基于拉普拉斯變換的二階系統傳遞函數的參數研究*

江立輝，牛 欣，汪 冉，汪 成

(1.合肥學院數學與物理系，安徽 合肥 230601；2.合肥學院機械工程系，安徽 合肥 230601)

基于拉普拉斯變換的二階系統傳遞函數的參數研究*

江立輝1，牛 欣1，汪 冉1，汪 成2

(1.合肥學院數學與物理系，安徽 合肥 230601；2.合肥學院機械工程系，安徽 合肥 230601)

為了研究二階系統傳遞函數中固有頻率和阻尼比這兩個參數，運用牛頓第二定律構建微分方程數學模型，并利用拉普拉斯變換理論，說明了傳遞函數中的固有頻率和阻尼比這兩個重要參數表達式的正確性和合理性.從固有頻率和阻尼比的實際含義出發，對它們的計算公式進行詳細證明，從而加深對二階系統傳遞函數參數的理解，并將其更好地運用到實際問題中.

二階系統；傳遞函數；固有頻率；阻尼比；拉普拉斯變換

引言

二階系統是控制系統的一種基本組成形式，在實際問題中，二階系統的典型應用極為普遍[1～3].因此，對二階系統進行研究具有較大的實際意義.而在二階系統的傳遞函數中，有兩個極其重要的參數即為固有頻率ωn和阻尼比ξ.只要分析固有頻率ωn和阻尼比ξ的值的大小，就能較方便地求得任何二階系統的動態性能.但是現有的教材以及相關的資料是直接給出了這兩個參數的計算公式，并未結合參數的實際意義對公式的正確性與合理性進行說明，因此初學者會對這兩個參數的表達式的給出感到突兀，從而無法深入理解固有頻率ωn和阻尼比ξ對二階系統的影響.

本文從固有頻率ωn和阻尼比ξ的基本含義出發，建立相應的數學模型，運用拉普拉斯變化的知識[4～5]，證明了這兩個參數公式的正確性和合理性，從而促使初學者更進一步地理解這兩個參數.

1 問題的引入

較常見的二階系統模型為質量塊-彈簧-阻尼器模型，而其他的二階系統模型與其本質相同，因此在二階系統的推導中采用質量塊-彈簧-阻尼器模型，如圖1所示.

圖1 二階機械系統結構示意圖

在圖1中，物體受到外力的作用，其中m是物體的質量，k是彈簧的剛度系數，c是阻尼器的阻力系數，x(t)是輸入系統的關于時間變化的合力，y(t)是系統輸出的關于時間變化的位移，則根據牛頓第二定律得：

my″(t)+cy′(t)+ky(t)=x(t)

(1)

設輸入輸出函數的拉普拉斯變換為L[x(t)]=X(s),L[y(t)]=Y(s),則對于式(1)有：

m(s2Y(s)-sy(0)-y′(0))+c(sY(s)-y(0))+kY(s)=X(s)

(2)

在傳遞函數的推導過程中，初始條件為零，即y(0)=0,y′(0)=0,則根據傳遞函數的定義可以得到：

(3)

對式(3)進行代數運算可得：

(4)

(5)

基于上述過程中對二階系統傳遞函數的推導,可以看出固有頻率ωn和阻尼比ξ對二階系統的重要性，但是在相關資料中未對這兩個參數進行詳細的說明和解釋.

2 固有頻率和阻尼比的表達式證明

2.1固有頻率的表達式證明

固有頻率是二階系統中一個重要的參數，是指系統在做自由振動時的振動頻率，即不考慮系統的阻尼，給予系統相應的激勵所產生的振動的振動頻率.固有頻率表達式推導條件如圖2所示.

