二階常微分方程邊值問題Green函數的研究

劉 慧

(南京財經大學 應用數學學院,江蘇 南京 210023)

常微分方程邊值問題是微分方程理論研究中的一個基本問題,其中利用Green函數是研究討論邊值問題的一種重要方法.我們可以利用Green函數將微分方程轉化成積分方程,從而應用非線性泛函分析中的不動點定理研究積分方程解的存在性.

本文所求二階常微分方程邊值問題的一般形式為

則邊值問題(1)、(2)的解為

(3)

其中G(t,s)則為邊值問題(1)、(2)的Green函數.

盡管孫經先給出了Sturm-Liouville兩點邊值問題的Green函數表達式[1],沈以淡給出了定解問題的常微分方程的Green函數表達式[2],葛渭高給出了非共振條件下邊值問題的Green函數表達式[3].但是在許多證明積分方程的解的存在性的文獻中并沒有給出Green函數的具體算法[4-5].

本文主要研究形如二階常微分方程(1)在不同邊值條件下的Green函數.本文首先研究常微分方程(1)在兩點周期邊值下的Green函數，主要利用Green函數的性質來求得,可是隨著邊值條件的增加，利用性質來計算Green函數往往會比較復雜,所以本文在第二部分又研究了常微分方程在多點邊值條件下的Green函數的求法,最后給出求Green函數具體實例.

1 二階常微分方程周期邊值問題的Green函數

在本節中我們主要利用性質來給出求Green函數的一般方法.

考慮非線性二階常微分方程

un(t)+λu(t)=f(t,u(t)).λ>0,t∈[a,b]

(4)

在周期邊值條件

u(a)=u(b),u＇(a)=u＇(b)

(5)

下的Green函數.

定理1 若u(t)∈C2[a,b]是二階常微分方程邊值問題(4)、(5)的解，則

(6)

是邊值問題(4)、(5)的Green函數.

證明定理之前先給出Green函數的四條性質[3]：

(i)在a≤t≤b上，G(t,s)本身連續；

(ii)G(t,s)關于t的一階導數以t=s為第一類間斷點且躍度為-1,

(iii)作為t的函數G(t,s)在[a,s)及(s,b)]上是(1)的解；

(iv)滿足邊值條件(2).

下面我們將根據Green函數的性質來證明該定理.

應該滿足邊值條件(5)，則有

根據性質(i)，可設Green函數的形式如下

(7)

其中α1,α2,β1,β2,為s的待定系數.

設

χk(s)=βk(s)-αk(s),k=1,2

可得到關于χk(s)的線性方程組

即

解得

將α1,α2,β1,β2帶入(7)式，整理可得(6).

以上證明過程同時給出了兩點周期邊值問題Green函數的構造方法.

2 二階常微分方程多點邊值問題的Green函數

隨著邊值條件的增加，上述方法求Green函數則會比較復雜，本節討論多點邊值問題的Green函數的求法.

定義算子

L：C2[a,b]→C[a,b]

滿足

Lu=un+λ1u'+λ2u

(8)

其中λ1,λ2∈C[a,b].U:C[a,b]→Rn.

再定義算子

U:C[a,b]→Rn

滿足

(9)

其中ak,(k=0,1,…,m-1)滿足

a=a0≤a1≤…≤am-1=b

顯然L,U是線性算子.

考慮二階常微分多點邊值問題(8)、(9)在非共振情況下的解.這里我們記

其中u1,u2是u"+λ1u'+λ2u=0的基礎解系.

則當detQ(u)≠0,我們稱(8)、(9)為非共振邊值問題.

定理2 當非線性邊值問題(8)、(9)為非共振情況,即detQ(u)≠0,存在唯一的Green函數G(t,s)使(8)、(9)的解為

其中

(10)

證明當detQ(u)≠0設方程Lu=0的基礎解系為u1(t),u2(t),記W(t)為Wronsky行列式，顯然W(t)≠0,t∈[a,b].有

記

(11)

由常數變易法知方程(8)的一個通解為

帶入邊值條件(9)中有

即

易知上述G(t,s)滿足Green函數的四條性質，換句話說Green函數也可以定義為滿足性質(i)-(iv)的函數.[2]

以上證明過程給出了非共振情況下邊值問題的的Green函數的構造方法.

3 求Green函數的實例

例1 求：

的Green函數.

應該滿足邊值條件(13)，則有

根據性質(i)，可設Green函數的形式如下

(14)

其中α1,α2,β1,β2為s的待定系數.

設

χk(s)=βk(s)-χk(s),k=1,2

可得到關于χk(s)的線性方程組

即

解得

將α1,α2,β1,β2帶入(14)式，整理可得BVP(12)、(13)的Green函數為：

例2 求：

的Green函數，其中η∈(0，1)，0<βη<1.

證明這里Lu=u",U1(u)=u(0),U2(u)=u(1)-βu(η)

則Lu=0有基礎解系

1,t

且相應的Wronsky行列式為

及

則

故

則 BVP(15)、(16)為非共振的,存在唯一Green函數.

下面分區間討論其Green函數:

①當0≤t≤η時，

(i)0≤s≤t≤η,

(ii)0≤t≤s≤η,

(iii)0≤t≤η≤s≤1,

②當η≤t≤1時.

(i)0≤s≤η≤t≤1,

(ii)η≤s≤t≤1,

(iii)0≤η≤t≤s≤1,

故BVP(15)、(16)對應的Green函數為

4 總結

(1)在計算Green函數時不管是齊次方程還是非齊次方程，我們只需要考慮求齊次部分的基礎解即可.

(2)Green函數的給定和非齊次項t(t)在等式中的位置有關，如果f(t)在等式左方，所求Green函數和我們在本文中所求的Green函數相差一個“-”號.

[參考文獻]

[1]孫經先.非線性泛函分析及其應用[M].北京:科學出版社,2008.

[2]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京:科學出版社,2007.

[3]沈以淡.積分方程(第三版)[M].北京:清華大學出版社,2012.

[4]姚慶六.一類奇異二階邊值問題的正周期解[J].數學學報,2007(6)：1357-1364.

[5]Sun Jingxian,Liu Yansheng. Multiple Positive Solutions of Singular Third-order Periodic Boundary Value Problem[J].Acta Mathematica Scientia,2005(1):81-88.