正合零因子下模的GC-同調維數

郭壽桃, 王占平

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

若(0:Ra)?R/(a), 則稱a∈m是一個正合零因子[11]. 文獻[11]研究了當m4=0時有限生成R-模M的極小自由分解, 此時存在一個正合零因子, 給出了R是Gorenstein環 ?R/(a)是Gorenstein環; 對于正合零因子a, Bergh等[12]證明了環R/(aR)上的同調(上同調)消失可以推出環R上的同調(上同調)不消失, 這與a是正則元的情形相反; Amanzadeh等[13]證明了若x是R和C上的正合零因子, 則R/(xR)∈GC,AC, 并討論了若x是R和R-模M上的正合零因子, 則在一定條件下,M/(xM)∈GC,BC,AC, 其中GC表示GC-投射模類, AC(BC)表示相對于半對偶化模C的Auslander(Bass)類. 受上述工作啟發, 本文考慮若x是R和C上的正合零因子,M是GC-投射(GC-內射,GC-平坦,DC-投射)R-模, 則M/(xM)是否是GC/(xC)-投射(GC/(xC)-內射,GC/(xC)-平坦,DC/(xC)-投射)R/(xR)-模及相應維數之間的關系.

1 預備知識

定義1[11]設R是交換Noether環. 若R≠(0:Rx)?R/(xR)≠0, 則稱x∈R是一個正合零因子. 若存在y∈R, 使得(0:Rx)=yR, (0:Ry)=xR, 則稱x,y是R上的一對正合零因子.

例1[12]設k是一個域,S=k[V,X,Y,Z]/I, 其中I=〈V2,Z2,XY,VX+XZ,VY+YZ,VX+Y2,VY-X2〉, 集合v=V+I. 則v是S上的一個正合零因子, 且(v,v)是一對正合零因子.

定義2[14]設R是交換Noether環,M是R-模. 若M≠xM,x?(0:RM)且存在y∈R, 使得(0:Mx)=yM, (0:My)=xM, 則稱x∈R是M上的正合零因子. 此時, 稱x,y是M上的一對正合零因子.

定義3[7]若下列條件成立:

1) 存在R-模的正合序列P=…→P1→P0→C→0, 其中每個Pi是有限生成的投射R-模,i≥0;

2) 自然同位映射R→HomR(C,C)是同構;

則稱R-模C是半對偶化模.

定義4[15]設C是半對偶化R-模, 則PC(R)={M|M?C?RP, 其中P是投射R-模}, FC(R)={M|M?C?RF, 其中F是平坦R-模}和IC(R)={M|M?HomR(C,I), 其中I是內射R-模}分別稱為C-投射模、C-平坦模和C-內射模. 特別地, 當C=R時, 上述定義的模即為投射模、 平坦模和內射模.

R-模M的PC-投射維數定義為PC-pdR(M)=inf{n|存在R-模的正合序列0→Pn→…→P0→M→0, 其中每個Pi是C-投射模, 0≤i≤n}. 類似地, 可定義R-模M的FC-平坦維數. 對偶地,R-模M的IC-內射維數定義為IC-idR(M)=inf{n|存在R-模的正合序列0→M→I0→…→In→0, 其中每個Ii是C-內射模, 0≤i≤n}.

定義5[8]若存在下列形式的正合序列:

P=…→P1→P0→C?RP0→C?RP1→…,

其中任意Pi和Pi是投射R-模,i≥0, 使得M?Coker(P1→P0), 且對任意投射R-模Q, 復形HomR(P,C?RQ)都是正合的, 則稱R-模M是GC-投射模. 對任意的正整數n, 若存在R-模的正合序列0→Gn→Gn-1→…→G0→M→0, 其中每個Gi是GC-投射模(0≤i≤n), 則稱M的GC-投射維數不超過n. 若上述正合序列不存在, 則GC-pdR(M)=∞.

對偶地, 可定義GC-內射模及其維數.

