用均值不等式 求條件最值題

張世林++田金政

高考題和各地的模擬題經常涉及多元函數的條件最值問題，這類問題對考生的能力要求較高，稍不注意就會產生錯誤. 為此，本文將這類問題的常見求解策略舉例分析如下.

直接放縮

直接對條件求解式利用均值不等式進行放縮，此時應特別注意等號成立的條件.

例1 （1）若，，則的最小值為____________.

（2）已知正數滿足，試求，的范圍.

解析 （1）∵，

∴.

∴，或.

∵，

∴.

（2）方法一：∵，，

.

即

解得，.

當且僅當，，即時，等號成立.

故的取值范圍是.

又，

即

解得，.

當且僅當即，等號成立.

故的取值范圍是

方法二：∵，，

，且.

則.

∵，即.

則

.

當且僅當時，等號成立.

故的取值范圍是.

當且僅當時，等號成立.

故的取值范圍是.

點評 第（2）問中，方法一是換元與放縮的結合，方法二是減元與函數思想的結合.

合理配湊

將已知等式合理變形、恰當配湊，使之能用條件且保證和（或積）為常數，其間滲透著換元的思想.

例2 （1）已知，，且，則的最大值為 .

（2）已知，，，則的最小值是（ ）

A. 3 B. 4

C. D.

解析 （1）由題意得，

.

，

則.

（2）因為，

所以.

整理得，.

即.

又，.

當且僅當時，等號成立.

答案 （1） （2）B

“1”的代換與消元

例3 已知正數滿足，求的最小值.

解析 方法1： （均值不等式法）由得，

則

.

當且僅當即時，等號成立.

故此函數的最小值是18.

方法2：（消元法）由得，

又，即

，故

則

.

當且僅當，即時，等號成立.

故此函數的最小值是18.

例4 已知兩正數滿足，求的最小值.

錯解一 因為對，恒有.

從而.

所以的最小值是4.

錯解二 由題意得，.

所以的最小值是.

分析 錯解一中，等號成立的條件是，且相矛盾. 錯解二中，等號成立的條件是，這與相矛盾.

正解 由題意得，

=

.

令， 則.

因為在上單調遞減，

故當時，有最小值.

所以當時，有最小值.

挖掘隱含條件

例5 已知是不相等的正數，且，則的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解析 由得，

.

于是.

故

解得，.

答案 B

點評 本題容易漏掉這個隱含條件而誤選A.endprint