混凝土板柱節點偏心沖切極限分析

易偉建，劉 彪

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

鋼筋混凝土板柱結構是一種只由樓板和柱組成的結構體系，這種結構有施工簡便、空間利用率高、布局靈活等諸多優點，在停車場、住宅、倉庫等建筑中有著廣泛的應用.但是，板柱結構的節點容易發生脆性沖切破壞，而且一個節點的沖切破壞可能引起相鄰節點因過載而相繼破壞，進而引發結構連續倒塌.

對板柱節點抗沖切性能研究已有近百年的歷史，并積累了相當豐富的試驗數據[1].特別是中柱節點在軸向荷載下受力性能的研究較為充分.現有的研究表明：板柱節點在不平衡彎矩地作用下其抗沖切承載力會有所下降，而板柱結構在承受豎向荷載的同時由于重力荷載的偏心，橫向風作用以及地震作用不可避免地會產生不平衡彎矩，進而降低節點的承載力.不平衡彎矩下的沖切破壞機理較為復雜，相關的研究也相對較少，我國混凝土結構設計規范也僅在附錄中列出了計算公式[2].

國內外學者提出了一些板柱節點在不平衡彎矩作用下沖切承載力的計算方法或計算模型，如：1976年Islam和Park在屈服線理論地基礎上采用擬梁法建立了節點的承載力的計算公式[3-4]；1981年Dilger等人在低周反復荷載試驗的基礎上運用屈服線理論得到了不平衡彎矩作用下的荷載計算公式[5]；我國的馬元昌、呂西林于2001年在抗彎塑性鉸理論的基礎上進行極限分析得到了抗彎和抗剪相關方程的聯合計算公式[6]； 2007年Ying Tian基于試驗研究和歷史數據庫提出以擬梁法為基礎的計算模型[7]；2013年洪小滔研究了混凝土強度、沖垮比、配筋率對偏載下板柱節點沖切強度的影響[8]；2014年Choi等人基于臨界截面應變分布提出考慮不平衡彎矩作用下的計算模型[9].

在板柱節點抗沖切承載力的塑性極限分析方面，也取得相關的研究成果.1976年Braestrup等利用修正的Mohr-Coulomb理論求解出了軸對稱沖切問題的最小上限解[10]；1986年蔣大驊等采用拋物線形的Mohr-Coulomb屈服準則，使得圓柱節點的最小上限解的表達式更為簡潔[11].1993年周朝陽在采用塑性分析方法研究板柱節點沖切承載力時提出考慮斜截面面內的旋轉的錯動-轉動復合機構[12]，相比于傳統的錯動模型能考慮徑向和環向配筋的影響；2002年，Salim W, Sebastian W M在蔣大驊的基礎上對極限分析做了一些修正[13]，2017年易偉建、劉彪提出基于塑性理論的鋼筋混凝土板沖切開裂滑移模型[14].

1 混凝土的屈服準則

對于軸對稱的板柱節點塑性極限分析，Braestrup等利用修正的Mohr-Coulomb破壞準則[10]，蔣大驊等采用拋物線型的Mohr-Coulomb破壞準則[11]，嚴宗達等采用雙剪強度理論[15]，魏雪英等采用統一強度理論[16].拋物線型Mohr-Coulomb破壞準則能較好的反映混凝土在較大正應力作用下剪力并非與正應力成比例增加的現象，并且連續可導，便于運算.本文采用文獻[11] 給出的拋物線形Mohr-Coulomb準則：

圖1 混凝土的破壞準則Fig.1 Failure criterion of the concrete

(1)

(2)

(3)

根據圖1可以求出拋物線外法線與τn軸夾角α與應力之間的關系為

(4)

結合式(1)可以得到：

(5)

則應力與夾角的關系為

(6)

將上式應力代入到應力圓中，可以求得其主應力.

(7)

以及切向正應力：

(8)

2 運動機構及對應的應變與應力

對板柱節點的沖切破壞進行塑性極限分析時，將柱頭與未屈服區域的板視為剛體，外力作用下柱頭(沖切破壞錐)與板之間形成屈服面，達到塑性極限狀態.當沒有不平衡彎矩時，柱頭整體可能的運動機構只會發生向下平動.當存在不平衡彎矩時，與軸向力和不平衡彎矩相對應，柱頭整體在平動的同時還會發生轉動，按圖2所示的運動機構，可計算軸力和不平衡彎矩所做的功.

