不確定陀螺儀混沌系統的H∞滑?？刂?/h1>
2018-06-01 00:57張秀蘭
泰山學院學報 2018年3期
李 媛，張秀蘭
(1.山西傳媒學院 傳媒工程系，山西 晉中 030619；2.淮南師范學院 電子工程學院，安徽 淮南 232038)
過去的幾十年中，由于在太空航空、航海航行以及光電科學中有很多應用，陀螺儀系統的控制問題引起了很多學者的關注[1-2]. 同時, 陀螺儀系統也展現出了豐富的動態性質，如極限環和混沌等.這些性質的發現對陀螺儀的實際應用也起到很好的促進作用.帶有線性或者非線性阻尼的不同類型的陀螺儀系統的控制問題現在已經成為一個熱門的研究方向.相關的研究成果主要可以分為如下三類：陀螺儀動力學及分線性分析[3-4], 混沌及其控制[2]以及同步[1, 5, 6].眾所周知，H∞控制具有很好的控制效果和應用價值.目前，很少有文獻研究陀螺儀系統的H∞控制問題.
滑?？刂圃谔幚聿淮_定非線性系統的控制問題中有著廣泛的應用.這種控制方法具有很好的魯棒性以及控制效率[7-8].這種控制方法最重要的是實際合適的滑模面.滑模面的設計對最后的控制效果起到關鍵作用.滑?？刂茟梅秶鷱V泛，在陀螺儀系統的控制中也有一些具體應用[1,4,5].同時,H∞控制具有一些較好的控制特點.這些特點與滑?？刂葡嘟Y合，對控制系統的魯棒性及控制效果的提升有一定的幫助[9-10].這也是本文研究的出發點.本文主要考慮對含有未知外界擾動的陀螺儀混沌系統設計滑?？刂婆cH∞控制相結合的綜合控制器.該控制器可以結合滑?？刂坪虷∞控制的優點，提升整體的控制效果和系統的魯棒性.
1 問題的描述與預備知識
本文考慮的對稱陀螺儀的幾何圖形如圖1所示.在線性阻尼的影響下，角度θ的動態方程可以描述為[2]:
(1)
圖1 對稱陀螺儀工作示意圖
(2)
其中d(t)為未知的外界擾動，u(t)為控制輸入.
當系統參數選為f=35，α=10，β=1，c1=0.5，c3=0.05，ω=2時，系統(1)或其等價形式(2)具有混沌吸引子.設系統初值為x1(0)=1.6，x2(0)=0.其混沌示意圖見圖2.
圖2 陀螺儀系統混沌吸引子
(3)
本文假設系統輸出滿足如下的形式：
y(t)=Cx(t)+Dd(t)
(4)
其中C和D為適當維數的矩陣.
本文的主要目的是設計適當的滑模H∞控制器, 使得陀螺儀混沌系統(3)的狀態向量滿足如下條件：
(i) 在0初值的條件下，在滑模面上，閉環系統為漸近穩定的.存在大于零的常數r滿足如下的H∞控制條件：
‖y(t)‖≤r‖d(t)‖
(5)
(ii) 設計合適的控制器，使系統狀態向量在有限時間內到達滑模面，并在此時間以后停留在滑模面上.
為了完成控制目標和便于控制器的設計，我們給出如下假設：
假設1H∞性質參數r滿足
DTD≤r2I.
(6)
假設2[10]系統未知的外界擾動d(t)滿足d(t)∈L2[0+∞)，即存在大于零0的常數Md使得
(7)
注需要指出的是假設1和2是合理的.對于假設1，本文要求未知矩陣D滿足條件DTD≤r2I.事實上，很多未知的外界不確定項都滿足此條件.常用的函數如sin(x(t))，cos(x(t))等都滿足此條件.對于陀螺儀的系統模型是在理想情況下得到，對其實際工作狀態我們增加考慮系統不確定項，這也是為了說明本文控制方法有較好的魯棒性.對于假設2，我們假設外界擾動的能力是逐步衰減的，這是符合實際情況的.這個條件也是H∞控制實施的必要條件.
2 控制器的設計及穩定性分析
可以構造如下的滑模面：
(8)
其中G∈R1×2為常數矩陣且GB非奇異;K∈R1×2為滿足一定條件的待選矩陣.于是可得系統等效控制器為
ueq=Kx-(GB)-1G[f(x)+d(t)]
(9)
等效控制器(9)可以使系統狀態的動態方程滿足
(10)
其中F=[I-B(GB)-1G].
于是可以給出本文的主要結果.
