基于理解和歸納的高中函數有效教學策略研究*—以函數解析式的求解為例

廣西省梧州高級中學(543002) 周勇 楊忠梅 楊春蘭

作為高中數學教師,根據自己有限的教學經驗可知,學生在學習函數過程中,存在的最大障礙就是全面而深刻地正確理解抽象的函數對應法則.理解函數y = f(x),首先需要將對應法則f 理解為一部數值變換器,將定義域A 中的任意一個元素數量值x0輸入到數值變換器f 中,通過對應法則f 的作用下(注：在同一個對應法則作用下每一個不同取值的自變量x 的變換原理始終相同),輸出的結果就是函數值y0等于f(x0),不同的對應法則就是不同的數值變換器,理解具體函數的重點就是要弄清具體對應法則的變換原理,或者從計算機程序語言的角度去看待對應法則,對應法則會對其括號內部的對象采取一視同仁的態度,對它們施加以相同的數值變換命令,故而代入法是求解函數解析式的最重要和最基本的常用方法,因此函數解析式求解的教學設計須以此為基礎.下面進行具體舉例說明.

方法1代入法

已知f(x)和g(x)的解析式,求解f[g(x)]和g[f(x)]的解析式常采用此方法,只要內層的g(x)和f(x)整體視為原來的x 代入f(x)和g(x)解析式即可,代入法是函數解析式求法的基礎,是后續方法的源泉,講解時一定要詳盡清楚.

例1已知函數f(x)=x+1,g(x)=x2+3x+2,求解f(1),g(a),f(x+1),f[g(x)],g[f(x)]的表達式.

設計要點本例是代入法的基礎題型,是幫助學生理解代入法原理的邏輯起點,主要向學生傳授對函數對應法則的簡單正確理解,使用了到整體代換的思想,對于多個對應法則,可采用反向剝包菜(即從內部通往外部一層層進行處理).

方法2待定系數法

如果已知曉確定函數的類型,即已知f(x)是什么樣的函數,然后假定設出此函數的一般形式,再利用待定系數法求出對應參數即可,求解過程中還是要注意理解使用代入法的原理(整體代換).

例2已知函數f(x)是二次函數,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x)的表達式.

設計要點由于已知函數形式特點,故只需求出相關的參數即可,其本質為代入法在具體形式函數中的應用.

方法3方程法

例3已知函數f(x)滿足f(-x)+2f(x) = x+3,求f(x)的表達式.

設計要點為便于理解可分別令x = t 和x = -t 得出關于f(t)和f(-t)的兩個方程,求得f(t)表達式,最后將t再重新轉化為x 即可,從中可以看出方程法本質其實就是使用代入法進行列方程組,再求解方程組而已.

方法4賦值法

對于抽象函數的問題可以采用此方法解決,對變量使用一般到特殊的變量賦值即可,即具體代入值.

例4若函數f(x)定義域為R 且滿足f(0)=1,對任意的x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,求f(x)的表達式;

設計要點再次通過具體實例強化對代入法的理解,注意此題的y 不能理解為y =f(x),而應理解為獨立變量.

由此, 學生已經對代入法已經有相當的認識和理解了,會產生認為代入法接近于是萬能解法的看法,適時來看一個代入法無法求解函數解析式的例子,講解過程中一定要注意對引導學生分析和理解實例中的解題思路.

例5已知函數f(x + 1) = x2+ 2x + 3, 求解函數y =f(x)的表達式.

對于上述函數f(x+1) = x2+ 2x +3, 我們在理解上存在的最大困難在于不知道對應法則f 這個數值變換器的運行原理, 例如對于函數g(x) = x2+ 2x + 3 和h(x+1) = (x+1)2+2(x+1)+3,我們可以分析出,兩個函數g(x)和h(x+1),它們的對應法則g 和h 這兩個數值變換器的運行原理是相同的,都是將小括號內部的被作用對象x 和x+1 先進行平方運算,再加上它的2 倍,最后再加上常數3,這三個部分數值的和就是最終的作用結果.在此分析過程中,我們若將這三個函數f(x+1) = x2+2x+3,g(x)=x2+2x+3,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 進行對比,可發現對應法則g 和h 這兩個數值變換器的運行原理能夠很容易得出的原因,在于它們的解析式在左右兩側的形式是統一的,即g(x)=x2+2x+3 中左右兩側都是使用x 表達式的形式,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 中左右兩側都是使用x+1 表達式的形式,所以相對于f(x+1)=x2+2x+3我們是較為容易分析出對應法則g 和h 這兩個數值變換器的運行原理.但對于f(x+1) = x2+2x+3,我們無法分析出對應法則f 這個數值變換器的運行原理,主要原因就在于它解析式在左右兩側的形式是分裂的,故只需要我們將其劃歸到統一狀態即可,方法有二種：第一種是遷就等式的左側,將等式右側統一為左側形式,即將x2+2x+3 配湊修改為x+1 的形式;第二種是遷就等式的右側,將等式左側統一為右側形式,即將對應法則內部的x+1 修改寫成單獨的x 形式,但x+1 不明顯等于x,考慮到函數的自變量可以使用不同的字母進行表示(為幫助學生理解,可向學生解釋說明概念理解要抓住物質內容大于形式,類比于雖在學校里使用的正式姓名和在家里家人使用的親切乳名但都表示同一個人),故可將對應法則內部的x+1 令其先等于t,將其進行換元,改變自變量的符號表示,最后換回x 即可達到最初求解解析式的目標,最后從解題結果上可以看到兩種方法殊途同歸.

方法5配湊法

此方法是整體代換思想的具體體現,即把括號里看成一個整體,把等式的右邊化成含有這個整體的表達式即可,該方法在很多情況下不及換元法方便快捷.

解析由f(x+1) = x2+2x+3 = (x+1)2+2,觀察等式左右兩側,使用整體代入可得f(x)=x2+2.

方法6換元法

此方法用于不宜配湊或很難配湊出的情況,可把括號里的式子改換成t,并將等式的右邊用t 形式表示出來,即求出f(t)的表達式,最后再把t 換成x 即可,在此過程中應注意t的取值范圍.

解析設t = x+1, 則x = t-1, 則等式f(x+1) =x2+ 2x + 3 兩側中的x 全部更換為t 可得f(t) =(t-1)2+2(t-1)+3=t2-2t+1+2t-2+3=t2+2,所以f(x)=x2+2.

設計要點將配湊法和換元法放在最后,是基于幫助學生全面而深刻理解函數對應法則,激發學生弄清運行原理.

至此,函數解析式的求解方法已經全部向學生介紹完畢,在整個教學設計中,以代入法的講解為主線,進行了有所側重的講解,并對代入法無法解決的最后一道例題進行了詳細分析和求法解釋說明,幫助學生正確理解了函數的對應法則這一數值變換器,樹立了認識具體函數的重難點在于徹底弄清對應法則的運行原理的規律意識,取得了良好的教學效果.