“平行四邊形和梯形的認識”教學研究報告

一、問題

“平行四邊形和梯形的認識”是人教版數學教材四年級上冊的一節“形概念”課。在本內容教學前，學生已經學習了長方形、正方形的概念，初步認識了四邊形，能識別一些平行四邊形和梯形，在本單元中還認識了“平行”與“垂直”這兩個直線間的位置關系。這些知識為學習平行四邊形和梯形的概念積累了豐富的經驗，提供了必要的基礎。

1.教學中存在的問題

學生對平行四邊形的認識僅僅停留在模糊的表象上，并不知道概念的本質，更不會對圖形進行判斷、推理和論證。比如，學生認識圖1中①號圖形是菱形，但并不確定它也是一個平行四邊形，對于圖1中②號圖形這種兩腰往同一方向傾斜不同角度的梯形，學生很容易憑經驗認為是平行四邊形或者只是一般的四邊形。這說明學生的幾何思維水平處于直觀化階段，沒有從圖形的本質特征（概念）去認識圖形，且學生對傾斜角度的“量感”表現也參差不齊，故而常常做出錯誤的判斷。

2.對問題的分析及解決策略

平行概念是認識平行四邊形和梯形概念的基礎，學生對于判斷兩條直線是否平行已經有了基本的經驗，可當兩條直線變成四邊形中的四條線段時，學生很難從邊的位置關系的視角去判斷一個圖形是否為平行四邊形或梯形。即使是長方形和正方形，學生更多的是從直角和邊的長度兩個視角進行判斷。因此，借助平行線這個工具，或許能幫助學生突破這一認知的難點。

長方形、正方形、平行四邊形（菱形）、梯形等特殊四邊形概念散點分布在不同時段的教材中，導致學生對四邊形這一知識體系往往缺乏整體的認識。因此，學習了平行四邊形和梯形的概念之后，把新的概念納入到舊概念的系統中是學生數學思維發展的必要環節。

同時，我們發現，大部分學生對平面圖形的認識還是靜態的、固化的，讓靜態的圖形“動”起來，培養學生的結構化思維也是本課的一個發展點。當長方形的兩條長邊收縮變短到等于短邊時，長方形就變成正方形；當平行四邊形的一組對邊朝同一個方向旋轉至與另一組對邊垂直時，平行四邊形就變成長方形；當梯形的一條底邊收縮變短為0時，梯形就變成三角形；當梯形的一條腰旋轉至與另一條腰平行時，梯形就變成平行四邊形……這些變化非常有趣，借助電腦輕而易舉就能實現。

二、實踐

1.“開放導入”片段：在動態中聚焦概念

教師在黑板上畫了一組平行線，以這組平行線為參照畫了一些圖形（如圖2），問學生是不是都認識。

生1：這些圖形是長方形、正方形、平行四邊形、梯形……

生2：都是四邊形。

師：在四邊形里，我們已經研究過長方形和正方形，大家知道它們有些什么特點嗎？（學生回顧長方形、正方形的特點）今天我們繼續認識另外兩類四邊形———平行四邊形和梯形。

【設計意圖】把平面圖形置于一組平行線間，讓學生從邊的位置關系的視角聚焦平行四邊形和梯形。

2.“核心推進”片段一：在分類中生成概念

師：請同學們仔細觀察下面這些四邊形（如圖3），把它們按邊的位置關系分一分類。

生：可分成三類，第一類是①⑥⑦，第二類是③④⑤，第三類是②⑧。

師：（指著第一類圖形）這些圖形有什么特點？

生3：它們相對的兩條邊互相平行，都是平行四邊形。

師：我們就說有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（板書）那第二類圖形呢？

生4：這組圖形只有一組相對的邊互相平行，這些都是梯形。

師：我們就說只有一組對邊互相平行的四邊形是梯形。（板書）那第三類圖形呢？

生5：它們沒有互相平行的邊，就是一般的四邊形。

【設計意圖】在豐富表象的基礎上，學生按邊的位置關系對圖形進行分類，在經歷、體驗中逐步抽象、概括出平行四邊形和梯形的概念。

師：下列這些圖形（如圖4）中，判斷哪些是平行四邊形，哪些是梯形，并說說理由。

學生抓住邊的位置關系進行判斷，特別是⑦號圖形，兩腰雖然往同一方向傾斜，形似平行四邊形，但只有一組對邊互相平行，由此判斷是梯形。教師適時引導：對圖形作判斷時，不能光靠眼力，要抓住圖形的本質特征。