將軸向力和彎矩共同作用轉化為一個偏心作用力，節點在偏載作用下發生沖切破壞.此機構分為三部分，不動剛體Ⅰ，運動的柱頭剛體Ⅱ以及塑性屈服區域Ⅲ，屈服域的厚度為δ.運動的柱頭剛體Ⅱ繞著點R(x0,z0)產生角速度為ω的旋轉運動.柱的中心軸線的運動可分解為一個沿z軸的平動-ωx0，和一個角速度為ω的旋轉運動，將這種運動機構稱為平動-轉動復合運動機構.現假設破壞錐體屈服域為如圖2所示坐標中的一待求函數，可以在直角坐標表示為

z=g(x,y)

(9)

圖2 運動機構Fig.2 Collapse mechanism

由不平衡彎矩產生的偏心距為

(10)

在圖2所示的平動-轉動復合運動機構下，錐體屈服域上任意一點的豎直方向的速率為u，水平方向的速率為v，正方向如圖2所示，則可求得運動速率：

(11)

屈服面上沿Y軸方向的運動速率為零，現假設屈服域的形狀函數能滿足：

(12)

則將運動速率分解為向屈服域的法線方向和切面上可以求得應變速率：

(13)

塑性增量理論的假設為：在塑性變形過程中的任一微小時間增量內，瞬時應力偏量與應變增量成比例，即：

(14)

式中，dλ為一與路徑有關的非負標量.

應力偏量：

sn=σn-(σ1+σ3)/2=2K

(15)

結合式(6)、(14)可以得：

(16)

由式(14)、(15)得：

(17)

(18)

3 虛功方程

(19)

屈服域的面積為

(20)

屈服域做的總內虛功：

(21)

聯立式(13)、(20)、(21)可以求得屈服域內力做的總內虛功為

(22)

外力做的虛功為

WE=P(e0-x0)ω

(23)

根據外力和內力虛功相等的原則，則有：

WE=WI

(24)

所以可以求得承載力：

(25)

4 承載力計算

4.1 最小上限解求解

承載力P為一泛函數，現在確定函數P的邊界條件，即屈服面在xy平面的投影，積分區域D的邊界條件Г由邊界Г1和邊界Г2兩部分組成，對于板的沖切問題上邊界Г1一般認為是沿著柱邊破壞的，即柱子的形狀邊界函數，是固定的；而對于板的下邊界Г2未知的，即邊界Г2為可變邊界.在特定機構下的最小承載問題轉化為對含有一個可變邊界條件泛函數P的極值問題，對于這類含有多元函數的泛函數的可進行變分求解.現令：

(26)

根據文獻[17]泛函數取得極值的必要條件是要求滿足歐拉方程：

(27)

同時，補充在可變邊界條件上，得：

(28)

對于一般的情況，要直接求出解析解存在一定的困難.現考慮沒有不平衡彎矩作用時的特殊情況.當偏心距為零時柱的軸線不發生轉動，只有平動運動，得：

(29)

對于這種特殊的情況，式(25)簡化為

(30)

同時，式(26)簡化為

(31)

代入歐拉方程(27)得：

(32)

得出的結論與文獻[18]一致，即文獻[18]所求出的結論只是本文的一種特殊情況.若對于圓柱板軸對稱問題可以對調和方程做一個柱坐標變換，同時代入邊界條件Г1、Г2則可以求出圓柱板的沖切解析解.

現在假設板上表面沿著柱邊破壞，下表面破壞邊緣距離柱中心的距離為d1/2，屈服面g函數的邊界條件Г1、Г2為

(33)

求得：

(34)

當：

?Pe0=0/?d1=0

(35)

可以取得最小值，計算結果與文獻[11] 一致.

4.2 最小上限解近似求解

對于最小上限解，當求解析解存在一定困難時，可以采用類似于構造形函數的方法求近似解，當構造的曲面函數合適時求出的最小解與解析解通常誤差會很小.所以本文擬采用構造形函數的方法近似求解，對計算結果進行分析得出實用的結論.

