以巧取勝

高培明

摘要：高中數學目前解題通常采用通性解法，也就是常規思維，通過定理和已知條件的思路進行解題。在學習中訓練這種解題方法的同時，也不能忽略特征值法的應用，兩種方法是對立統一的，在很多試題通過常規方法解題受阻的情況下，特殊值法可能會收到更好的效果。

關鍵詞：特殊值；解法；高中數學

在遇到一些數學難題的時候，可以選擇一個適當的特殊值，再將特殊值作為已知條件進行研究。也可以將一般問題以特殊化處理，通過在“變值”當中尋找“定值”，找到解決問題的途徑，下面就這種方法用具體事例進行分析。

一、 選擇題中快速簡潔

選擇題解題方法通常靈活多變，并且選擇題的解題時間分配量有限，所以在正式考試的時候要求學生在有限的時間內準確快速的找到正確答案，因此解題的技巧和方法此時顯得更加重要。這里介紹的特殊值法就是其中重要方法之一，具體分析可以看下面的例子。

例1多項式（x+1）（x+2）…（x+n）（x≥2，n∈N）相乘整理后，xn-2項的系數為（）

A. 112n（n-1）（n+1）（3n+2）

B. 124（n-1）（n+1）（3n+2）

C. 124n（n-1）（n+1）（n+2）

D. 148n（n-1）（n+1）（n+2）

解析：運用常規正向解法，解題過程會非常麻煩。而且就選擇題的特點來說，不需要具體的解析具體運算過程。這時候運用特殊值法就顯得非常合適，選擇合適的特殊值確定或者否定一些答案，能快速在四個答案中找到正確選項。

當n=2時，所求系數應為2，此時A、B、C、D的值分別為4、2、1、12，所以可以淘汰答案A、C、D，正確答案為B。

點撥：如果采用常規解法，令展開式中xn-2項的系數為an-2=（1×2+1×3+…+1×n）+（2×3+…+2×n）+…+n×（n-1），按這個思路接下去也可以得到正確答案，但是對于選擇題來說未免小題大做，這種情況下選擇特值法，問題就快捷高效的得到了解決。

二、 反證法中有的放矢

反證法是從命題的反面入手，并且否定原來的命題作為推理條件，再結合定理、法則等通過合理的邏輯推理得到正確結果。它是眾多“特殊值法”類型中的一種。能恰當的利用這種方法，就很可能在遇到復雜問題時，取得意想不到的結果。下面通過例題來說明一下如何運用特殊值法解證明題。

例2證明函數y=cosx不是周期函數。

解析：由題目已知條件得，函數定義域為全體非負實數。運用假設法，如果假設y=cosx是周期函數，則存在T≠0使得一切在定義域內的x滿足cosx+T=cosx。

令x=0有cosT=cos0=1T=2mπ，m∈Z；

令x=T有cos2T=cosT=12T=2nπ，n∈Z；

于是2=nm，此時與m、n∈Z相互矛盾，從而可以得出假設不成立。

所以原命題y=cosx不是周期函數。

點撥：假設法的優勢尤其體現在遇到否定命題的時候，通過制造相互矛盾來證明命題的成立性。本題非常巧妙的取兩個特殊值制造出了兩個結論的矛盾，解題效果是立竿見影的。學生要在日常學習當中注意這類題的積累，并歸納解題方法，夯實自己的數學基礎。

三、 函數性質中巧妙靈活

求函數的性質多通過題目已知條件結合定理或者函數性質等方法正向解題。這里介紹的特殊值法是一種創新的解題方法，這種解法技巧性強，需要開闊的數學思維，下面的例題希望能給廣大學生提供一些新穎的解題角度。

例3已知函數y=f（x）對一切a、b∈R，等式f（ab）=f（a）+f（b）恒成立，求證：f（x）必有因式x2-x。

解析：令a=b=0，有f（0）=f（0）+f（0）f（0）=0，所以f（x）必有因式x。

令a=b=1，有f（1）=f（1）+f（1）f（1）=0，所以f（x）必有因式x-1。

結合以上兩個結論可以得出，f（x）必有因式x2-x。

點撥：這道題的思路是利用函數y=f（x）如果含有因式x-m等價于f（m）=0，再通過函數的相關性質得到最后證明結果，在這里特殊值法的妙處體現的淋漓盡致。用特殊值法求函數性質是一種具有創造性的方法，運用得當在遇到難題時可能就會取得“出其不意”的效果。

參考文獻：

[1] 章林海.揭示本質，找準突破，讓思維回歸“自然”[J].中學教研（數學），2017（05）.

[2] 張正華.特值法在高中數學中的特殊用法[J].高中數理化，2016（Z1）.endprint