圖2 固有頻率表達式推導條件示意圖

在圖2中，開始剛度系數為k的彈簧保持原長，后經過力的作用彈簧被拉長x0的距離，此時撤去力的作用，釋放彈簧，釋放時為零時刻，根據牛頓第二定律得到：

mx″(t)=-kx(t)

(6)

設L[x(t)]=X(s)，則對式(6)進行拉普拉斯變換可以得到：

m(s2X(s)+sx(0)+x′(0))=-kX(s)

(7)

在零時刻，物體的位移x(0)=x0，物體的速度x′(0)=0，由此可以得到：

m(s2X(s)+sx0)=-kX(s)

(8)

對式(8)進行代數變換則有：

(9)

對式(9)進行反拉普拉斯變換可得：

(10)

2.2阻尼比的表達式證明

阻尼是指使自由振動衰減的各種摩擦和其他阻礙作用，而阻尼比是指阻尼系數與臨界阻尼系數之比，從某種意義上，阻尼比的大小決定阻尼對自由振動的衰減作用的大小.在整個阻尼比的求解過程中，臨界阻尼系數的求解至關重要，而臨界阻尼系數是指當阻力使振動物體剛好能不作周期性振動而又能最快地回到平衡位置的情況.根據上述定義得：

(11)

根據式(4)，為系統輸入單位階躍響應，則根據傳遞函數的定義可得：

(12)

(13)

對式(13)拉普拉斯反變換可得：

(14)

對式(14)進行求導可得：

(15)

對式(15)進行化簡可得：

(16)

由式(16)可以看出，響應函數的導函數的正負是隨著余弦函數正負的變化而變化，因此，響應函數同時存在單調遞增和單調遞減的區間，因此響應函數是振蕩的.

(17)

對式(17)拉普拉斯反變換可得：

(18)

對式(18)進行求導可得：

(19)

在式(19)中可以直接看出y′(t)大于零恒成立，因此輸出y(t)整個響應過程中不出現振蕩過程.

(20)

對式(20)拉普拉斯反變換可得：

(21)

對式(21)進行求導可得：

(22)

在式(22)中可以直接看出y′(t)大于零恒成立，因此輸出y(t)整個響應過程中不出現振蕩過程.

3 結語

本文旨在以拉普拉斯變換為工具直接推導出固有頻率和阻尼比的表達式.整個推導過程中，緊緊圍繞系統的響應函數，并根據系統的響應函數得出結論.二階系統在日常生活中具有重要的地位，而其參數固有頻率和阻尼比從根本上決定了二階系統的性能.因此，通過對固有頻率和阻尼比的表達式進行深入淺出的推導，并且以兩者的實際含義為出發點，能從根本上理解這個兩個參數如何對二階系統產生影響，從而加深對二階系統的認識.

[1]王顯正，莫錦秋，王旭永．控制理論基礎[M]．第2版．北京：科學出版社，2007：194-200．

[2]王華．控制工程基礎[M]．北京：北京航空航天大學出版社，2011：81-91．

[3]徐泰燕．拉氏變換在自動控制理論中的應用 [J]．科技信息，2013(12)：112．

[4]劉建亞．復變函數與積分變換[M]．第2版．北京：高等教育出版社，2011：203-209．

[5]鐘玉泉．復變函數論[M]．第4版．北京：高等教育出版社，2013：224-235．

TheParameterResearchofSecond-orderSystemTransferFunctionBasedonTheLaplaceTransform

JIANG Li-hui1, NIU Xin1, WANG Ran1, WANG Cheng2

(1. Department of Maths and Physics, Hefei University, Hefei Anhui 230601,China;2. Department of Mechanical Engineering, Hefei University, Hefei Anhui 230601,China)

In order to study the two order natural frequency and damping ratio in the second-order system transfer function, this paper uses the Newton’s Second Law to establish the mathematical model of differential equation and explain the two important parameters’ correctness and rationalization based on The Laplace Transform. Based on the actual meanings and related detailed proofs, the parameters of second-order system transfer function are deeply understood and better used in the actual problems.

second-order system; transfer function; inherent frequency; damping ratio ; The Laplace Transform

1673-2103(2017)05-0007-04

2017-04-06

安徽省質量工程項目(2015jyxm321,2015mooc077,2015jyxm320);國家大學生創新項目(201411059009,201511059026,201611059129);安徽省大學生創新項目(201511059018,201611059341)

江立輝(1980-),男,安徽省黃山市人,副教授,碩士,研究方向:預測與決策分析.

牛欣(1972-),女,安徽省阜陽市人,副教授,碩士,研究方向:計算數學,數值分析.

O174

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