為便于分析對上文坐標轉換為柱坐標體系，根據坐標變換公式：

(36)

得到：

(37)

所以求得承載力：

(38)

上式中：

(39)

文獻[8]一共進行了8塊板在偏載作用下的沖切試驗(如圖3)，根據實驗現象表明破壞曲面在遠離偏載側的沖切錐一般要略為平緩一些，同時曲面下凸，對于r是單調，所以可以根據這些實驗現象構造屈服面函數.

圖3 偏載下典型的沖切破壞面[8]Fig.3 Typical failure surface under eccentric load

圖4 破壞示意圖Fig.4 Diagram of failure surface

如圖4現在擬定屈服面g函數的邊界條件Г1、Г2為

(40)

邊界條件Г1沿柱邊，為固定邊界條件；邊界條件Г2中d1，b為待定量，為可變邊界條件.現假設曲面函數g沿在同一角度θ處為滿足邊界條件Г1、Г2二次多項式的曲線.根據這些假設可以構造曲面函數：

(41)

式中，a為二次多項式待定參數，當a=0時，破壞面退化成圓臺.

將式(41)代入(38)即可求得承載力P，為求得所有可以發生的運動機構中的P的最小值，可以設計計算方法尋找P的最小值.

現在未定量為邊界條件變量d1、b，曲面二次多項式參數a，和旋轉中心R0(x0,z0)四個待定量.所以本文在確定相關參數的取值范圍后采用多重搜索的方法求出P的最小值.根據試驗現象一般可以大致確定一些參數的取值范圍.邊界條件中，d+h

現取m=100[13, 18]，通過數值計算的方法可以求出式(38)的在偏載下的承載力，通過多重搜索可以找出承載力的最小值，其最小承載力與非偏載下的理論值式(34)中Pe0=0的比值如圖5中的點標所示.可見承載力主要與參數d/h，e0/(d+h)有關.為應用方便，對計算的結果采用參數d/h、e0/(d+h)的多項式進行擬合，圖5中的線標為式(42)，可見擬合的公式與直接計算的結果是比較接近的.

(42)

圖5 計算與簡化公式對比Fig.5 Comparison of calculation with simplified formula

5 本文與其它計算方法對比與評價

在工程應用中板的厚度一般采用有效厚度h0，為保持一致，本文的計算方法中h視為板的有效厚度，e0=Munb/Pe0為偏心距.在計算方柱時采用等效圓柱直徑，根據面積等效的原則，d=1.13c.軸對稱條件下的承載力計算采用文獻[18]的公式：

(43)

式中，um同為距離柱邊h0的周長，根據式(42)可以得到偏心作用下的沖切承載力.

我國規范[2]對于非預應力板在不配置箍筋或彎起鋼筋時在集中反力作用下或者局部荷載的沖切承載力Fl計算應該滿足式(44)，相關參數的含義詳見規范[2].

Fl≤0.7βhftηumh0

(44)

在偏心作用下，采用等效集中反力設計：

(45)

對于方柱截面邊長為c中間板柱節點，代入相關公式，令其e0=Munb/Fl，可以計算得：

(46)

式(46)的等效集中荷載Fl,eq應滿足式(44)，得到在偏載作用下的承載力計算公式：

(47)

文獻[19]對規范公式進行了修正，給出了中柱節點在Vg和不平衡彎矩Munb聯合作用下的半經驗半理論承載力公式，對于柱尺寸為c的方柱，其計算化簡后如下

(48)

F0=ξftumh0

(49)

ξ=1.4ρfy/(ff+ρfy)

(50)

式中：F0為板柱節點在沒有不平衡彎矩作用下的沖切承載力，e0=Munb/Vg為等效偏心距，ft為是混凝土軸心抗拉強度，fy是縱向鋼筋屈服強度值c是方柱的邊長，h0為板的效高度，um為截面臨界周長.

所以在偏載作用下的承載力為

(51)

現在對文獻[19]公式、我國現行規范考慮的偏心作用與本文的極限分析計算的結果進行對比如圖6所示，文獻[19]公式和規范對中柱方形柱的偏心作用下的折減效應是一致的.