教師結合圖⑧⑨提問：“能不能說成是平行四邊形？為什么？那為什么又要叫做長方形和正方形？”學生在問題思考中體會平行四邊形和長方形、正方形的包含關系。

【設計意圖】學生對易錯圖形進行辨別歸類，經歷從一般到特殊的過程，加深對平行四邊形和梯形本質特征的認識。

3.“核心推進”片段二：在梳理中深化概念

師：我現在把所有的長方形集合到這個圈里，那么正方形在哪集合呢？為什么？

生：正方形在集合圈里面集合，因為正方形是特殊的長方形。

師：現在我想把四邊形家族全部集合到這個大圈（如圖5）中，那長方形、正方形、平行四邊形、梯形該集合在哪里呢？

學生獨立解決問題。教師收集學生的錯例進行討論，比如平行四邊形里包含了梯形的，平行四邊形里沒有包含長方形和正方形的。在對錯例的辨析中，學生溝通各圖形之間的關系，強化各圖形的本質特征。

師：大家給這些圖形都找到了位置，那②⑧這兩個一般四邊形的位置在哪呢？

生：在圖中其他空余部分。

【設計意圖】學生借助集合圖理清各圖形之間的關系，將所學的新概念納入到原有的認知結構中，培養類比能力。

師：數學書下藏著一個四邊形（如圖6），猜猜可能是什么圖形？

生：可能是長方形、正方形、平行四邊形、梯形。

師：一般四邊形也有可能吧？

生6：不可能，因為已經有一組對邊平行。

教師將書本移動成圖7所示的情形。

生：可能是長方形、平行四邊形、梯形。

師：你們為什么就排除了正方形？

生7：我看到長和寬不相等了。

教師將書本移動成圖8所示的情形。生：可能是平行四邊形和梯形。

師：怎么長方形也不猜了？

生8：我發現有一個角不是直角了。

教師將書本移動成圖9所示的情形。生：是梯形。

師：怎么現在這么肯定是梯形啦？

生9：只有一組對邊互相平行的四邊形是梯形。

師：這些四邊形既有聯系又有區別，抓住它們的本質特征就能快速做出準確判斷。

【設計意圖】學生經歷應用概念作判斷和推理的過程，加深對圖形本質特征的認識，建構正確、清晰、完整的數學概念。

4.“核心推進”片段三：在操作中溝通概念

師：在梯形上畫一筆，把它分成兩個圖形，使其中有一個是平行四邊形。試著畫一畫。

學生動手畫，教師呈現學生不同的畫法（如圖10所示）。

師：添這一筆要注意什么？

生：梯形中已經有一組對邊平行了，而平行四邊形是兩組對邊分別平行的，所以添這一筆的時候要創造另一組相互平行的邊。

【設計意圖】學生通過一筆改圖形，在動態變化中深化對平行四邊形和梯形概念的認識；對不同的添法進行“異中求同”的思辨，進一步明確兩個概念的本質區別。

師：請同學們打開word文檔，點擊“插入”“形狀”，畫一個“梯形”或“平行四邊形”，水平拖動控制符，看有什么發現。

生10：我畫了一個梯形，當我選定下底，向左右兩邊同時水平拖動控制符時，可以把梯形變成長方形；向右邊水平拖動控制符時，梯形的下底越來越小，最后變成0時，這個梯形就變成了三角形（如圖11所示）。

生11：我畫了一個平行四邊形，選定上面這條邊向左水平拖動控制符，兩條斜的邊漸漸與兩條水平的邊垂直，最后這個圖形也可以變成長方形（如圖12所示）。

【設計意圖】學生通過常用的工具感受圖形之間的變化，并從邊的長短和位置關系兩方面關注圖形的特點，同時感受事物間相互轉化的原理。

5.“開放延伸”片段：在回顧中總結方法

師：同學們，我們一起回顧今天我們是怎樣認識平行四邊形和梯形的。

生：先把四邊形分一分，找到同類圖形邊的特點，再給它們起名字，最后用集合圖理清它們之間的關系。

師：分一分→起名字→理關系，以后我們還可以用類似的方法去研究更多的圖形。

【設計意圖】引導學生梳理學習方法，由概念的獲得延伸到研究方法的習得，體現本節課更高層次的育人目標。

三、討論

1.怎樣讓學生觸摸本質，實現生活經驗向數學本質提升？

學生在生活中積累了大量的生活經驗，但這些經驗帶有一定的片面性。教師既要充分利用學生已有的感性經驗幫助學生加深對基本概念的理解，又要引導他們區分日常定義和科學概念的異同，實現從生活經驗向數學本質的提升。

