波形鋼腹板PC組合箱梁橋的撓度計算與分析

冀 偉， 藺鵬臻， 劉世忠

(蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州730070)

波形鋼腹板PC箱梁橋是一種新型的鋼-混組合結構橋梁.該橋型與傳統的混凝土箱梁橋相比可以減輕梁體自重，提高預應力的施加效率［1］，因而已在國內外的橋梁建設中得到了廣泛的應用.

波形鋼腹板PC箱梁橋在豎向荷載作用下，波形鋼腹板承擔了全部剪力，其產生的剪切變形對波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度有較大影響.國內外眾多學者已對波形鋼腹板的剪切性能進行了研究:SAMANTA等研究了波形鋼腹板有效剪切模量的取值［2］;YI、ELDIB 及 HASSANEIN 等［3-5］研究了波形鋼腹板的剪切屈曲強度;K ESDI等對波形鋼腹板在剪切力作用下引起的翼板附加橫向彎矩進行了研究［6］;李宏江等分析了波形鋼腹板的剪切變形對波形鋼腹板混凝土簡支箱梁橋撓度的影響程度［7］;聶建國等建立了可考慮鋼腹板剪切變形梁的理論模型，推導了端部無約束和有約束條件下波形鋼腹板簡支箱梁橋在均布加載和集中加載下的解析解［8］，隨后依據變形等效原理，通過引入重要的影響參數對波形鋼腹板梁變形的解析解進一步簡化，提出了波形鋼腹板梁變形的簡化計算方法——有效剛度法［9］;李明鴻等在考慮波形鋼腹板剪切變形影響下，推出了波形鋼腹板混凝土組合梁的撓曲線初參數方程，并分析了波形鋼腹板混凝土簡支箱梁橋在多種加載形式下的撓度［10］.

波形鋼腹板PC箱梁屬于薄壁箱梁構件，其剪力滯效應會降低上、下混凝土翼板的彎曲剛度［11］，會對結構的撓度造成一定的影響.在特定的寬跨比和特定的波形鋼腹板截面高度下，箱梁剪力滯效應對結構撓度的影響也不可忽略.文獻［12］在考慮箱梁剪力滯和鋼腹板剪切變形影響下，運用能量變分法推導出了波形鋼腹板PC簡支箱梁的撓度計算公式，但是在分析剪力滯效應時選擇了普通箱梁橋剪力滯效應的翹曲位移函數，影響了波形鋼腹板PC箱梁這一特殊結構剪力滯效應分析理論的嚴密性.

針對研究現狀和存在的問題，本文從波形鋼腹板PC箱梁剪力滯產生的本質即混凝土上、下翼板的面內剪切變形和彎曲剪力流的分布規律出發，并以“擬平截面假定”為變形協調條件［13］，在理論上推導可同時考慮箱梁剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形的波形鋼腹板PC箱梁橋特有的縱向位移函數，并運用能量變分原理，以所得的縱向位移函數為基礎，推出了該橋型的撓度計算公式.計算公式的正確性得到了有限元和室內模型試驗的驗證，從而為該橋型的撓度計算和分析提供科學合理的理論依據.

1 波形鋼腹板PC箱梁橋撓度計算公式推導

在任意的豎向荷載作用下，波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度W會受到箱梁剪力滯效應(如圖1所示)及波形鋼腹板剪切變形的影響(如圖2所示).

圖1 波形鋼腹板PC箱梁的剪力滯效應Fig.1 Shear lag effect in a box girder with CSWs

在波形鋼腹板剪切變形的影響下，其撓曲線上任一點斜率，包含由彎矩引起的曲率y和波形鋼腹板剪切變形γs.

圖1中:σx為考慮剪力滯效應的正應力;

珚σx為初等梁理論計算的正應力;

ht為箱梁上翼板中心到截面中性軸的距離;

hb為箱梁下翼板中心到截面中性軸的距離;

hw為波形鋼腹板的高度;

b為箱梁頂板寬度;

a為箱梁翼緣板寬度，a=ζb，其中ζ為系數.

圖2 波形鋼腹板PC箱梁在x-z平面內的剪切變形Fig.2 Shear deformation in a box girder with CSWs in x-z plane

1.1 波形鋼腹板PC箱梁縱向位移函數的推導

薄壁箱梁的剪力滯效應是翼板的面內剪切變形引起的正應力沿翼板寬度的非均勻分布現象［14］，因此可以從混凝土上、下翼板的面內剪切變形規律出發來定義波形鋼腹板PC箱梁的剪力滯翹曲位移函數.對于圖1所示的波形鋼腹PC箱梁截面，可以在箱梁頂、底板任意位置虛構一個切口，使之成為開口斷面，此時由豎向剪力Q引起的彎曲剪力流q的計算公式為［15］

式中:Iy為波形鋼腹板PC箱梁對y軸的截面慣性矩;

t為翼板的壁厚.

