陳偉堅
一、背景呈現
2015年6月7日下午,在湖北省高考文科數學卷上,考題第20題是以鱉臑這一幾何體為背景的立體幾何問題命題??碱}中出現了“鱉臑(biēnào)”“陽馬”兩個名詞,涉及到了《九章算術·商功》里的知識。
二、陽馬、鱉臑
1.何為“陽馬、鱉臑”
《九章算術·商功》:“陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也”,今稱為劉徽原理。劉徽注《九章算術》關于體積問題的論述已經接觸到現代體積理論的核心問題,指出四面體體積的解決是多面體體積理論的關鍵,而用有限分割和棋驗法無法解決其體積。為了解決這個問題,他提出了一個重要原理:斜解壍堵,其一為陽馬,一為鱉臑。
2.陽馬、鱉臑的幾何教學闡釋
陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂,取一長方體,按下圖斜割一分為二,得兩個一模一樣的三棱柱,稱為塹堵。
再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開,得四棱錐和三棱錐各一個。以矩形為底,另有一棱與底面垂直的四棱錐,稱為陽馬。余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體,稱為鱉臑。
三、教材溯源,基于鱉臑的模型
人民教育出版社《普通高中課程標準實驗教科書數學必修2》中《第二章點、線、面之間的位置關系》的2.3.2“平面與平面垂直的判定”里,教材在例題3中就給出了以鱉臑為載體的幾何命題的證明問題(第69頁):
如圖3,AB為⊙O的直徑,⊙O所在平面為α,PA⊥α于A,C為⊙O上異于A,B的一點。
求證:平面PAC⊥平面PBC。
緊接著為讓同學們更進一步認識這一特殊幾何體,
教材又借助一個探究,給同學們介紹了鱉臑幾何體,并提出探究思考:
如圖4,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你發現哪些平面互相垂直?為什么?仔細觀察,我們可以從圖4中發現并證明以下現象:
1.平面ABC⊥平面BCD
2.平面ABD⊥平面BCD
3.平面ABC⊥平面ACD
4.平面ABD⊥平面ACD
該探究借助于鱉臑這一幾何體中豐富的垂直關系,讓學生熟悉垂直中的判定定理以及性質定理的應用。
接著在教材73頁習題2.3A組第3題就設計了一道有關鱉臑的習題:
如圖5,在三棱錐V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,試判斷平面VBA與平面VBC的位置關系,并說明理由。
由前面可知,實際上三棱錐V-ABC就是一個鱉臑,△VBC,△ABC都是直角三角形,所以BC⊥平面VBA。故平面VBA與平面VBC
教材這樣的編排,遵循了學生的認知規律,有利于學生對知識理解、掌握、運用。
鱉臑幾何體覆蓋了立體幾何中點、線、面的各種位置關系,以及各種空間角的計算,又突出了“垂直”這個橫貫立體幾何知識的“紅線”,因此,鱉臑幾何體是探求空間中線線、線面、面面垂直關系的十分重要的基本圖形,也是研究棱錐、棱臺的基本模型。
在教材中注重挖掘各種信息,并加以提高運用也是高考備考重要一個環節。我們要吃透教材,尤其是對有關中華優秀傳統文化的知識,讓學生真切體會中華民族的偉大,中華文化的偉大。
責任編輯李少杰