鳴器與外部空氣聯通的區域;特有的內外腔設計,增加開口深度,以求增大協同共振區域,使共振頻率下降;在共振頻率附近,由于空氣被局域在結構內部,聲波不能傳播,達到隔聲的目的,在能帶特性上表現為能帶下移,因此可以得到較低的低頻能帶特性.同時通過內腔弧長的調整,可以使帶隙頻段移動,達到低頻帶隙頻段可調的目的.在分析其低頻帶隙形成機理的過程中,建立了低頻帶隙電路等效計算數學模型,并與有限元法對比分析.該數學模型使結構設計難度大大降低,節約大量的有限元計算時間,同時通過數學模型的建立,可以完成結構參數對帶隙影響的定量分析,能深入揭示該結構的結構參數對低頻帶隙的影響.

2 雙開口局域共振聲子晶體低頻帶隙

雙開口局域共振單元結構橫截面如圖1(a)所示,該結構為內外兩腔的圓柱結構,制作材料為鋼.外腔半徑為r;開口寬度分別w1,w2;管壁厚度為d;內腔弧角度β;兩腔間隔為w0.在結構設計中,通過調整內腔弧角度β,可以改變結構,達到帶隙可調的目的.

為了探究該結構的能帶結構和共振模態,取結構參數為a=100 mm,r=45 mm,w0=1 mm, d=1mm,w1=2mm,w2=2mm,β=180?的模型作為研究對象.對空氣域來說,聲壓Helmholtz方程的頻域表達式為

式中,p為聲壓,ω為角頻率,c為聲速,ρ為空氣密度.

空氣的聲阻抗較固體鋼小得多,由于這兩種介質聲阻抗差異大、不匹配,聲波很難從一種介質傳播到另一種介質.空氣中傳播的聲波幾乎都在固體間反射,很難透射過去,可以認為聲波透過固體鋼的能量很小,能夠引起固體振動的能量非常小,幾乎可以忽略,因此在計算中將腔殼視為剛體,不考慮其振動.根據Bloch理論,該結構中采用Bloch-Floquet邊界,其表達式為

圖1 (a)雙開口Helm holtz單元橫截面;(b)雙開口Helm holtz結構5元胞有限結構Fig.1.(a)The unit structure’s cross section of the double-sp lit Helm holtz resonant structure;(b)the finite structure w ith 5 cells of the doub le-sp lit Helm holtz resonant structure.

圖2 (a)雙開口Helm holtz單元能帶結構圖;(b)雙開口Helm holtz單元隔聲曲線Fig.2.(a)Band d iagram of the doub le-sp lit Helm holtz resonant structu re;(b)the transm ission spectra of the doub le-sp lit Helm holtz resonant structu re.

式中,r是位置矢量;a為聲子晶體晶格常數;參數k為波矢,它描述了相位和定義邊界條件與元胞的關系.在給定的波矢條件下,通過解譜方程可以得到一組特征值和特征向量,而在第一Brillouin區邊界上的波矢所對應的特征向量代表了特征模態的聲壓.

為了計算所提出結構的聲波傳輸特性,定義了由5個有限個元胞組成的周期結構.其結構在y方向上是無限周期,在x方向為5個元胞組成,如圖1(b)所示,在結構上下邊應用周期邊界條件,而在兩端應用完美匹配層.

對于有限聲子晶體結構,隔聲量(或稱傳聲損失)可以由下式計算得出:

式中Po為輸出聲壓,Pi為入射聲壓.通過改變平面波傳輸頻率,重復計算后得到隔聲曲線.經過計算得到的帶隙結構和隔聲量如圖2(b)所示.

采用COMSOL Multiphysics仿真軟件(聲學模塊),使用軟件模塊中默認三角網格劃分,對帶隙結構和傳輸頻譜進行計算,結果如圖2所示.可以看出,在2500 Hz以下的頻段,該結構具有兩條完整振帶隙,如圖2(a)中淺灰色部分.其中,在第一能帶和第二能帶之間為最低的帶隙,其帶隙寬度為87.1—138.2 Hz.第2條完整帶隙分別為1428.5—2231.7 Hz.同時注意到,該結構在Γ-X方向也具有四條方向帶隙,如圖2(a)中深灰色部分.為了驗證帶隙結構計算的正確性,同時給出了5元胞有限結構的隔聲特性圖作為對比,如圖2(b)所示.前面提到,在帶隙內波的傳播將會受到抑制,由隔聲特性圖可以看出,在全帶隙以及Γ-X方向帶隙頻段聲波受到了極大的抑制,且抑制范圍與帶隙寬度符合度較好,說明了帶隙計算的正確性.