以頂板的彎曲剪力流計算為例，若周線坐標s的原點選在頂板中心處，則由式(1)可得

設u為頂板的縱向位移，頂板的面內剪切變形為

式中:Gc為混凝土的剪切模量.

對式(3)進行積分可得

式中:u0為頂板中心處的縱向位移.

由式(4)可得頂板與波形鋼腹板交界處的縱向位移為

由式(6)可得箱梁頂板的最大縱向位移差函數為

利用頂板的縱向位移邊界條件:當y=0時，u=u0;當y=b時，u=u1，可得箱梁頂板考慮剪力滯效應的縱向位移函數為

同理可得波形鋼腹板PC箱梁的懸臂板和底板的縱向位移函數 ux(x，y，z)和 ub(x，y，z).

波形鋼腹板PC箱梁縱向彎曲受力時，其橫截面的“擬平截面假定”成立，在波形鋼腹板和上、下混凝土翼板交界處的1、2位置的縱向位移可表達為式(10)和(11)，式中考慮了波形鋼腹板的剪切變形影響.

式中:f(x，z)為理論上推導所得適用于波形鋼腹板PC箱梁橋的剪力滯翹曲位移函數.

1.2 能量法推導撓度計算公式

波形鋼腹板PC箱梁的頂板、懸臂板和底板沿縱向的正應變和橫向的剪應變如式(14)、(15)所示［15］.

頂板、懸臂板和底板的應變能為

波形鋼腹板的剪切應變能為

式中:As為波形鋼腹板有效剪切面積;

Gs為波形鋼腹板的有限剪切模量，計算方法詳見文獻［2］.

波形鋼腹板PC箱梁橋的外力勢能珚W為

由最小勢能原理可知，體系總勢能的一階變分為0，即

對式(19)～(21)變換整理后可得式(23)～(24)

對式(23)進行兩次積分運算后便可得到波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度計算公式為

式中:

2 算 例

2.1 均布荷載作用下波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的撓度

如圖3所示，在均布荷載q作用下的波形鋼腹板PC簡支箱梁橋，距離坐標原點任意位置x處的剪力和彎矩分別為

圖3 均布荷載作用下的波形鋼腹板PC簡支箱梁橋Fig.3 Simply supported girder under a uniform load

由文中第2部分的推導可得其撓度計算公式為

2.2 均布荷載作用下波形鋼腹板PC連續箱梁橋的撓度

如圖4所示的在均布荷載q作用下的波形鋼腹板PC兩跨連續箱梁橋，距離坐標原點任意位置x處的剪力和彎矩分別為

圖4 波形鋼腹板PC連續箱梁橋承受均布荷載作用示意圖Fig.4 Continuous box girder under uniform load

則由文中第2部分的推導可得其撓度計算公式為

2.3 集中荷載作用下波形鋼腹板PC連續箱梁橋的撓度

如圖5所示，波形鋼腹板兩跨連續箱梁橋承受跨中集中荷載P，以左跨為研究對象，其彎矩與剪力方程為分段函數

圖5 波形鋼腹板兩跨連續箱梁橋承受集中荷載作用示意圖Fig.5 Continuous box girder under concentrated load

則由文中第2部分的推導可得其撓度計算公

3 模型試驗

為驗證本文所得的求解波形鋼腹板PC箱梁橋撓度計算公式的正確性，以所建成的波形鋼腹板PC連續箱梁橋-山東省鄄城黃河公路大橋的跨中橫截面尺寸為依據，按1∶10縮尺(如圖6所示)制作了6 m等截面波形鋼腹板PC簡支箱梁橋和3+3 m等截面波形鋼腹板PC連續箱梁橋的模型試驗梁.試驗梁的上、下翼板采用C50混凝土，波形鋼腹板采用Q235鋼，型號為1600型.

圖6 模型梁的橫截面尺寸Fig.6 Cross section dimensions of model girder

3.1 模型試驗梁的加載工況

(1)波形鋼腹板PC簡支箱梁橋和連續箱梁橋的均布荷載加載工況

首先在試驗梁頂板與波形鋼腹板交界處沿橋梁縱向鋪設兩列方磚，如圖7(a)所示，然后在方磚上方沿試驗梁中心線對稱滿鋪鋼板(鋼板重量與預壓方磚重量相同，用以消除結構非彈性變形的影響)，隨后在鋼板上方整齊均勻鋪設方磚來近似模擬均布加載，均布加載分為 1.2、2.4、3.6 t 3 個等級進行，撓度測點布置于跨中截面.

