從一道幾何題的教學設計看探究式學習

屠長娥

摘要：探究式學習是學生了解和認識這個世界的重要途徑，是學生主動去發現問題，并通過動手實踐操作，研究問題最終達到解決問題。本文主要從一道具體的數學探究題的教學設計討論如何在初中數學教學中引導學生自主進行探究式學習。

關鍵詞：新課標；探究式學習；案例分析；K字模型

探究式學習是指在教學中創設類似于學術研究的情境，學生通過動手做、做中學主動發現問題，實驗、操作、調查、收集與處理信息、表達與交流等探索活動，獲得知識、培養能力、發展情感與態度，特別是發展探究精神與創新能力。這種學習方式是通過親身探究獲得的知識是學生自己主動建構起來的，是學生真正理解、真正相信的、真正屬于學生自己的。而新課標倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手。這與探究式學習的意義不謀而合。那么，下面從一到具體的探究式數學題的教學設計討論在初中數學教學中如何引導學生進行探究式學習。

一、問題情境，揭示探究目的

在 中， 點D為直線BC上一點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF連CF接試問：（1）BC與CF的位置關系；（2）BC，CD，CF之間的數量關系。

在教學實施的過程中并未向學生提供圖形。所以，在學生剛接觸這道題時會覺得難以下手。那么如何激發他們的求知欲，做到主動發現，自己探究呢？為此，借助了幾何畫板這一數學工具，通過變換點D的不同位置，在運動過程中度量 的數值，發現BC與CF位置關系是： ，如圖1，當點D在線段BC上時，有BC=CD+CF；如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，DC=BC+CF；如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，CF=BC+DC.結論是通過幾何畫板探究出來了，那么如何證明呢？

圖1 圖2 圖3

動手操作，深入研究

1.引導學生正確分類

（1）通過幾何畫板的演示，你認為點D的位置可能有幾種情況？

生答：三種，在點B、C之間，在點B的左邊，在點C的后邊。

希爾伯特曾說：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用?！庇纱嗽谏险n時可以從特殊到一般設置問題進行引導。

（2）這三種情況中有沒有位置比較特殊的，你能畫出這種情況

并直接出結論嗎？

生答：當點D是線段BC的中點時。

2.特殊位置，觀察思考

如右圖，易知 .所以 .

3.由特殊到一般，證明結論

剛剛的點D在特殊位置時，我們是通過證明 得到結論的，那么這種方式能不能應用在其他位置上證明呢？你能把其他情況也動手畫一畫嗎？

三、小組合作，交流討論

1.以三人為一組（意圖：每個人負責點D的一個位置，讓每位學生都參與探究活動），進行組內討論，交流與表達自己的看法；

2.各組推薦一個代表匯報討論情況，交流證明方法；

3.學生得到點D的不同位置時，BC與CF的位置關系以及BC，CD，CF之間的數量關系的完整證明過程。

四、歸納總結，提煉方法

1.在這個問題探究過程中，我們是如何入手的？怎么采取分類情況的？

生：先是利用幾何畫板動手操作，根據點D運動時的不同位置進行分類。由此可以發現當幾何題中涉及到動點問題時要進行分類討論。

2.在證明過程中，我們運用到什么方法？想到這種證明方法的關鍵點是什么？

生：證明三角形全等，關鍵是題目中給出的等腰三角形有腰相等，以及直角就會有兩角互余。

3.根據本道題，你能歸納出什么樣的方法？

生：由等腰三角形或者直角三角形可以構造三角形全等或者相似解決一些線段之間的關系。

五、數學思考

1.如圖4，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE。若已知 ， ，求出GE的長。

師：這是上面的拓展延伸，你能利用歸納的方法（三角形全等）來解決這一問題嗎？

圖4 圖5

展示學生解決成果：如圖5，過點A作 于點H，過點E作 于點M， 于點N. 由上面的結論，可得 又 ， 是矩形，

又 是正方形， 又

又 .