進一步分析,第一能帶在大部分Brillouin區呈現出了較長的平直狀態,說明該結構存在著局域共振模態,其第一帶隙為局域共振帶隙.對于第二完全帶隙,其為Bragg帶隙,其出現的頻率位置主要受Bragg條件控制,Bragg條件表明,要在聲子晶體中實現Bragg帶隙,其晶格尺寸至少要與彈性波的半個波長大致相當.其帶隙頻率中心可由下式得到:

其中,c代表聲子晶體中基體彈性波波速,a代表晶格常數.因此,在Bragg散射型聲子晶體中,其第一帶隙中心頻率一般位于c/(2a)附近.則該結構第一Bragg帶隙中心頻率根據晶格常數及空氣中聲速計算,即f0=c0/(2a)=1715 Hz,與能帶結構圖2(a)相符合.同時由(4)式也可以看出,第二帶隙形成主要受晶格常數影響,與結構設計并無太大關系,元胞結構主要影響低頻帶隙,因此在下文中,主要分析結構對低頻帶隙形成機理的影響因素.

3 低頻帶隙形成機理及等效建模分析

從圖2帶隙圖可以看出,第一能帶在大部分Brillouin區呈現出了較長的平直狀態,這說明該結構存在著局域共振模態.為了進一步研究結構低頻帶隙形成機理,選取了低頻全帶隙中的上下限點(如圖2(a)所示P,Q點)的聲壓場,對低頻帶隙形成機理進行分析.

圖3(a)表示P模態的聲壓場,可以看出,聲壓幾乎全部局限在圓腔內部,而在外部聲壓場壓力很小,幾近于0.而在內外腔形成的環形通道內,聲壓場是變化的,在外部幾乎近于0,而越靠近圓形內腔,其聲壓強度越大.因此可以認為P模態主要是聲波在該結構形成了共振,聲波能量局限于結構當中,在外部不能傳播.模態P事實上也決定了低頻帶隙的下限.而Q模態則與P模態完全相反,由圖3(b)可以看出聲壓全部集中于結構外部,而結構內部聲壓幾乎為0,環形通道內,聲壓的變化也與P模態相反,外部高,內部低.這說明聲波在結構外部傳播,結構對聲波傳播沒有作用.因此Q模態決定了帶隙的截止點,是低頻帶隙的上限.可以采用聲電類比方法建立數學模型,進一步分析兩種模態對帶隙的影響.

圖3 (網刊彩色)(a)模態P聲場壓力圖;(b)模態Q聲場壓力圖Fig.3.(color on line)(a)The sound p ressu re d istribu tion diagram s of point P;(b)the sound p ressure distribution diagram s of point Q.

為了便于敘述,在分析雙開口Helmholtz共振周期結構帶隙形成的機理過程中,將結構其劃分為四部分,其劃分區域如圖4所示,其中A代表結構外空氣層;B,C為內外腔形成的環形通道;D為圓形內腔.

圖4 結構區域劃分示意圖Fig.4.The region d ivision of the cross section in structu re.

對于模態P,由于結構外部的聲壓場幾乎為0,模態P中主要是由B,C,D三個區域協同共振產生,與區域A無關,因此不考慮A區域.根據聲電類比原理,狹長的環形通道B,C可以等效為電感LB,LC,而圓形內腔等效為電容CD,其構成的電路如圖5所示.

圖5 模態P等效電路圖Fig.5.The equivalent circuit of point P.

圖5中LB,LC為等效電感,其表達式為

模態P的共振頻率計算公式為

對于模態Q,由于A,B,C和D四個區域都具有聲壓場,因此在對模態Q進行聲電類比中,要完全考慮四個區域,其中,A區域等效為電容,則其構成的諧振電路如圖6所示.

圖6 模態Q等效電路圖Fig.6.The equivalent circuit of point Q.

4 低頻帶隙影響因素分析

上文建立了雙開口Helm holtz的低頻帶隙上下限的數學模型,該模型將有利于我們對影響低頻帶隙的因素進行分析.根據(5)—(9)式,影響該結構低頻帶隙的因素主要有:內腔弧角β,環之間的間隔w0,晶格常數a也即結構周期排列間隔a?2r.其中,內腔弧角β是主要因素,內腔弧角的改變將會使結構發生較大的改變,導致內外腔形成的環形通道長度以及內腔的體積改變,從而改變了協同共振區域,影響Helmholtz共鳴器的等效參數.下面我們分別對這三個影響因素進行分析.

為了控制變量便于比對分析,在分析雙開口Helmholtz共鳴器的內腔弧角β對低頻帶隙的影響時,設定環之間的間隔w0=1 mm,晶格常數a=100 mm.當內腔弧角β從15?增加到180?時,分別采用建立的帶隙聲電類比數學模型和有限元軟件進行帶隙上下限計算,并進行對比驗證,得到內腔弧角β對低頻帶隙的影響,結果如圖7所示.

