高考數學試題題源及命題方法探究

李源

摘要：高考是我國目前最為重要的高等人才選拔方式，因此高考題型選擇、命題方法的合理性也會直接影響到考核、選拔方式的有效性。對于教師而言，對題源、命題方法的探析也有助于總結重點，降低學生海量練習的負擔，對于教育機構而言，對于題源、命題方式的合理化構建也有助于提升命題制度的效度、信度。由此，本文對高考數學命題方法進行分析，根據命題原則和方法對廣東近幾年高考題源進行分析，從而總結題源特點，基于此結果對教師教學提供相應參考和建議。

關鍵詞：高考數學；題源；命題；廣東高考

【中圖分類號】G633.6

2015年高考已經落幕，對比2015年廣東文理科高考試題不難發現，數學試卷題目難度略有下降，相較于前幾年難度較高的情況而言，立體幾何、數列、幾何解析等試題的難度略有加大，其他函數等其他類型題目難度有明顯下降。從表面上看，高考試題的定、選似乎并無規律，但從命題方法的角度來看實際上都是有據可循的。由此，本文提出了對高考數學題源、命題方法的探究，希望由此來降低高考備戰中練習量過大、教師難以抓住重點的問題。

一、高考數學命題改造法的原則與基本方法

在高考較高的要求下，采用改造法命題也需要遵循以下三大原則：

其一，科學性。簡單來說是要保證題目敘述的完整性、嚴謹性、流暢性等幾點。在命題過程中，需要仔細斟酌用語的精煉性，保證文字流暢、術語規范、插圖精確，避免出現多種理解的可能性。于此同時，題目中不能出現冗余的描述，例如證明性題目中條件充分的情況下避免出現多余描述。從目前高考命題的要求來看，多余描述無法嚴格控制，甚至為了考慮學生接受能力差異，也可以適當增加額外描述，一次來降低題目難度，平衡考核的全面性和公平性。另外，還應當保證結論的可行性，即題目是可證明、可計算、可實現的。

其二，新穎性。這是高考命題最為重要的原則之一，高考是我國規模最大、標準最為統一的考試，命題只有保證新穎性才能夠保證公平的競爭環境，才有助于合理的考核學生智力水平，規避題海戰術。當然，在當前情況下還是很難實現完全新穎的命題，但應當盡可能的對陳題進行最大限度的改造。

其三，選拔性。高考是重要的人才選拔考試，命題在保證公平性的同時還應當體現出難度的層次性，實現試題的區分度。只有這樣才能夠更好的保證對學生程度、層次、能力的有效考察，從而鑒別考生的綜合能力。

二、高考數學改造法命題實例分析

（一）改造法命題基本方法

一道試題改造得是否成功可從以下兩個維度進行：判斷題目的信息形態，包括試題的背景情節、數據形態、數學關系；試題的解題思想方法。

以上兩個維度是試題區別于題源的本質屬性所謂命題技術就是在命制試題時用到的方法和技巧以上述兩個維度為標準，從題胚的信息形態出發，一是通過對試題的背景情節、數據形態、數學關系等進行加工、變換，二是繼承或改變題胚解題思想方法或者添加解題技巧等，對題胚進行改造。

（二）改造法命題方法題源特點分析

總結改造法命題方法來看，在實際應用中可以分為三種表現形式，即條件結論改造、類比改造、背景改造三類。

1）條件或結論改造

條件改造是對問題條件進行改造的方式，數學題一般有四種命題關系，即命題、逆命題、否命題、逆否命題，四種名題關系不一定為真。對此類命題進行逆向、變通式的改造就很容易出現新穎的題目。當然也可以從信息的描述形式、熟練關系、數學內容等角度盡心改變，從而得出新穎的命題。

下題為2014年廣東高科理科8。

例1：設集合 ，那么集合 中滿足條件“ ”的元素個數為：

A.60 B.90 C.120 D.130

該題主要考察分類計數原理和牌例組合知識，相對而言更側重于分類討論的思想以及邏輯思維嚴謹性的考察。在實際解析過程中，很容易出現忽略條件的問題。在今年許多教師對本題的分析和評價中都認為，自定義題目很容易讓考生產生錯愕感，進而在階梯過程中忽略某些重要的條件。本題雖然被列為集合創新題，但筆者在翻閱歷年各地高考試卷與名校模擬卷發現，本題實際上就是對2012年安徽知名的合肥一中第二季度模擬考試數學卷7進行的條件改造，改造了原題中集合A所滿足的條件，進而改造結論，本質上兩題并無明顯差別，這就是一種條件和結論改造的典型用例。

2）類比改造

類比改造是通過邏輯方法，將兩個特殊的對象一同比較，對其中一個相對特殊的條件或對象進行高在。例如題源已有條件a、b、c，有結論d，某新題有條件a、b、c但尚未制定結論時，可參照題源的模式進行分析，進而針對結論d制定完整的題目。由于類比法得到的結論具有或然性，因此所得的新題其科學性必須經過嚴格的推敲在命制新題的過程中，要對源題的核心問題進行深入分析，抓住其本質，對已知條件中部分信息加以改變，從而得到對應的結論，最后，要考察新題的科學性，這樣才能得到一個形式新穎結構完整的新題。下題為2014年廣東高考理科數學13。

例2：等比數列 的各項均為正數，且 則 =________.

