高中數學解題方法及技巧探究

【摘 要】數學是學生從幼兒園就接觸的一門重要學科，在高中，數學基本上與實際生活聯系不大，但對于學生高考卻非常重要，因此學生必須認真學習高中數學。高中數學的范圍很廣，會學到各方面的知識，其中重要的主要有三角函數、數列、立體幾何、解析幾何、概率統計等等，這些知識在高考中占有很大的分值，因此學生必須學習并掌握這些知識點，熟練運用它們解決問題，文章主要講述一些學生能經常用到的解題技巧。

【關鍵詞】高中數學；解題方法；技巧

老師在傳授學生高數時會運用到不同的方法，一是提供學生快速方便的解題模式，二可以提高學生的邏輯力，所以解題方法與技巧是至關重要的。

一、解題方法

1.換元法

所謂換元法，簡單來說就是用一個未知量代替另一個未知量，使式子化簡，從而解題的方法。這種方法在高中數學中是至關重要的一種方法，在函數和數列等問題中都接觸到。

例一已知f（x-1）=x?-3x+2，求f（x+1）的解析式看這道題，可以假設t=x-1，題目要求解f（x+1）的解析式，因此可以用換元法x=t+1，這時把換元的式子代入函數，即f（x-1）=f（t）=（t+1）2-3×（t+1）+2，化簡得f（t）=t2-t，為什么要這樣做，因為（x+1）就是函數中的自變量x，這時求函數解析式，首先要知道函數的方程，因此用換元法用t代替原來的自變量，這時函數自變量為t，因此假設t=（x+1），帶入函數f（t）=t2-t，即f（x+1）=（x+1）2-（x+1），化簡得f（x+1）=x2+x，求出f（x+1）的解析式：f（x+1）=x2+x。

換元法也叫變元代換法，它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。在高中學生接觸的換元法主要是整體換元和三角換元，所謂整體換元是在已知或者未知者中，一個代數式不斷出現，用一個字母代替這個代數式，使式子明了，從而解題。如例一就是這種方法，當然有時也要變形來找到這個代數式，例如：3x+9x-5>=0，解這道題，可以先把9x變形為32x這時就找到了這個代數式：3x，然后設3x=t（t>0），可以化簡為一元二次方程了，從而解出答案。

三角換元就是用所學三角知識和已知代數式，轉換為三角函數進行計算。例如：求y=的值域，由根號定義知x的取值范圍為（-1，1），所以x可以轉化為sinx，因為兩者取值范圍一樣，所以這個式子就變成了三角函數。

2.定義法

這是最簡單的一種解題方法，即運用數學定義解題，數學中的定義、公式是經過長時間的研究所得出的一定的準則，對于解決數學問題提供了一種模板，它是經過千萬次的實踐所得出的必然結果，符合客觀事實和科學理論。所以解題時定義是必不可少的，在數列、函數、立體幾何中都離不開它。

例一、求f（x）=（x+3）/（x+1）在（-∞，-1）的單調性。

這是關于定義求單調性的一道題，設x1、x2∈（-∞，-1），且x1>x2，則

f（x1）-f（x2）=（x1+3）/（x1+1）-（x2+3）/（x2+1）

=（（x1x2+x1+3x2+3）-（x1x2+3x1+x2+3））/（x1x2+x1+x2+1）

=2（x1-x2）/（x1x2+x1+x2+1）

因為x2>x1，所以（x2-x1）>0，又因為x1、x2∈（-∞，-1），所以x1+1>0，x2+1>0，因此f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），因此f（x）=（x+3）/（x+1）在（-∞，-1）上單調遞增。這就是用單調函數定義法來求函數單調性的。運用定義法求值還可以用在其他函數式，立體幾何也經常用定義來證明，用定義法是解題基本步驟，不管什么難題首先離不開定義，學生必須牢記。

3.配方法

配方法是對式子進行一種變形，也稱完全平方，通過配方找到已知數和未知數的聯系，化繁為簡，從而輕松解題。最常見的配方是對式子進行完全平方，這是最常見的一種方法，對方程和函數等應用廣泛，主要適用于已知或未知中還有二次方程、二次不等式、二次函數的題。學生在高中接觸到的最常見的配方根據主要是二次完全平方式，即：（a+b）2=a2+b2+2ab，通過這個配方法可以得到基本的配方形式：

①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab

②a2+b2+c2+ab+ac+bc=1/2[（a+b）2+（a+c）2+（b+c）2]

③a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）

接下來用這些公式來解題：

例一、將y=4x2-x-1配方并求其頂點。

【解】y=4（x2-x/4）-1

y=4[x2+2×x×（-1/8）+（-1/8）2]-1-4×（-1/8）2

y=4（x-1/8）2-1-1/16

∴y=4（x-1/8）2-17/16，因此解出y=4x2-x-1的配方和頂點。

通過配方法學生可以解決一些數學難題，為節省他們的時間提供了一個好方法。

二、解題技巧

（1）數形結合。數形結合是一個解決數學難題的技巧，通過數形結合可以解決很多問題，而且可以減少很多麻煩，節省學生時間，這種方法主要體現在解析幾何中，用圖形輔助數學式子來解決難題，以形為手段，數為目的，對于一些數學難題，尤其在解析幾何中是常用的一種形式。

（2）分類討論。分類討論是一種邏輯方法，也是重要的解題方法，是在遇到多種情況時使用的一種方法，面對數學題多種情況時，可以通過分類討論一一列舉出這些情況，進行分析。這種方法需要先觀察式子，看是否要討論，然后進一步解決。使用分類討論有這幾種情況：①式子出現絕對值時，例如lal>0，則分兩種情況，a>0，a<0等等。②解含有參數的題目時，必須根據參數范圍分類討論，例如解ax>4，可以分為a>0，a<0，a=0三種情況。③問題中關于定義，公式等存在限制時，也需要進行分析。

（3）數學中學習的技巧有很多，還有因式分解，這是高三解題時時常用到的，它是從平方式公式中延伸出的一種解題方法，列如x2+3x+2可以分解為（x+2）*（x+1）。還有一些技巧需要學生在解題時自己發現，用適合自己的技巧解題，只有這樣才能輕松面對數學問題，并解決它。

三、結語

高中數學是學生高考的一門重要科目，要學好必須了解其特點。教師通過向學生傳達這些知識、解題方法和技巧，一方面可以解決學生面對的難題，為自己增分；另一方面學生通過學習不同的方法和技巧可以增強自己的邏輯力和理解力，在面對難題時能用不同的辦法解決，為學生的學習開闊新的視野。老師也可以通過這些知識的教學提升學生的興趣，進而提高教學效率。

參考文獻：

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[2]陸志琴.淺析高中數學解題方法和技巧[J].考試周刊，2016，（86）：63.

[3]李中華.試論高中數學重要解題方法與技巧[J].吉林教育，2016，（17）：20.

作者簡介：

熊小勇，男，本科，研究方向：數學與應用數學。endprint