2.總結提煉：這道題中不僅僅用到了前面已經證明的結論，而且利用等腰直角三角形構造出的兩個三角形全等的證明方法，這種圖形被抽象成一種數學模型?——K字模型.數學新課標要求學生要學會從復雜圖形中抽象出基本圖形，并且能理清基本圖形中的基本元素與其關系，利用直觀來思考。而上面抽象出來的K字模型就是其中一種基本圖形。具體如下：如圖， 于點B， 于點D，點P是BD上的一點，且 .在此圖形中，易證： .當AP與PC不相等時，可以得到 .

拓展延伸

1.如圖6所示，在直角 中， ，20B=30A，點A在反比例函數 的圖像上，若點B在反比例函數 的圖像上，則K的值為 . （2017年吳中區初二數學期末考試題）

圖6 圖7

解析：在這道題中明顯存在一個直角三角形，那么不妨嘗試用K字模型。如圖7，分別過點A、B作X軸的垂線，交X軸于點C、D.則 ，相似比為 ，則 即 ，又因為 ，所以 .

2.如圖，二次函數 的圖像分別與X軸交于點A、B兩點，與Y軸交于點C，頂點D的橫坐標為1.

求二次函數解析式，A、B的坐標；

若點 是Y軸上一點， ，將點Q繞點P順時針旋轉 ，得到點E，當點E恰好在該二次函數圖像上時，求t得值；（2017年江都區一模）

解析：（1）根據頂點D的橫坐標為1，可得 從而二次函數解析式為

（2）如圖，過點p作x軸的平行線GH，過點E作 ，垂足記為H，過點Q作 ，垂足記為G。由K字模型可知 .則 ，又因為P（0，t），Q（-5，0），所以 代入二次函數解析式得 ，解得 （舍）。

從上面的一道 字模型幾何題的教學設計，可以看到在設計探究式學習課程時。首先，設置問題情境，明確探究的目標。問題情境是讓學生發現問題，積極探求的心理取向，是為之后的學生學習過程服務的，是學生思維發展的奠基石。需要注意設置問題情境時不能流于形式主義，只為了吸引學生眼球，這樣不僅不能取得良好教學效果，也會讓學生呢過感覺數學的華而不實。然后，向學生拋出問題。教師所提的問題應該是基于探究目標和幾何直觀，由淺入深，層層遞進，讓學生有思考問題、回答問題的興趣，從而達到引導學生分析問題的目的。其次，引導學生動手操作。教育家陶行知提出“在做中學”的教育思想，國家科學教育改革項目?—HIBL把“做中學”定義為基于動腦、動手的科學探究，讓學生在動手做學習中建構自己的科學概念和認知模型。因此，在教學活動中應該加強學生的操作和動手活動，以此激發學生的思維，加深對知識的理解和記憶。再次，組織學生合作交流，表達。英國教育家哈里麥多克斯在《學習方略》中提出“小組合作交流對于那些學習速度較慢的人來說具有‘加快作用”。在合作交流的過程中，學生的思維是開放的，可以吸收不同的思路，并且通過交流使片面的個人結論和思路變得豐富起來，也使學生對知識的理解逐漸完善，最終求知目的。最后，讓學生歸納小結。在一節課結束時引導學生對所學知識從知識點和方法讓進行歸納與反思，這樣可以培養學生的概括能力，同時把所學的知識與方法更加系統化地理解記憶，把所學的方法應用到此類問題上以拓展學生思維。

總之，在教學過程中開展探究式學習方式，可以使學生充分發揮主體作用。學生在探究時利用已有的知識經驗，通過參與課堂活動，與他人合作交流，經歷挫折與失敗，成功與興奮，獲得自信感，也同時認識到自己的不足，也能激發學生自主探究，成為新知的發現者，體會理解科學的本質與精神?！笆谌艘贼~不如授人以漁”，教會學生知識，不如教會學生探究知識的方法，這就是探究式學習方式的本質。

參考文獻：

[1]任長松《新課標學習方法的變革》，人民教育出版社.

[2]焦建林《初中數學探究式教學研究》，理科考試研究（數學版），2015.