弱奇異迭代積分不等式中未知函數的估計

黃春妙, 王五生

(河池學院數學與統計學院,宜州 546300)

弱奇異迭代積分不等式中未知函數的估計

黃春妙, 王五生*

(河池學院數學與統計學院,宜州 546300)

給出了一類積分項外包含非常數項的非線性弱奇異迭代積分不等式,并利用離散Jensen不等式、H?lder積分不等式、變量替換技巧和放大技巧等分析手段給出了該非線性弱奇異迭代積分不等式中未知函數的上界估計,最后舉例說明所得估計可以用來研究分數階積分方程解的定性性質.

弱奇異三重積分不等式; 離散Jensen不等式;H?lder積分不等式; 分析技巧; 顯式上界估計

Gronwall積分不等式[1]是最著名的積分不等式,表述為:

其中:u和f是區間[a,b]上的非負連續函數,c≥0是常數,未知函數u(t)有估計式

(1)

ABDELDAIM和YAKOUT[13]研究了 Gronwall-Bellman-Pachpatte 型積分不等式

(2)

本文受文獻[11]和文獻[13]的啟發，給出了下面的弱奇異迭代積分不等式：

(t[0,+)),

(3)

把式(1)、(2)分別推廣成迭代奇異積分不等式、奇異不等式；利用離散 Jensen 不等式、Cauchy-Schwarz積分不等式、變量替換技巧和放大技巧等分析手段,給出了式(3)中未知函數u(t)的上界估計.

1 預備知識

為了研究式(3),我們需要下面的引理.

(4)

引理2[11]如果β(0,1/2],p=1+β,則

(t0+),

(5)

引理3[14](離散 Jensen不等式)令A1,A2,…,An,l>1表示非負實數,n表示自然數,那么

(6)

2 主要結果與證明

(7)

(8)

(9)

(10)

其中c為正常數.

定理1 假設β(0,1/2)是常數,函數fi,bC([a,),+)(i=1,2,3),b是正的不減函數. 假設函數φiC(+,+)(i=1,2,3)是正的不減函數,而且φ1(z)/φ3(z),φ2(z)/φ3(z),φ2(z)/φ1(z)也都是正的不減函數. 如果未知的非負連續函數u(t)滿足式(3),則函數u(t)的估計為u(t)≤{{[(Ξ(t))]}}1/q(t[a,T1]),

(11)

其中:

(12)

T1是滿足下面條件的最大實數:

Ξ(T1)≤Φ3(),

(13)

證明 利用式(4)和式(5),由式(3)推出

(14)

uq(t)≤2q-1bq(t)+2q-1P(t)×

(t[a,T1]).

(15)

利用式(6)、(4)和式(5),對任意t[a,T1],有

2q-1P(.

(16)

uq(t)≤2q-1bq(T)+2q-1P(T)×

2q-1P(

(t[a,T]).

(17)

用z1(t)表示式(17)的右端. 顯然,z1(t)是區間[a,T]上正的不減函數，并且有

(18)

求函數z1(t)的導函數,利用式(18),得到

2q-1P(

(t[a,T]),

(19)

其中z2(t)定義如下：

(20)

可以看出z2(t)是[a,T]上正的不減函數. 由式(18)和式(20)知

z1(t)≤z2(t) (t[a,T]),z2(a)=2q-1bq(T).

(21)

求函數z2(t)的導函數,利用式(19)和式(21)得:對任意t[a,T]，有

(22)

其中z3(t)定義如下：

(t[a,T]).

(23)

顯然,z3(t)是[a,T]上正的不減函數. 由式(21)和式(23)知

z2(t)≤z3(t) (t[a,T]),z3(a)=2q-1bq(T).

(24)

求函數z3(t)的導函數,利用式(22)和式(24),得到

(25)

(26)

先把式(26)中的t替換成,然后兩邊從a到t進行積分,得到

(t[a,T]).

(27)

用z4(t)表示式(27)的右端,則z4(t)是[a,T]上正的不減函數,且

(28)

(29)

類似于對式(25)、(26)的推導,可得函數z4(t)的導函數,利用式(28)可以進一步得到:對任意t[a,T],有Φ2(z4(t))≤Φ2(z4(a))+a4q-1P(T)fq1(s)ds+

(30)

用z5(t)表示式(30)的右端,則z5是[a,T]上正的不減函數,且

(31)

(32)

類似于對式(27)的推導,由式(30)和式(31)推出

(33)

由式(33)進一步推出

(34)

綜合式(18)、(21)、(24)、(28)和式(31)，推出

(35)

把式(32)、(34)代入式(35)，推出

(36)

令式(36)中的t=T,得到

(37)

由于T[0,T1]的任意性,得到估計(11).

3 應用

(38)

其中k是常數. 假設F1,F2C([a,)×2,),F3C([a,)×,)滿足下面的條件:

|F1(t,x,y)|≤f(t)φ1(|x|)[|x|+|y|],

(39)

|F2(t,x,y)|≤g(t)φ2(|x|)[|x|+|y|],

(40)

|F3(t,x)|≤h(t)φ3(|x|),

(41)

其中函數f,g,h,φi(i=1,2,3)滿足定理1的條件.

(42)

Φi(i=1,2,3)、T1的定義與定理1的定義相同,

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【中文責編：莊曉瓊 英文審校：肖菁】

EstimationofUnknownFunctionofWeaklySingularIteratedIntegralInequality

HUANGChunmiao,WANGWusheng*

(SchoolofMathematicsandStatistics,HechiUniversity,Yizhou546300,China)

A class of nonlinear weakly singular iterated integral inequalities is given. There is a nonconstant term outside the integrals in the integral inequality. The upper bound of the embedded unknown function of the inequalities is estimated explicitly by adopting novel analysis techniques, such as: discrete Jensen inequality, H?lder integral inequality, the techniques of change of variable, and the method of amplification. The derived results can be applied in the study of qualitative properties of solutions of fractional integral equations.

weakly singular triple integral inequalitiesy; discrete Jensen inequality; H?lder integral inequality; analysis technique; estimation of explicit bound

2016-01-13 《華南師范大學學報(自然科學版)》網址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學基金項目(11561019,11161018); 廣西壯族自治區自然科學基金項目(2016GXNSFAA380090); 廣西壯族自治區高等學?？蒲许椖?KY2015ZD103,KY2015LX341)

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1000-5463(2017)04-0111-04

*通訊作者:王五生,教授,Email:wang4896@126.com.