定義6[8]若存在下列形式的正合序列:

F=…→F1→F0→C?RF0→C?RF1→…,

其中任意Fi和Fi是平坦R-模,i≥0, 使得N?Coker(F1→F0), 且對任意內射R-模I, 復形F?RHomR(C,I)都是正合的, 則稱R-模N是GC-平坦模. 對任意的正整數n, 若存在R-模的正合序列

0→Gn→Gn-1→…→G0→N→0,

其中每個Gi是GC-平坦模(0≤i≤n), 則稱N的GC-平坦維數不超過n. 若上述正合序列不存在, 則GC-fdR(N)=∞.

當C=R時, 上述定義中的GC-投射(內射, 平坦)模是Gorenstein投射(內射, 平坦)模.

作為Gorenstein投射模和Gorenstein內射模的兩種特殊情形, 文獻[16-17]引入并研究了強Gorenstein平坦模和GorensteinFP-內射模, Gillespie[18]將其分別稱為Ding投射模和Ding內射模; Zhang等[19]在此基礎上將其推廣, 得到了相對于半對偶化模C的Ding投射模和Ding內射模, 即DC-投射模和DC-內射模.

定義7[19]若存在下列形式的正合序列:

P=…→P1→P0→C?RP0→C?RP1→…,

其中任意Pi和Pi是投射R-模(i≥0), 使得X?Coker(P1→P0), 且對任意平坦R-模Q, 復形HomR(P,C?RQ)都是正合的, 則稱R-模X是DC-投射模. 對任意的正整數n, 若存在R-模的正合序列

0→Dn→Dn-1→…→D0→X→0,

其中每個Di是DC-投射模(0≤i≤n), 則稱X的DC-投射維數不超過n. 若上述正合序列不存在, 則DC-pdR(X)=∞.

對偶地, 可定義DC-內射模及其維數的概念. 由上述定義可知, 每個DC-投射(內射)模都是GC-投射(內射)模. 當C=R時, 上述定義中的DC-投射(內射)模是Ding投射(內射)模. 在Noether環上,DC-內射模與GC-內射模一致.

本文中的環R是具有單位元的交換Noether環, 模均指酉模. 用GCP(R)(GCI(R),GCF(R),DCP(R))表示所有的GC-投射(GC-內射,GC-平坦,DC-投射)R-模構成的類, 相應的維數分別用GC-pdR(-)(GC-idR(-),GC-fdR(-),DC-pdR(-))表示.

Christensen[20]研究了正則元下的GC,BC,AC; Amanzadeh等[13]研究了正合零因子下的GC,BC,AC. 本文考慮正合零因子下的GC-投射(GC-內射,GC-平坦,DC-投射)模, 證明了若x是R和C上的正合零因子,M是GC-投射(GC-內射,GC-平坦,DC-投射)R-模, 則M/(xM)是GC/(xC)-投射(GC/(xC)-內射,GC/(xC)-平坦,DC/(xC)-投射)R/(xR)-模. 進而得到了有關維數的結論.

2 主要結果

引理1[14]設x,y是R上的一對正合零因子. 若M≠xM,x?(0:RM), 則x,y是任意內射、 投射或平坦R-模M上的一對正合零因子.

引理2[13]設B是有限R-模, 假設x,y是R和B上的一對正合零因子. 則下列敘述等價:

1)B是半對偶化R-模; 2)B/(xB)和B/(yB)分別是半對偶化R/(xR)-模和R/(yR)-模.

M/(xM)∈PC/(xC)(R/(xR))(IC/(xC)(R/(xR)), FC/(xC)(R/(xR))).

命題1設x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈GCP(R), 則M/(xM)∈GC/(xC)P(R/(xR)).

證明: 因為M∈GCP(R), 故存在下列形式的正合序列:

P=…→P1→P0→C?RP0→C?RP1→…,

其中任意Pi和Pi是投射R-模(i≥0), 使得M?Coker(P1→P0), 且對任意投射R-模Q, 復形HomR(P,C?RQ)是正合的. 又R/(xR)是平坦R-模, 用R/(xR)?R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

P/(xP)=…→P1/(xP1)→P0/(xP0)→C/(xC)?RP0→C/(xC)?RP1…,

(1)

對任意投射R-模P, 若P≠xP,x?(0:RP), 則由引理1知,x是P上的正合零因子. 對任意的R/(xR)-模N, 由注2得

若P=xP, 則P/(xP)=0. 若x∈(0:RP), 則P/(xP)=P. 因此P/(xP)∈P(R/(xR)). 再由引理3知,x是C?RP上的正合零因子, 且C/(xC)?RP∈PC/(xC)(R/(xR)). 因此序列(1)是由投射R/(xR)-模及C/(xC)-投射R/(xR)-模構成的正合序列, 且

HomR/(xR)(P/(xP),C/(xC)?R/(xR)Q)?HomR/(xR)(P/(xP),C?RQ)?HomR(P,C?RQ)

是正合的, 其中Q∈P(R/(xR)). 故

M/(xM)?Coker(P1/(xP1)→P0/(xP0))∈GC/(xC)P(R/(xR)).