在本課教學中，概念的形成分兩步：第一步，按邊的位置關系將四邊形進行分類，再聚類分析平行四邊形、梯形，在大小、形狀不同的圖形中找到它們的共同點，從而聚焦邊的位置關系形成概念。第二步，概念形成后，呈現圖形進行說理判斷，針對易錯梯形和特殊圖形（長方形、正方形）進行辨析，既幫助學生掌握梯形和平行四邊形的本質區別，又凸顯了兩個概念的本質，使學生的感性經驗提升到對數學本質的認識上。

2.怎樣幫助學生理清四邊形之間的關系？

數學教學中往往需要溝通知識間的聯系，幫助學生加深對概念的理解。在四邊形關系中，既有平行四邊形和梯形兩個概念之間的并列關系，又有平行四邊形和正方形、長方形三個概念之間的包含關系。為了幫助學生理清四邊形之間的關系，教師首先在判斷說理中明確長方形和正方形都是平行四邊形，再以正方形和長方形的特殊關系為鋪墊，引導學生發現平行四邊形和長方形、正方形之間的特殊關系，并且用集合圖表達。設計的“猜圖形”活動，學生從多種可能到排除某個圖形，再到確定圖形，在動態變化中加深了對圖形概念的理解。由于溝通了四邊形之間的聯系，學生順利地突破認知上的難點，建立了清晰的概念關系，從而建構完整的四邊形概念體系。

3.作為一節“形概念”課，能否挖掘更深層次的價值？

“圖形與幾何”領域對于小學生空間觀念的形成和發展具有重要作用。作為一節“形概念”課，在平行四邊形與梯形的認識之后，還有三角形的認識、圓的認識以及圓柱圓錐等立體圖形的認識，這節課能為后續的“形概念”課帶去什么？我們認為一節課最有價值的不在于承載了多少知識內容，而是教給學生一些探究方法，讓他們利用這樣的方法自主開展新的學習。于是，教師通過回顧研究的過程，幫助學生梳理出學習的方法結構：分一分→起名字→理關系，為他們后續遷移方法學習“形概念”奠定基礎。

4.小學階段空間與圖形領域的概念課該如何把握？

小學數學教材中編排的圖形概念，因學生的學段特點、理解能力以及概念本身的難易程度等不同而表現形式各有不同，主要以描述式和定義式為主。圖形概念的學習要遵循由表象到具體，由靜態到動態的過程。教材最先安排的是立體圖形的認識，這時的學生思維以直觀思維為主，概念也是描述式的。教學時，只要學生能認識相應的圖形即可，不需要嚴格表述。教師應調動學生的視覺、觸覺等多種感官參與。隨后認識的長方形和正方形是一類特殊的四邊形，在概念表述上仍然是描述式。但概念的生成要經歷從實際物體中抽象出幾何圖形的過程，還應輔以更多動手操作的過程（如量、折、畫等），讓學生從“邊”與“角”的角度入手，培養空間觀念。平行四邊形與梯形的概念是定義式，教學時便要緊扣概念的內涵生成概念、理解概念，同時又要在它們的外延中忽略圖形“長相”的差異。比如，一個平行四邊形看起來是長長的還是扁扁的，正著擺還是斜著擺，都是可以忽略的差異，我們只關心它的兩組對邊是否分別平行。前文中兩腰向同一個方向傾斜的梯形，盡管長得不像“梯子”狀，但只要它是“（有且）只有一組對邊平行的四邊形”，就是梯形?！颈疚南岛鲜〗逃龑W會“十三五”立項課題“基于核心素養的‘種子課程開發與應用研究”（編號：B-53）研究成果】

（執筆：何畝文、李慧玲、徐旺、李闖）