定理1 在滿足假設1和2的條件下, 如果外界擾動d(t)=0, 對于給定的r，μ>0，如果存在正定矩陣P和實矩陣K滿足
(11)
其中
∧=PA+ATP+PBK+KTBTP
(12)
則滑模面動態方程(10)為漸近穩定的.
證明由于d(t)=0, (10)式可以改寫為
(13)
定義Lyapunov函數為
V1=xTPx.
(14)
于是
(15)
注意到如果選取μ足夠大，可以使
μ2xTx≥fT(x)f(x).
(16)
進一步，有
(17)
其中α=[xT，fT(x)]T.
定理2 在滿足假設1和2的條件下, 對給定的r,μ>0, 如果存在一正定矩陣P和一實矩陣K滿足
(18)
則可以保證控制系統的H∞性能.
證明設Lyapunov函數為(14).在考慮外界擾動的情況下有
(19)
定義β(t)=[xT，fT(x)，dT(t)]T, (19) 可以改寫為
(20)
其中
再根據(18)可知
(21)
對(21)式兩邊取積分可得
(22)
于是可以保證系統的H∞性能.證畢.
注根據Schur補定理, (11) 和 (18)可以寫為
(23)
根據上面的討論，我們可以構造如下的控制器：
(24)
其中
η(x)=μ‖GF‖‖x‖+‖GF‖‖d(t)‖+δ
(25)
這里δ>0為設計參數.
定理3 在滿足假設1和2的條件下, 如果滑模面設計為(8),K為LMI(23)的解, 控制器設計為(24) 和(25), 于是可以保證滑模面s(t)=0的可達性.
證明定義Lyapunov函數為
(26)
根據(8), (10), (24) 和(25)有
(27)
于是有
(28)
根據(28) 可知s(t)=0為可達的.證畢.
3 仿真研究
設系統參數為r=0.1，μ=0.5，δ=0.2.矩陣G為G=[1，1，2]T.于是根據(23), 可得K=
[-0.5474，0.1673，2.1456]T.外界擾動為
(29)
仿真結果見圖3-5.從仿真結果看，被控對象x1和x2兩個狀態向量趨向原點，控制效果較好，得到了系統的H∞性能.
圖3 控制輸入
圖4 狀態向量x1控制效果
圖5 狀態向量x2控制效果
[1]Pechev A N. Feedback-based steering law for control moment gyros[J].Journal of Guidance Control & Dynamics,2015,30(3):848-855.
[2]Zarei M, Vali A, Behnamgol V. Sliding mode control with self-tuning law for synchonization of two uncertain chaotic gyros[C].International Conference on Control, Instrumentation, and Automation. Qazvin Iran：IEEE，2016.
[3]Kim Y W,Yoo H H. Design of a vibrating MEMS gyroscope considering design variable uncertainties[J].Journal of Mechanical Science and Technology, 2010, 24(11): 2175-2180.
[4]Tsai N, Wu B. Nonlinear dynamics and control for single-axis gyroscope systems[J].Nonlinear Dynamics,2008(51): 355-364.
[5]Zheng S, Li H, Han B, Yang J. Power consumption reduction for magnetic bearing systems during torque output of control moment gyros[J].IEEE Transactions on Power Electronics,2017,32(7): 5752-5759.
[6]Yau H T. Chaos synchronization of two uncertain chaotic nonlinear gyros using fuzzy sliding mode control[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2008(22): 408-418.
[7]Dong Q, Zong Q, Tian B, Wang F. Adaptive‐gain multivariable super‐twisting sliding mode control for reentry RLV with torque perturbation[J].International Journal of Robust & Nonlinear Control, 2017, 27(4), in press.
[8]Zhang B, Ma L, Han Q. Sliding modeH∞control for offshore steel jacket platforms subject to nonlinear self-excited wave force and external disturbance[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2013,14(1): 163-178.
[9]Luo Y, Wang Z, Liang J, Alsaadi F E.H∞Control for 2-D fuzzy systems with interval time-varying eelays and missing measurements [J].IEEE Transactions on Cybernetics,2016,47(2): 365-377.
[10]Cheng J, Park J H, Wang H. Event-triggered H∞control for T-S fuzzy nonlinear systems and its application to truck-trailer system [J].ISA Transactions, 2016(65): 62-71.