(2)波形鋼腹板PC連續箱梁橋的集中荷載加載

在波形鋼腹板PC連續箱梁橋的跨中截面頂板與腹板交界處放置4個直徑為100 mm的鋼制圓形分載器來進行集中荷載加載，如圖7(b)所示.采用圓鋼管架設的支撐體系放置于分載器上，隨后在支撐體系上放置形狀統一、重量均勻的沙袋近似模擬集中加載，集中荷載加載分為 0.5、1、1.5 t 3 級等級進行.

圖7 試驗梁加載Fig.7 Test beam loading

3.2 波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型

采用ANSYS 14.0有限元軟件建立了波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型，如圖8所示.

圖8 波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型Fig.8 FEM of the PC box girder bridge with CSWs

4 結果分析對比

運用本文所得的計算公式求得波形鋼腹板PC簡支箱梁橋及連續箱梁橋在不同荷載類型作用下跨中截面的撓度值，并與有限元值及實測值進行對比，對比結果如圖9～10所示.

由圖9～10可知，計算值、實測值及有限元值三者吻合良好，驗證了本文計算公式的可靠性.

4.1 剪力滯及鋼腹板剪切變形隨寬跨比變化分別對撓度的影響

假定波形鋼腹板的截面高度不變，波形鋼腹板PC箱梁橋的跨徑l分別取為1～6 m(1的整數倍)，對應實橋的跨徑為10～60 m，寬跨比(2b/l)為0.650～0.108.以總撓度 W 為分母，以式(37)考慮剪力滯效應對總撓度的影響和式(38)考慮波形鋼腹板剪切變形對總撓度的影響，分析在寬跨比變化時兩者對波形鋼腹板PC箱梁橋撓度的影響程度.

圖9 均布荷載下波形鋼腹板PC簡支、連續箱梁橋跨中截面撓度Fig.9 Mid-span cross section deflections of simply supported and continuous box girder bridge with CSWs under a uniform load

圖10 集中加載下波形鋼腹板PC連續箱梁橋跨中截面撓度Fig.10 Mid-span cross section deflections of a continuous box girder bridge with CSWs under a concentrated load

(1)均布荷載作用下的波形鋼腹板PC簡支箱梁橋

在均布荷載作用下，求得了波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的剪力滯效應(Ja1)和波形鋼腹板剪切變形(Jb1)隨寬跨比變化對跨中撓度的影響程度，所得結果如圖11所示.

由圖11可以看出，波形鋼腹板PC簡支箱梁橋承受均布荷載，在寬跨比范圍為 0.108～0.650時，剪力滯效應對其跨中撓度影響較小，而波形鋼腹板剪切變形對其跨中撓度影響顯著.

(2)均布荷載作用下波形鋼腹板PC連續箱梁橋

在均布荷載作用下，求得了波形鋼腹板PC連續箱梁橋的剪力滯效應(Ja2)和波形鋼腹板剪切變形(Jb2)隨寬跨比變化對跨中撓度的影響程度，所得結果如圖12所示.

圖11 Ja1、Jb1隨寬跨比變化示意圖Fig.11 Ja1、Jb1varies with the width-span ratio variation

由圖12可知:當寬跨比超過 0.650時，剪力滯效應對波形鋼腹板PC連續箱梁橋跨中撓度的影響會超過5%;當寬跨比在 0.108～0.650 范圍內，波形鋼腹板剪切變形對跨中撓度的影響顯著.

(3)集中荷載作用下波形鋼腹板PC連續箱梁

在集中荷載作用下，求得了波形鋼腹板PC連續箱梁橋的剪力滯效應(Ja3)和波形鋼腹板剪切變形(Jb3)隨寬跨比變化對跨中撓度的影響程度，所得結果如圖13所示.

圖12 Ja2、Jb2隨寬跨比變化示意圖Fig.12 Ja2、Jb2varies with the wideth-span ratio variation

圖13 Ja3、Jb3隨寬跨比變化示意圖Fig.13 Ja3、Jb3varies with the width-span ratio variation

由圖13可以看出，在集中加載時，箱梁的剪力滯效應要大于均布加載時的剪力滯效應，由剪力滯效應引起的撓度也要大于均布加載的情況.因此，當寬跨比在0.108～0.650范圍內時，剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板PC連續箱梁橋跨中撓度的影響均較大.