類似命題1的證明可得下列結論:

命題2設x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈DCP(R), 則M/(xM)∈DC/(xC)P(R/(xR)).

命題3設x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈GCF(R), 則M/(xM)∈GC/(xC)F(R/(xR)).

與命題1對偶地, 可得下列結論:

命題4設x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈GCI(R), 則M/(xM)∈GC/(xC)I(R/(xR)).

證明: 因為M∈GCI(R), 故存在下列形式的正合序列:

I=…→HomR(C,I1)→HomR(C,I0)→I0→I1→…,

其中Ii和Ii是內射R-模(i≥0), 使得M?Ker(I0→I1), 且對任意的內射模E, 復形HomR(HomR(C,E),I)是正合的. 由引理3知,x是IC(R)上的正合零因子, 因此對任意內射R-模I, 有

R/(xR)?RHomR(C,I)?HomR(R/(xR),HomR(C,I))?HomR(C/(xC),I).

于是用R/(xR)?R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

I/(xI)=…→HomR(C/(xC),I1)→HomR(C/(xC),I0)→I0/(xI0)→I1/(xI1)….

(2)

對任意內射R-模I, 若I≠xI,x?(0:RI), 則由引理1知,x是I上的正合零因子. 對任意的R/(xR)-模N, 由注2得

若I=xI, 則I/(xI)=0. 若x∈(0:RI), 則I/(xI)=I. 因此I/(xI)∈I(R/(xR)). 再由引理3得HomR(C/(xC),I)∈IC/(xC)(R/(xR)). 從而序列(2)是由C/(xC)-內射及內射R/(xR)-模構成的正合序列, 且

是正合的, 其中E∈I(R/(xR)). 故

M/(xM)?Ker(I0/(xI0)→I1/(xI1))∈GC/(xC)I(R/(xR)).

下面討論正合零因子下模的GC-投射(GC-內射,GC-平坦,DC-投射)維數.

命題5設M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 則

GC/(xC)-pdR/(xR)(M/(xM))≤GC-pdR(M).

證明: 若GC-pdR(M)=∞, 則結論成立. 假設GC-pdR(M)=n<∞, 則存在R-模的正合序列

0→Gn→Gn-1→…→G0→M→0,

其中Gi是GC-投射R-模, 0≤i≤n. 用R/(xR)?R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

0→Gn/(xGn)→Gn-1/(xGn-1)→…→G0/(xG0)→M/(xM)→0.

由命題1知, 對0≤i≤n, 均有Gi/(xGi)∈GC/(xC)P(R/(xR)). 于是GC/(xC)-pdR/(xR)(M/(xM))≤n.

類似命題5的證明可得下列結論:

命題6設M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 則

DC/(xC)-pdR/(xR)(M/(xM))≤DC-pdR(M).

命題7設M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 則

GC/(xC)-fdR/(xR)(M/(xM))≤GC-fdR(M).

與命題5對偶地, 可得下列結論：

命題8設M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 則

GC/(xC)-idR/(xR)(M/(xM))≤GC-idR(M).

證明: 若GC-idR(M)=∞, 則結論成立. 假設GC-idR(M)=n<∞, 則存在R-模的正合序列

0→M→G0→…→Gn-1→Gn→0,

其中Gi是GC-內射R-模, 0≤i≤n. 用R/(xR)?R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

0→M/(xM)→G0/(xG0)→…→Gn-1/(xGn-1)→Gn/(xGn)→0.

由命題4知, 對0≤i≤n, 均有Gi/(xGi)∈GC/(xC)I(R/(xR)). 于是GC/(xC)-idR/(xR)(M/(xM))≤n.