函數單調性的教學方法探究與反思

李一帆

摘 要：函數的單調性是函數的重要性質，其判定方法在也是數學中相當重要的一個知識點，可通過數形結合來實現，但對于高職院校的學生來說，如何讓其有效掌握高等數學中的單調性判別法，為函數單調性選擇更為簡單的判定方法是本文探究的重點。

關鍵詞：單調性 判別法 教學方法 反思

一、引言

函數的單調性是函數的重要性質，在初等數學中，我們已經學習過通過作差法判別函數的單調性，但對于某些復雜函數或特殊函數，作差法并不能實現單調性的判別，因此在高等數學中，我們引入了利用導數判定函數的單調性，但是如何能讓學生更容易掌握導數方法判別呢？這是值得探究和反思的。

二、單調性判別法的教學方法探究

（一）作差法的優勢和弊端

設函數的定義域為，，任取，且，恒有，則稱函數在內單調增加；如果任取，且，恒有，則稱函數在內單調減少。單調增加函數和單調減少函數統稱為單調函數。

在初等數學階段，我們對函數的單調性的判別方法為定義判別法，即“作差法”，簡單函數或一般函數可容易由其判斷出來。（由圖1所示）

圖1

但是，在實際教學和應用中，我們“作差法”存在一些優勢，但同時也存在一些弊端。

作差法優勢：容易掌握；弊端：復雜函數或特殊函數無法判斷出單調性。

例1判斷函數在其定義域上的單調性。

解 因為的定義域為，則

任取且，作差得

根據假設，容易得出，因此判定在其定義域上單調增加。

例2 函數是否容易利用“作差法”判斷其單調性？

解 因為的定義域為，則

任取且，作差得

但在上式中的正負無法確定，因此“作差法”無法判定其單調性。高等數學中，導數判別法判別函數的單調性有效的解決了這一問題。

（二）利用導數判定函數的單調性優勢、弊端及授課反思

1.導數判定函數的單調性優勢、弊端

定理 設函數在上連續.在內可導.

（1）如果在內，則函數在上單調增加；

（2）如果在內，則函數在上單調減少。

導數判別法判定函數單調性的優勢在于它可以判斷復雜函數甚至一些相對抽象的函數容易判定其單調性。但是其弊端在于對于數學基礎相對薄弱的職業院校學生來說不易掌握。

2.導數判定函數的單調性的授課反思

那么作為職業院校的教師應該如何講授讓學生更容易理解呢？我認為，在實際教學中，可從兩方面講授，以便學生視自己學習情況看哪種方法更易理解。

（1）利用拉格朗日中值定理理解判定定理

設是內任意兩點，且，在上運用拉格朗日中值定理得：

如果，則。因為，所以有，

因此在上單調增加。

同理可證，在上單調減少。

（2）利用導數的幾何意義理解判定定理

我們知道，導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。即

對于增加性不同的函數，它們每一點處切線斜率，或者說導數有什么特點嗎？我們通過下圖來觀察一下。

圖2

在圖2-（1）中，是單調增加的，切線與夾角均為銳角，而銳角的正切值都是正值，由導數的幾何意義可知，此時，因此判定是單調增加的條件為內；在圖2-（2）中，是單調減少的，切線與夾角均為鈍角，而鈍角的正切值都是負值，此時，因此判定是單調增加的條件為內。注：判斷時，和不影響判定結果。

例2中，“作差法”未能判定的單調性，下面我們利用導數試判定其單調性。

例3 利用導數判別法判定的單調性。

解 因為的定義域為， 而在上，

所以在其定義域上單調增加。

例4 確定的單調區間

解 的定義域為.求的導數的

.

解方程，得、

這兩個根把分成三個部分區間、及.

所以：在上單調增加. 在上單調遞減。

結語

本文對函數單調性初等數學階段的“作差”判別法和高等數學階段的導數判別法的優點和弊端進行了論證，在教學方法進行了探究和反思，主要目的是為了在教學過程中使學生更好的掌握所學內容，做到學以致用的。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上）第三版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]張杰霖.抽象函數單調性的證明技巧 [J].試題與研究（教學論壇），2011（8）.

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