由圖11～13還可以看出，在集中荷載和均布荷載作用下，剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板PC箱梁橋(簡支和連續體系)跨中撓度的影響程度均隨寬跨比的減小而減小.

4.2 剪力滯及鋼腹板剪切變形隨腹板高度變化分別對撓度的影響

假定波形鋼腹板的高度取50～350 mm(50的整數倍)，在寬跨比 0.108～0.650范圍內，計算了波形鋼腹板PC箱梁橋在不同荷載類型加載下剪力滯效應及波形鋼腹板剪切變形分別對其跨中撓度的影響程度，如圖14～16所示.

圖14 Ja1、Jb1隨波形鋼腹板高度變化示意圖Fig.14 Ja1、Jb1varies with different height of CSWs

(1)均布荷載作用下波形鋼腹板PC簡支箱梁橋

由圖14可以看出，在均布荷載作用時，在同樣的寬跨比下，剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形隨波形鋼腹板高度的變化對波形鋼腹板PC簡支箱梁橋跨中截面撓度的影響較小，尤其是當波形鋼腹板高度較低時，兩者對跨中撓度的影響基本無變化.當 2b/l=0.650 且 hw/l＜0.2 時，剪力滯效應的影響超過工程允許值的5%.

圖15 Ja2、Jb2隨波形鋼腹板高度變化示意圖Fig.15 Ja1、Jb1varies with different height of CSWs

(2)均布荷載作用下波形鋼腹板PC連續箱梁橋

由圖15可以看出，在均布荷載作用時，在同樣寬跨比下，剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形隨波形鋼腹板高度的變化對波形鋼腹板PC連續箱梁橋跨中截面撓度的影響較小.當2b/l=0.650且hw/l＜0.25 和 2b/l=0.325 且 hw/l＜0.1 時，剪力滯效應對撓度的影響會超過工程允許值的5%.

(3)集中荷載作用下波形鋼腹板PC連續箱梁

由圖16可以看出，當寬跨比為 0.108～0.650時，在集中加載時，箱梁的剪力滯效應大于均布加載時的剪力滯效應，剪力滯效應引起的撓度大于均布加載的情況，這時剪力滯效應和波形鋼腹板的剪切變形對集中荷載作用下的波形鋼腹板PC連續箱梁橋跨中撓度的影響均超過工程允許值的5%.

由圖14～16可以看出，波形鋼腹板PC連續箱梁橋在集中力作用下跨中截面處的剪力會發生突變，突變的方向與集中力的作用方向一致，剪力突變幅度等于外力的大小，由此引起的剪力滯效應和剪切變形較為明顯.波形鋼腹板PC連續箱梁橋在均布荷載作用下，其對應區間的剪力圖為斜直線，斜線的斜率等于均布荷載的集度，剪力在區間內無突變，引起的剪力滯效應和剪切變形相對于集中荷載作用時小.

圖16 Ja3、Jb3隨波形鋼腹板高度變化示意圖Fig.16 Ja3、Jb3varies with different height of CSWs

5 結論

通過本文的推導分析，可得如下結論:

(1)本文運用能量變分法，在考慮箱梁剪力滯效應和鋼腹板剪切變形的基礎上，推導出了波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度計算公式，計算公式的精確度高，可以用于實際工程中此類型橋梁的撓度計算.

(2)在集中荷載和均布荷載作用下，剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板PC箱梁橋(簡支和連續體系)撓度的影響均隨著寬跨比的減小而減小.

(3)當波形鋼腹板PC箱梁橋的寬跨比恒定，波形鋼腹板的高度變化時，剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板PC箱梁橋撓度的影響較弱，尤其當波形鋼腹板高度較小時，兩者對該橋型撓度的影響基本無變化.

(4)均布荷載作用下的波形鋼腹板PC簡支箱梁橋和連續箱梁橋，當寬跨比2b/l=0.108～0.650時，需要考慮波形鋼腹板剪切變形對其撓度的影響;當 2b/l=0.650 且當 hw/l＜0.2 時，需要考慮剪力滯效應對波形鋼腹板PC簡支箱梁橋撓度的影響;當 2b/l=0.650 且 hw/l＜0.25 時和 2b/l=0.325且hw/l＜0.1時，需要考慮剪力滯效應對波形鋼腹板PC連續箱梁橋撓度的影響.

(5)集中荷載加載下，當寬跨比2b/l=0.108～0.650時，剪力滯效應和波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板PC連續箱梁跨中截面撓度的影響較大，在撓度計算中需要考慮兩者對撓度的影響.

致謝:蘭州交通大學優秀平臺資助(201601).

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