由圖6可知，本文的極限分析計算的偏心對承載力的影響的折減效應比規范和文獻[19]公式偏小，這可能是由于在偏載作用下所假設的曲面與理論的曲面存在偏差導致承載力偏高或者是由于混凝土并非理想的彈塑性材料，在復雜的偏心受力狀態下承載力相對于規范或其他基于試驗統計得出的經驗公式的折減效應偏小.在等效偏心距的坐標下，規范和文獻[19]公式對于中間方柱板都沒有考慮柱尺寸和板厚度的比值對載力折減效應的影響，而本文的極限分析結果表明柱尺寸和板厚度的比值對折減效應有著較大的影響.

圖6 偏心效應對承載力的折減效應對比Fig.6 Comparison of the effect of eccentricity on bearing capacity

文獻[20]整理了一共39個試驗數據，適用于本文公式計算的有效數據一共36個，對其試驗值承載力和計算承載力的比值在c/h0的坐標下所示，圖中虛線為回歸線.

圖7 試驗與計算對比Fig.7 Comparison between experiment and calculation

由圖7可知，規范GB50010-2010和文獻[19]公式對于c/h0的影響趨勢都不太準確，而本文的極限分析的結果對c/h0的影響的趨勢預測相對更為準確，但極限分析計算得出的節點的承載力整體偏高，基于試驗數據對本文的極限分析的結果進行調整，調整后的計算公式如下：

(52)

圖8 調整后試驗與計算對比Fig.8 Comparison of test and calculation after adjustment

調整后的計算值與試驗的對比如圖8.此時平均值為1.028，變異系數為0.144，離散性以及對柱寬與板厚比值影響趨勢都明顯優于規范GB50010-2010和文獻[19].

當采用附加剪力表示彎矩對沖切承載力的不利影響時，將板柱節點的等效剪力設計值表示為

(53)

式中：Fl,eg為等效剪力設計值，應小于非偏心沖切下的承載力的值；Fl為重力荷載設計值，e0=Munb/Fl為偏心距；h0為板的有效厚度；d為柱的直徑，為方柱時取為1.13倍的方柱邊長.此計算公式適用于存在不平衡彎矩的中柱板柱節點沖切承載力計算.

6 結論

(1)采用塑性極限分析方法，針對圓柱形板柱節點在軸向力和彎矩共同作用的受力條件，提出平動-旋轉復合運動機構，通過推演得到板柱節點抗沖切承載力的上限解，物理含義明確.

(2)求出了求解上限解的方法，為簡化計算，通過構造的破壞曲面，采用數值算法求出了節點在偏載作用下的承載力，對計算結果進行了簡化，并與規范和其他的計算方法進行了比較，試驗數據表明平動-旋轉復合運動機構模型相比與偏心剪應力模型能更準確的反映柱子與板厚的比值對承載力的趨勢影響.

(3)根據試驗數據對計算公式進行了修正調整，調整后的計算公式與試驗結果吻合良好，明顯的優于規范及其它計算公式，可用于實際工程設計.

(4)由于收集的試驗數據有限，方柱板邊長與板厚度比值的影響還有待于更進一步的研究.

[1] 易偉建. 混凝土結構試驗與理論研究 [M]. 北京: 科學出版社, 2012:286-291.

YI Weijian. Experimental and theoretical research on concrete structure [M]. Beijing: Science Press, 2012:286-291.

[2] 中華人民共和國建設部.混凝土結構設計規范:GB50010-2010 [S] . 北京: 中國建筑工業出版社, 2010.

Ministry of Construction of the PRC. Code for Design of Concrete Structure: GB50010-2010[S], Beijing: China Architecture Industry Press, 2010.

[3] ISLAM S, PARK R. Tests on slab-column connections with shear and unbalanced flexure [J]. Journal of the Structural Division, 1976, 102(3): 549-568.

[4] PARK R, ISLAM S. Strength of slab-column connections with shear and unbalanced flexure [J]. Journal of the Structural Division, 1976, 102(1): 549-568.

[5] DILGER W H, GHALI A. Shear reinforcement for concrete slabs [J]. Journal of the Structural Division, 1981, 107(12): 2403-2420.

[6] 馬云昌, 呂西林. 鋼筋混凝土板柱節點的抗震性能研究 [J]. 建筑結構學報, 2001, 22(4): 49-54.

MA Yunchang, LV Xilin. Study on seismic behavior of reinforced concrete slab joints. [J]. Journal of Building Structures, 2001, 22(4): 49-54.