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滑?？刂圃谔幚聿淮_定非線性系統的控制問題中有著廣泛的應用.這種控制方法具有很好的魯棒性以及控制效率[7-8].這種控制方法最重要的是實際合適的滑模面.滑模面的設計對最后的控制效果起到關鍵作用.滑?？刂茟梅秶鷱V泛，在陀螺儀系統的控制中也有一些具體應用[1,4,5].同時,H∞控制具有一些較好的控制特點.這些特點與滑?？刂葡嘟Y合，對控制系統的魯棒性及控制效果的提升有一定的幫助[9-10].這也是本文研究的出發點.本文主要考慮對含有未知外界擾動的陀螺儀混沌系統設計滑?？刂婆cH∞控制相結合的綜合控制器.該控制器可以結合滑?？刂坪虷∞控制的優點，提升整體的控制效果和系統的魯棒性.
1 問題的描述與預備知識
本文考慮的對稱陀螺儀的幾何圖形如圖1所示.在線性阻尼的影響下，角度θ的動態方程可以描述為[2]:
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其中d(t)為未知的外界擾動，u(t)為控制輸入.
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圖2 陀螺儀系統混沌吸引子
(3)
本文假設系統輸出滿足如下的形式：
y(t)=Cx(t)+Dd(t)
(4)
其中C和D為適當維數的矩陣.
本文的主要目的是設計適當的滑模H∞控制器, 使得陀螺儀混沌系統(3)的狀態向量滿足如下條件：
(i) 在0初值的條件下，在滑模面上，閉環系統為漸近穩定的.存在大于零的常數r滿足如下的H∞控制條件：
‖y(t)‖≤r‖d(t)‖
(5)
(ii) 設計合適的控制器，使系統狀態向量在有限時間內到達滑模面，并在此時間以后停留在滑模面上.
為了完成控制目標和便于控制器的設計，我們給出如下假設：
假設1H∞性質參數r滿足
DTD≤r2I.
(6)
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(7)
注需要指出的是假設1和2是合理的.對于假設1，本文要求未知矩陣D滿足條件DTD≤r2I.事實上，很多未知的外界不確定項都滿足此條件.常用的函數如sin(x(t))，cos(x(t))等都滿足此條件.對于陀螺儀的系統模型是在理想情況下得到，對其實際工作狀態我們增加考慮系統不確定項，這也是為了說明本文控制方法有較好的魯棒性.對于假設2，我們假設外界擾動的能力是逐步衰減的，這是符合實際情況的.這個條件也是H∞控制實施的必要條件.
2 控制器的設計及穩定性分析
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(8)
其中G∈R1×2為常數矩陣且GB非奇異;K∈R1×2為滿足一定條件的待選矩陣.于是可得系統等效控制器為
ueq=Kx-(GB)-1G[f(x)+d(t)]
(9)
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(10)
其中F=[I-B(GB)-1G].
于是可以給出本文的主要結果.
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(11)
其中
∧=PA+ATP+PBK+KTBTP
(12)
則滑模面動態方程(10)為漸近穩定的.
證明由于d(t)=0, (10)式可以改寫為
(13)
定義Lyapunov函數為
V1=xTPx.
(14)
于是
(15)
注意到如果選取μ足夠大，可以使
μ2xTx≥fT(x)f(x).
(16)
進一步，有
(17)
其中α=[xT，fT(x)]T.
定理2 在滿足假設1和2的條件下, 對給定的r,μ>0, 如果存在一正定矩陣P和一實矩陣K滿足
(18)
則可以保證控制系統的H∞性能.
證明設Lyapunov函數為(14).在考慮外界擾動的情況下有
(19)
定義β(t)=[xT，fT(x)，dT(t)]T, (19) 可以改寫為
(20)
其中
再根據(18)可知
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注根據Schur補定理, (11) 和 (18)可以寫為
(23)
根據上面的討論，我們可以構造如下的控制器：
(24)
其中
η(x)=μ‖GF‖‖x‖+‖GF‖‖d(t)‖+δ
(25)
這里δ>0為設計參數.
定理3 在滿足假設1和2的條件下, 如果滑模面設計為(8),K為LMI(23)的解, 控制器設計為(24) 和(25), 于是可以保證滑模面s(t)=0的可達性.
證明定義Lyapunov函數為
(26)
根據(8), (10), (24) 和(25)有
(27)
于是有
(28)
根據(28) 可知s(t)=0為可達的.證畢.
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[-0.5474，0.1673，2.1456]T.外界擾動為
(29)
仿真結果見圖3-5.從仿真結果看，被控對象x1和x2兩個狀態向量趨向原點，控制效果較好，得到了系統的H∞性能.
圖3 控制輸入
圖4 狀態向量x1控制效果
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