圖7中紅色、藍色以及綠色虛線分別代表采用聲電類比數學模型計算的第一低頻帶隙的上限、下限和帶隙寬度.而倒三角、三角以及圓形代表采用有限元計算方法計算的第一低頻帶隙的上限、下限和帶隙寬度(以下圖例均如此,不再贅述).由圖7可以看出,采用聲電類比計算結果與采用有限元計算的結果誤差較小,說明建立模型的正確性.隨著β的增加,第一低頻帶隙的上限和下限不斷降低.內腔弧角β的增加實際上使環間通道長度增加,使等效電感大大增加,同時也減小了最后形成空腔的面積,但減小的面積相對較小,從而使等效電容變化較小.第一帶隙下限只與B,C和D區域有關,B, C區域等效電感的增加和D區域等效電容小幅度減小,最終使第一帶隙下限不斷下降,得到較好的低頻特性.對于第一帶隙,其上限是由四個區域協同共振的結果,等效電容為CACD/(CA+CD).可見,隨著等效電感的增加,其等效電容進一步減小,但由于區域A電容保持不變,同時區域A等效電容小于內部空腔電容,其電容等效結果減小不大,小于因內腔弧角β變大而使環形通道長度增加導致的等效電感增加幅度,因此上限帶隙也降低.通過設計調節內腔弧角β,可以使帶隙移動,達到特定頻段隔聲的效果.

圖7 (網刊彩色)內腔弧角β對第一低頻帶隙的影響Fig.7.(color on line)The im pact of the param eterβ on fi rst low frequency band-gap.

分析雙開口Helmholtz共鳴器的環間間隔w0對低頻帶隙的影響時,設定晶格常數a=100mm,內腔弧角β=180?.當環間間隔w0從1 mm增加到4 mm時,分別采用建立的帶隙聲電類比數學模型和有限元軟件進行帶隙上下限計算,并進行對比驗證,得到環間間隔w0對低頻帶隙的影響如圖8所示.

從圖8可以看出,在前半段聲電類比計算值與有限元計算值誤差較小,但是w0從2 mm增加到4 mm時,其誤差明顯增大.分析其原因主要是由于環間間隔增大,在環間構成的環形通道已不再是細管道,失去了Helm holtz聲電類比的前提條件,導致計算誤差增加,但整體趨勢與實際值保持了一致.不難看出,隨著環間間隔的不斷增加,在等效電感變化不大的情況下,其內腔的面積大大減小,從而使等效電容大大減低,導致第一低頻帶隙的上下限均呈現增大趨勢.帶隙明顯向高頻移動,帶隙寬度有所增加但其低頻特性已大大降低.

圖8 (網刊彩色)環間間隔w0對第一低頻帶隙的影響Fig.8.(color on line)The im pact of the param eter w0on fi rst low frequency band-gap.

圖9 (網刊彩色)結構周期排列間隔對第一低頻帶隙的影響Fig.9.(color on line)The im pact of interval between each rings on low frequency band-gap.

分析雙開口Helmholtz共鳴器的結構周期排列間隔a?2r對低頻帶隙的影響時,設定環間間隔w0=1mm,內腔弧角β=180?.當結構周期排列間隔a?2r從2mm增加到20mm時,分別采用建立的帶隙聲電類比數學模型和有限元軟件進行帶隙上下限計算,并進行對比驗證,得到結構周期排列間隔a?2r對低頻帶隙的影響如圖9所示.

圖9表示周期排列間隔對帶隙結構的影響,可以看出,周期排列間隔對帶隙下限基本沒有影響,但對帶隙上限具有較大的影響.具體表現為:隨著排列間隔增加,其帶隙上限不斷下降,帶隙寬度也隨之減小.從等效電路模型可知,排列間隔減小,即晶格常數a的減小,其A區域等效電容減小,則與空腔內等效電容串聯后的電容變小,導致頻率上升,當排列間隔2 mm時,其帶隙上下限分別為87.2 Hz和162.7 Hz,其帶隙范圍大大增加.從另一方面來說,減小了結構間的縫隙,即增大了填充率,其帶隙寬度能較大地擴寬.

5 結 論

在解決低頻降噪問題時,由于質量密度定理,常規方法導致結構質量和體積較大,“低頻、輕質、寬帶”成為追求的方向.本文建立了一種雙開口Helmholtz周期結構,無需附加質量,對于解決輕質問題奠定了基礎.雙開口Helmholtz周期結構特有的內外腔設計,增加開口深度,使共振區域增加,得到較低的低頻能帶特性.調整內腔弧長,可以使帶隙頻段移動,達到低頻帶隙頻段可調的目的.通過增加內腔弧長、減小內外腔間隔和減小結構單元間隔可以大大擴寬低頻帶隙寬度,達到低頻寬帶的目的.這些結論的獲得將有益于該結構在隔聲降噪尤其是低頻降噪領域的應用.