該題目考察等差數列和等比數列的基本性質與對數的基本運算，在難度上相對較高，在命題目標上側重于考察等差、等比數列性質的裂解，以及對其基本運算的考量。該題目源題為2012年上海較大附中數理總復習季終練習題9，原題與本體條件一致，采用了選擇題，本題在原題的基礎上變更了題源數學條件的數值，并選取原題正確答案為本題結論，從而制定為一個新題。這樣就在不改變題目考核目標的情況下，修改了題目類型、描述，將其轉變為一個新的題目。

3）背景改造

所謂背景改造法就是先后不同的高考題，對其賦予不同的背景，這些背景可以是生活背景，或者某些數學專題材料等，但背景的改變不會影響到試題的解題思想方法，即前后試題來源于同一內容，其本質是類似或相同的。下題為2009年廣東高考21題。endprint

例3：已知過原點的動直線 與圓 相交于不同的兩點 。

（1）求圓 的圓心坐標；

（2）求線段 的中點 的軌跡 的方程；

（3）是否存在實數 ，使得直線 與曲線 只有一個交點？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，說明理由。

該題目重點圓錐曲線以及直線與圓的關系。本題問題3實際上與2012年重慶理科高考數學3的考察目標相似，原題在已知k條件存在的前提下分析直線與圓的相對關系，且原題的描述沒有經過題目背景的現實化描述。本題雖然也未做相關現實性描述，但構建了不同與原題選擇題的形式，而是設計了三個問題目標，在解決問題的過程中首先要完成題目背景的思考，實現了背景轉換；其次本體也對問題的條件和結論進行了置換。由此，此題實現了較為新穎的創新過程。

（三）近五年廣東高考數學試卷試題規律總結

自2004年開始廣東已經開始嘗試高考自主命題，自從新課標實行依賴，試卷結構逐漸趨于完善，結構與內容均有一定變化，但實際上始終存在內在規律?；诖颂攸c，筆者對近五年廣東高考數學卷進行了分析，總結了如下幾個較為側重的傾向性要點：

第一，07、08、09、11、13年廣東高考卷均出現了模塊交匯式解答題，此類試題的切入點主要集中在概率的分布列以及等比數列中的錯位相減，兩類知識點存在交匯，試題看似新穎，但考點并未脫出課標重點，僅通過條件改造等方法對一些原題進行改造。針對這類試題，可多練習交叉式解答題，對解答題中常用的考察知識點進行組合，然后練習相應解法；對于高三教師而言，應注意模塊交叉和綜合性的試題練習應盡量避免使用舊的復習資料，盡量精選素材，針對交叉性試題進行有目標性的訓練練習，大面積提高教學成效；對于高考組卷而言，這種條件改造方法也極具特色，值得長期使用。

第二，11年以后開始逐漸出現的對高中傳統數學知識體系中主干知識點的重點考察。這類試題多以一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式等重點方程知識點的重復考察，一方面表現在每年試卷中均有此類試題，另一方面表現在單年試卷中此類知識點出現次數相對頻繁（一般在三次以上）。針對此類問題，可以著重對重點知識點進行重復練習，精講多練，以求熟能生巧；對于組卷命題方而言，對于重點知識的考察要始終遵循課標要求，可優先采用類比改造法進行命題，保證命題新穎的同時也不過分提升對主干知識點考察的難度。

第三，12年廣東高考文科卷出現了重點考察學生閱讀能力的試題，這在以往很少出現（僅有07年廣東高考理科第7題），隨后三年試卷中均出現同類型試題。此類試題難度相對較高，但重點在于對題干文字、語言、圖形等的理解，考察考點分布雜亂，規律性不足。針對此類試題，教學中可采用增加學生閱讀式訓練的方式進行練習，發現學生多元智能背景下理解能力的差異性，提升學生閱題能力；對于高考組卷而言，此類試題應多采用背景改造法進行命題，緊密聯系生活實際和時事，避免題目本身過于繁復。