[7] TIAN Y. Behavior and modeling of reinforced concrete slab-column connections [M]. AUSTIN:THE UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN, 2007: 146-162.

[8] 洪小滔. 偏載下鋼筋混凝土板柱節點沖切破壞試驗研究 [D]; 長沙:湖南大學, 2013: 20-56.

HONGXiaotao. Experimental Study on Punching Shear Failure ofReinforced Concrete Slab-Column Connections with Eccentric Loading [D]; Changsha:Hunan University, 2013: 20-56.

[9] CHOI K K, SHIN D W, PARK H-G. Shear-Strength Model for Slab-Column Connections Subjected to Unbalanced Moment [J]. ACI Structural Journal, 2014, 111(3): 491-152.

[10] BRASTRUP M W, NIELSEN M P, JENSEN B C, et al. Axisymmetric punching of plain and reinforced concrete[R]. Copenhagen:Structural Research Laboratory, Technical University of Denmark, 1976: 1-12.

[11] JIANG D H, SHEN J H. Strength of concrete slabs in punching shear [J]. Journal of Structural Engineering, 1986, 112(12): 2578-2591.

[12] 周朝陽. 塑性理論在混合材料復雜結構復合受力極限分析中的應用[C]//第二屆全國結構工程學術會議論文集. 北京: 清華大學出版社, 1993, 338-343.

ZHOU Zhaoyang. Application of plasticity theory to limit analysis of composite structure under complex loading; A collection of papers on the second National Academic Conference on Structural Engineering[C]. Changsha: Tsinghua University press 1993: 338-343.

[13] SALIM W, SEBASTIAN W. Plasticity model for predicting punching shear strengths of reinforced concrete slabs [J]. Structural Journal, 2002, 99(6): 827-835.

[14] 易偉建, 劉彪. 基于塑性理論的鋼筋混凝土板沖切開裂滑移模型[J]. 西安建筑科技大學學報(自然科學版), 2017, 49(1): 42-47.

YI Weijian , LIU Biao. Crack slip model for punching capacity of reinforced concrete slab based on the plastic theory[J]. J. Xi′an Univ. of Arch. & Tech.(Natural Science Edition), 2017, 49(1): 42-47.

[15] 嚴宗達. 用雙剪強度理論解混凝土板沖切的軸對稱問題 [J]. 工程力學, 1996, 13(1): 1-7.

YAN Zongda. Solution of the axisymmetrical punching problem of concrete slab by the twin shear strength theory [J]. Engineering Mechanics , 1996, 13(1): 1-7.

[16] 魏雪英, 楊政, 于澍, 等. 用統一強度理論求解軸對稱混凝土板的沖切強度 [J]. 工程力學, 2002, 15(9): 92-96.

WEI Xueying, YAN Zheng, YU Shu. With the unified strength theory to solve the axisymmetric punching strength of the concrete slab [J]. Engineering Mechanics, 2002,19( 05): 92-96.

[17] 老大中. 變分法基礎 [M]. 北京：國防工業出版社，2007: 163-167.

LAO Dazhong. The basis of the variational method [M]. Beijing：Defense lndustry Press,2007: 163-167.

[18] 易偉建,劉彪.混凝土板柱節點沖切承載力的極限分析[J].工程力學,2017,34(8):125-132，143.

YI Weijian , LIU Biao. Ultimate strength analysis of punching shear capacity of concrete slab -column connectionS. [J]. Engineering Mechanics,2017,34(8):125-132,143.

[19] 舒兆發. 板柱結構的中柱節點傳遞剪力和不平衡彎矩的沖切承載力 [J]. 湖南大學學報(自然科學版), 2003, 30(5): 55-60.

SHU Zhaofa. Punching shear capacity of mid column joints of plate column structure under transfer shear and unbalanced bending moments[J]. Journal of Hunan University(Natural Science Edition), 2003, 30(5): 55-60.

[20] 朱澤華. 偏載下板柱結構中柱節點受力性能試驗研究 [D]. 長沙:湖南大學, 2015: 56-68.

ZHU Zehua Experimental investigations on eccentrically loaded RC interior slab-column connections [D]. Changsha:Hunan University, 2015:56-68.