也談不等式p或不等式q恒成立問題*

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(楚水實驗學校高中部，江蘇 興化 225700)

不等式p或不等式q恒成立問題一直是高中數學學習的難點.“不等式p或不等式q恒成立”為什么不等價于“不等式p恒成立或不等式q恒成立”；如何求解“不等式p或不等式q恒成立問題”中的參數范圍？文獻[1-4]中幾位教師進行了研究，筆者收獲頗多，同時有意猶未盡之感.能否把這個問題論述得更清晰些，同時給出解決這類問題的一般方法？筆者從數形結合角度進行了嘗試.

1 引例呈現

例1[1]已知a3x-1對x∈[0,2]恒成立，求實數a的取值范圍.

2 典型錯解

錯解已知a3x-1對x∈[0,2]恒成立，等價于a3x-1對x∈[0,2]恒成立，即

a<(x+1)min或a>(3x-1)max，

從而

a<1或a>5.

3 圖形釋疑

顯然由a3x-1對x∈[0,2]恒成立，得a3x-1對x∈[0,2]恒成立，即由a<1或a>5，得a3x-1對x∈[0,2]恒成立.故以下只需研究a∈[1,5]的情形.

作直線y=a與線段y=x+1(其中x∈[0,2]),y=3x-1(其中x∈[0,2]).

1)當13x-1，因此當x∈[0,xB)∪(xA,2]時，a3x-1.又[0,2]?[0,xB)∪(xA,2]，于是a3x-1對x∈[0,2]恒成立.

圖1 圖2 圖3

2)當23x-1，因此當x∈[0,xB)∪(xA,2]時，a3x-1.但當x∈[xB,xA]時，a≥x+1且a≤3x-1，又[0,2]=[0,xB)∪(xA,2]∪[xB,xA]，于是a3x-1對x∈[0,2]不恒成立.

3)當33x-1，但當x∈[xB,2]時，a≥x+1且a≤3x-1.又[0,2]=[0,xB)∪[xB,2]，于是a3x-1對x∈[0,2]不恒成立.

4)當a=1時，顯然可得a3x-1對x∈[0,2]恒成立(如圖1).

5)當a=2,3,5時，顯然可得a3x-1對x∈[0,2]不恒成立(如圖2、圖3).

因此，引例的解應為a<2或a>5.

4 小結提煉

至此，我們發現：

1)“不等式p或不等式q恒成立”一般不等價于“不等式p恒成立或不等式q恒成立”.

2)由于圖像的直觀易懂，數形結合應該是首選辦法.

3)把剛才的解答過程一般化，可以提煉出解決這類問題的通法：在形如“a為參數，不等式p或不等式q對x∈D恒成立，求實數a的取值范圍”的一般題型中，取定某個參數a，從圖像上觀察得出不等式p的解集E、不等式q的解集F.若D?E∪F，則a符合題意；若DE∪F，則a不符合題意.

5 實戰檢驗

由于引例的問題背景為直線，因此直線型不再舉例贅述.為了體現方法的有效性，以下就曲線型、離散型作檢驗.

解原式整理得

圖4

圖5 圖6

6 一點說明

文中幾個例題均通過分離變量轉化為簡單的函數圖像與直線的位置關系進行處理.筆者查閱了相關資料，刊載的“不等式p或不等式q恒成立問題”都可以這樣處理.對于不能分離變量的該類問題，公開刊物上目前還沒有出現.筆者自編了幾個這樣的例題，發現要么很簡單，要么太難,但處理策略均可歸結為通法，即從圖像上得出E,F，然后判斷D與E∪F的關系.限于篇幅，不作一一演練.