第四，14、15年廣東高考中卷尾出現的類似初中考題的壓軸性題目。這類題目在2005年廣東高考中出現過，隨后數年高考試卷中少有出現，此類試題題源源自一般性的初中數學試題，但考察知識點改造為高中重點問題，05、14、15年考察的此類題目均為初中平面幾何背景下的改造題目。綜合對比此類題目可以發現，改造方法多以初中平面幾何題為基礎，備考過程中可通過整理類似試題進行多點訓練，無需進行專題練習。

第五，少量的數學競賽改造題。此類試題的比例有明顯下降，可適當整理歷年廣東卷、全國卷或重點名校試卷的壓軸題，增加學生對采用競賽類階梯思想的試題的解題能力，為優等生提供更為充足的保障，為普通學生提升加分空間。

總體對比2011—2015年廣東高考理科卷試題來看，考察重點集中在函數導數、三角函數、數列、立體幾何、解析幾何、概率統計幾個方面，備考可著重傾向此類試題進行練習；縱向對比也可發現廣東高考數學試卷難度呈現逐年下降趨勢，因此可將以往重點練習壓軸題做法進行變革，向主干性知識點靠攏，保證學生基本知識的掌握以及解題能力的穩定性。

三、基于高考數學題源與命題特點提出的教學與學習建議

高考數學命題方法的研究是一項系統而又影響深遠的艱巨工作，它不僅建立在對解題方法的深入研究上，而且要求研究者全面而系統地掌握試題資料。另外它還要求研究者對高考試題的特征，高考數學命題的理論、原則和方法有深刻的理解。對于教師和學生而言，如果能夠對高考命題方法、題源特點有更好的理解，也有助于學生更好的應對高考這一重要的考試項目。由此，筆者也結合本文分析，提出了教師以及學生的應對建議。

對教師而言，應對教材上的例題、習題及高考試題進行認真分析講評，注意換位思考，如果自己命題，可將教材上的例題、習題作怎樣的變化能否通過對已有題目的進行改造變式，從而命制出新的，適合學生當前學習水平的題目并將這些變式的思想應用于日常的教學當中，培養學生的應變能力。在教學中采取變式教學變，就是采用變式的方式進行教學變式，也可以看作是一種“改造”。變式教學的具體實施方法有很多，如題組辨誤、姐妹題對比、條件一般化、逆向設問、延伸拓展等等

對于學生而言。首先要樹立換位思考的觀念，可以把自己當做高考試題的命題者，在平時的練習、考試、題目評講或者是遇到典型的試題時候，試著想一下自己可以如何變化這個題目使其成為一道新的高考試題，從而培養自己這種變式求新的意識，使自己牢牢掌握高考的主動權。其次要善于總結和反思，復習有關的數學知識和解題方法，注意進行解題反思，盡力做到積累解題經驗?？偨Y知識提取是否熟練。題目涉及到哪些知識。題目特殊在哪里；思考學習和應用的方法，用到哪些數學思想方法，為什么要用這種方法，解題的關鍵是什么，突破口在何處，能否推廣方法，是否具有一般性；總結自身弱點，為什么自己沒有解出題目，自己存在那些錯誤，為什么會出現這樣的錯誤，通過反思總結，培養直覺猜想、歸納抽象、演繹證明、運算求解等理性思維能力，每題必思，終有收獲。

以廣東高考數學考試為例，命題組組長在2014年換任，在命題方法、命題傾向、考核內容權重分配上較之以往有了較為顯著的改變，尤其是概率統計、圓錐曲線、函數和導數等命題特點和方向有所變化，但我們無法判斷這樣的改變會持續幾年?？v向對比2013年、2014年廣東高考數學試題可以發現，試卷結構并未發生改變，但題目沒有出現相鄰兩年間試題的改造和基于前一年試題的創新命題，大題難度變化不大，但總體難度有所提升；其中考察重點依舊分布在附屬基本運算、幾何相關勻速、向量或統計計算、函數判斷或計算、幾何三視圖、計數原理與古典概率、向量的數量積及相關推理論證、絕對不等式、二項式相關運算、圓與直線等方程、倒數計算、三角函數、升降冪、回歸分析、頻率分布與超幾何分布等數學期望、垂直關系變化、通項公式求解、幾何交集極值求解等重點項目。由此可見，高考試題考察重點的變化相對較小，如果能夠把握重點，掌握理論本質，就能夠做到一通百通，及時面對花樣繁多的命題創新依然可以快速尋求高效準確的解題方法。對于教師和能夠而言，無論命題方式如何改變，考試所考察的內容和重點始終實在大綱之內，堅持采用合理的教學總結、學習總結方法，對高考試題題源和命題特點進行整理，就能夠在本質上解決上述問題，實現更佳的全面應對能力。

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