賦權分數布朗運動驅動的混合期權定價模型

杜姍姍,朱鳳鳴,李芹影,王 浩,周芷薇

（蚌埠學院理學院，安徽 蚌埠 233030）

一、引言

有關期權定價問題的研究，Black-Scholes[1]于1973年在假設資產收益服從幾何布朗運動的情形下，建立了歐式期權定價公式，二人也因此獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。在其后的四十年多年中，國內外的學者對其進行了深入的研究與推廣。實證分析表明資本市場具有長程記憶性，因此一些學者使用具有長程相依性的分數布朗運動替代布朗運動改進經典的Black-Scholes期權定價模型，如文獻[2]-[4]等。

作為分數布朗運動的擴張，Bojdecki等[5]首次建立并研究了一類更廣泛的不具有平穩增量但具有分數布朗運動一些主要性質的自相似高斯過程，它來自于具有泊松初始條件的分支粒子的占位時，稱為賦權分數布朗運動 (weighted fractional Brownian motion)。所謂賦權分數布朗運動是指協方差函數為

的中心化高斯過程，其中

a＞ -1,|b|＜ 1,|b|＜a+1。

當a＝0時，在相差一個常數倍數的意義下，賦權分數布朗運動退化為Hurs指數為的分數布朗運動。賦權分數布朗運動具有許多類似分數布朗運動的性質，如自相似性、軌道連續性、既不是馬爾科夫過程又不是半鞅。更多此隨機過程的知識請參考文獻[6]-[7]。Sun Yan[8]首次研究了賦權分數布朗運動驅動的歐式期權定價公式，在上述文獻的基礎上，本文我們研究賦權分數布朗運動驅動的混合期權定價賦權分數布朗運動環境下的混合交換期權定價問題。在標的資產服從幾何賦權分數布朗運動的情況下，利用保險精算的方法推導出了期權的定價公式。

本文的組織結構如下,第一部分給出了賦權分數布朗運動的定義及其驅動的期權定價公式模型；第二部分得出了混合交換期權定價公式；第三部分對本文進行總結。

二、賦權分數布朗運動驅動的期權定價模型

假設在金融市場存在著兩種資產,一種是債券,另外一種是股票。假設債券在t時刻的無風險利率為 r；股票在 t時刻的價格設 S（t），且股票價格過程（t）滿足

其中μ(t)表示期望收益率、σ(t)表示波動率和無風險利率表示賦權分數布朗運動。

現在考慮時間區間為[0,T2]，令{S(t):t≥0}表示完備概率空間(Ω,F,P)上的隨機過程{Ft:t≥0},表示S(t)生成的σ-代數,而S(0)＝S是大于零的常數。

定義1 令t∈[0,T]，價格過程S(t)的期望收益率μ定義為，債券的價格P(t)滿足方程d P（t）＝P(t)rdt，且 P(0)＝ 1,其中 r為 t時刻的瞬時利息率。

定義2 期權的保險精算定價等于股票到期日價格按期望收益率折現的現值與執行價(債券)按無風險利率折現的現值的差,在股票實際分布的概率測度下的數學期望值。

三、賦權分數布朗運動環境下的混合期權的保險精算定價

眾所周知，混合期權是以期權為標的資產的期權,主要有以下4種:①買權的買權；②買權的賣權；③賣權的買權；④賣權的賣權.本文主要介紹①買權的買權,其它幾種混合期權的公式讀者可以類似推導。

買權的買權就是以買權為標的的買權,其到期時現金流量為：

CCT1＝max[0,C(S(T1),T1)-K]，

其中標的買權的標的資產S(t)表示基本標的資產t時的價格,t∈[0,T]；記標的買權的執行價格為K；標的買權的到期時為T2；標的買權在時的價格為C(S(t),t)；混合買權的執行價格為K(即買權的買權執行價格)；T1為混合買權的到期時0＜T1＜T2，即混合買權的到期時在標的買權的到期時之前).

定義3 當期權被執行時,混合期權的保險精算價值CC(S,0)為：

假設股票的價格過程{S(t):t≥0}滿足方程(1),其中常數μ,σ分別表示股票價格的期望收益率和波動率,B a,b t 表示賦權分數布朗運動。

證明 由（1）式可知

定理1 假設{S(t):t≥0}滿足方程(1)且風險資產在有效期內無紅利支付,則

其中

證明 因為

其中

四、結論

本文利用保險精算的方程研究了賦權分數布朗運動符合的金融市場的交換期權定價問題，給出了期權定價公式。是對經典布朗運動及分數布朗運動驅動的金融模型的深入研究，為金融市場復合期權的定價提供了理論依據。未來我們將進一步研究賦權分數布朗運動驅動的亞式、美式等類型期權的定價問題。