[1]Lai Y,Zhang X,Zhang Z Q 2001 Appl.Phys.Lett.79 3224

（5）部分招標，半招半定。招標時將工程項目分解，只招其中一部分，其他部分按設計變更或追加項目送給關系戶來施工；

[2]Hussein M I,Hu lbert G M,Scott R A 2006 J.Sound Vib.289 779

[3]Hussein M I,Hu lbert G M,Scott R A 2007 J.Sound Vib.307 865

[4]Chen Y,Li J,Zhou J,Huang T,Zhou M,Yu D Y 2014 Shock Vib.2014 189539

[5]Liu Z Y,Zhang X X,M ao Y W 2000 Science 289 1734

[6]Liu Z,Chan C T,Sheng P 2005 Phys.Rev.B 71 014103

[7]Li J,Chan C T 2004 Phys.Rev.E 70 055602

[8]Deng K,D ing Y,He Z,Zhao H,Shi J,Liu Z 2009 J. Appl.Phys.105 124909

[10]Zhang S,Y in L,Fang N 2009 Phys.Rev.Lett.102 194301

[11]M ei J,M a G,Yang M,Yang Z,W en W,Sheng P 2012 Nat.Comm un.32 756

[12]Zhou X,Bad redd ine Assouar M,Oud ich M 2014 J.Appl. Phys.116 194501

[13]Fang N,X i D,Xu J,Am bati M,Srituravanich W,Sun C 2006 Nat.M ater.5 452

[14]D ing C,Hao L,Zhao X 2010 J.Appl.Phys.108 074911

[15]Hao L M,D ing C L,Zhao X P 2012 Appl.Phys.A 106 807

[16]Guan D,W u J H,Li J,Gao N S,Hu M 2015 Noise Control Eng.J.63 20

[17]Li J,W u J H,Guan D,Gao N S 2014 J.Appl.Phys. 116 103514

[18]Liu M,Hu Z L,Fu X J 2012 Acta Phys.Sin.61 104302 (in Chinese)[劉敏,候志林,傅秀軍 2012物理學報 61 104302]

[19]M urray A R J,Summ ers I R,Sam b les J R,H ibbins A P 2014 J.Acoust.Soc.Am.136 980

PACS:43.20.+g,42.50.Gy,46.40.FfDOI:10.7498/aps.66.064301

Low frequency band gap characteristics of doub le-sp lit H elm holtz locally resonant period ic structu res?

Jiang Jiu-Long1)Yao Hong2)?Du Jun1)Zhao Jing-Bo2)Deng Tao3)

1)(Aeronautics and Astronau tics Engineering College,A ir Force Engineering University,X i’an 710038,China)

2)(Science of College,A ir Force Engineering University,X i’an 710051,China)
3)(X i’an Flight College of A ir Force,X i’an 710306,China)
(Received 12 August 2016;revised m anuscrip t received 27 Decem ber 2016)

A doub le-sp lit Helm holtz periodic structurew ith the characteristic of local resonance is designed and constructed in this paper.The doub le-sp lit periodic structural cellwhich can be divided into internal and external cavities is adop ted in structure.In such a kind of structure,the resonating area is rem arkably expanded while the inner cavity is continuously enlarged.Thus,a satisfactory feature of low frequency resonance can be obtained.A t the sam e tim e,the ad justability of band gap is achieved by the designed ad justment of the arc length of the inner cavity,therefore,the eff ect of sound insulation in a specific low frequency band can be achieved.In the analysesof them echanism and factorsof the generation of low frequency band gap,them athem aticalm odel of the upper and lower lim its of the band gap is established by using the electric circuit analogy.And some com parative analyses between themethods of electric circuit analogy and finite elem ent m ethod are carried out.The result suggests that a satisfactory feature of low frequency band gap is presented, and the fi rst band-gap ranges from 86.9 Hz to 138.2 Hz.The low frequency band gap can be influenced by the arc length of inner cavity,the space between inner and outer cavities,and the interaction of the structural cells in the periodic arrangem ent.The longer the arc length of the inner cavity,the lower the low frequency band gap w ill be;the longer the distance between inner and outer cavities,and the higher the frequency of band gap,the worse the low frequency eff ect w ill be;the lower lim it of low frequency band gap cannot be in fluenced by reducing the space between individual structures,on the contrary,the w idth of low frequency band gap can be sharp ly increased.Plenty of practical and theoretical support in the field of low frequency noise reduction is off ered in the research.

Helm holtz resonance,periodic structure,low frequency band gap,electric circuit analogy

10.7498/aps.66.064301

?國家自然科學基金(批準號:11504429)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:yyyyaaohhong@sohu.com

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant No.11504429).

?Corresponding author.E-m ail:yyyyaaohhong@sohu.com