經歷探索發現，深度建構概念
——《因數與倍數》教材解讀及教學建議

○朱 宇

《因數與倍數》是人教版五年級下冊第二單元的教學內容，主要包括：因數和倍數，2、5、3的倍數的特征，質數和合數。本單元著重教學自然數之間的因數與倍數關系，求各個自然數的因數與倍數。這些知識能豐富學生對自然數的認識，為后續分數教學做準備。

一、教材變化點

1.通過刪減、調整，精簡概念。

新教材不再出現“整除”的概念，著重讓學生感知因數與倍數的內涵，領悟它們之間的相互依存關系。新教材還精簡了分解質因數、互質數等概念，安排在“你知道嗎”欄目進行介紹。另外，新教材對公因數、最大公因數和公倍數、最小公倍數等內容做了調整，后移到“分數的意義與性質”單元，作為約分、通分的知識基礎。這樣處理，既分散了學習難點，又突出了公因數、公倍數的應用價值。

2.優化思維材料，引導探究。

從“2、5的倍數特征”到“3的倍數特征”，再到“質數和合數”，都用百數表貫穿始終，有助于學生在整數特征的探究過程中更好地發現規律，理解概念。教材新增了研究兩數之和奇偶性的純數學問題，讓學生經歷用算式表征問題——舉例、說理、圖示——獲取結論——舉例驗證的過程，適度體現數學的抽象性。這樣編排，與數論知識本身具有的抽象性以及高年級適度培養抽象思維的要求相適應。

3.重視拓展延伸，積淀素養。

內容精簡之后，教材穿插編排了“你知道嗎”“生活中的數學”等欄目，安排較多的拓展性知識作為閱讀資料提供給學生。例如，介紹完全數的概念，奇數和偶數在日常生活中的應用等，以豐富學生的數論知識，激發探求的欲望，培養學生對學習數學持久而穩定的興趣。

二、年段銜接點

因數、倍數、質數、合數以及第四單元中的最大公因數、最小公倍數都屬于初等數論的基本內容。

在數論中，數的整除理論是最為基本的理論。學習本單元知識之前，學生對整數的認識和四則運算、對乘除法的互逆關系有了一定深度的理解，對倍的認識也比較深刻，這些都是本單元學習的基礎。但學生往往把因數和倍數割裂成孤立的運算，認為因數存在于整數、小數乘法運算中，倍數存在于整數、小數除法中，把“倍”和“倍數”混為一談。

從整個小學學段教材看，本冊教材第四單元《分數的意義與性質》是本單元內容的后續，包括最大公因數、最小公倍數、通分和約分。第六單元《分數的加法和減法》中異分母分數加減法也是本單元學習價值的體現。

三、教學難點與破解策略

1.難點之一：學生已有的關于“倍”的認知對“倍數”概念的干擾。

在實際教學中我們發現，學習倍數與因數時，學生往往聯想到二年級時就學過的“倍”的知識，并在頭腦中把這兩個相似的概念“等同”起來。

從數學意義上說，“倍”是指數量之間的關系，建立在乘法概念的基礎之上，在實際教學中，是從“個”和“份”逐步抽象出來的數學概念。例如甲繩長1.5米，乙繩長4.5米，如果把甲繩的長度看成1份，那么乙繩的長度就是3份，兩者的長度關系就可以說成“乙繩的長度是甲繩的3倍”。

“倍數”是指數與數之間的關系，它是建立在“數的整除”之上，與“因數”同時建立的概念。倍數和因數一樣，都必須是非零的自然數。而“倍”則不同，分數、小數都可以表示。

破解策略：

（1）在“式”中追問。因數和倍數是描述自然數之間關系的概念，客觀存在于兩個具體的自然數之間，因此可以從除法算式出發，引出因數和倍數概念。教學中要注重概念與算式之間的追問，有助于強化倍數、因數概念建立于“式”的感知。

（2）借“圖形”表征?？梢院筒僮骰顒?、圖形描述結合起來，先形后數，逐步抽象。例如，用12個同樣大的正方形拼一個長方形，根據各個長方形中每行正方形的個數與行數，把這三個長方形用乘法算式表示出來，4×3=12，6×2=12，12×1=12。然后以“4×3=12”為例，指出4和3都是12的因數，12是4的倍數，也是3的倍數，再要求學生說出另兩道乘法算式里，誰是誰的因數，誰是誰的倍數，初步內化概念。

（3）應用中深化。教師適時引導學生結合生活實例進行思辨，以層層深入的方式在現實情境中找到“倍”與“倍數”的聯系與區別。例如，貨場有32噸煤，現有載重量分別為5噸、8噸的卡車，用哪一種卡車正好可以裝完？為什么？

2.難點之二：發現3的倍數的特征比較難。

3的倍數特征與2和5的倍數特征相比，比較隱蔽，要想找到一個合適的探究思路并不容易。學生習慣性地沿用探究2、5倍數特征的方法，提出猜想，“個位上的數是3、6、9的數是3的倍數”，很難轉變思維方式去尋找新的方法。

破解策略：

（1）“百數表”中猜想。在百數表里3的倍數上畫“○”，發現3的倍數與2或5的倍數不同，分散在表的各行各列。進而觀察到畫“○”的數的個位上不都是3、6、9，而有些個位上是3、6、9的數上沒有畫“○”，它們不是3的倍數。由此得出“3的倍數的特征不表現在數的個位上”。

（2）“計數器”上轉化。把3的倍數表示到計數器上，先找些較小的數，再找些較大的數，算出表示每個數所用數珠的顆數。通過交流發現，在計數器上表示3的倍數，需要的數珠會是3顆、6顆、9顆、12顆……而3、6、9、12等數都是3的倍數。接下來引導學生把數珠顆數轉化為各位上數的和，初步發現3的倍數的特點。

（3）反例強調特征。找幾個不是3的倍數，算算它們各位上數的和。引導學生進一步討論“如果一個數不是3的倍數，這個數各位上數的和會是3的倍數嗎”，從正反兩個角度完善認知，進一步確認3的倍數的特征。

3.難點之三：“質數與合數”理解起來存在較大難度。

“質數與合數”的概念相對來說比較抽象，與學生的生活有一定距離。尤其將奇數、偶數、質數、合數這四個概念放在一起，學生會產生思維上的混亂。

破解策略：

（1）實際問題引入。常見的隊列隊形是學習質數和合數的有效模型。例如，五年級4個班（人數分別為47、49、48、43）的學生參加表演，哪個班能排成整齊的方陣？學生在分析問題的過程中，明確了是否能排成方陣與數的奇偶性無關，與一個數因數的個數有關，初步感受質數、合數的本質。

（2）活動促進理解。設計“找一找”的活動，借助“百數表”，運用“篩法”找出其中所有的質數。學生從中能夠體會到：2、3、5、7等質數，除了本身，它們的倍數都是合數（被畫去的數）；從2開始，不是質數，就是合數；非0自然數按因數的個數分類，有1、質數、合數三類。

（3）辨析明晰概念。首先從自然數的兩種不同的分類中，感受質數和奇數、合數和偶數存在于兩種不同的集合之中；其次讓學生結合這些數的特點介紹自己的學號是什么樣的數，全面認識一些自然數的特性；最后優化一個數是否質數的判斷方法，并不要把它所有因數都寫出來。如果這個數除了1和它本身，還能再找到另一個因數，就能確認一定是合數。

資料存盤

1.“因數和倍數”課標解讀。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》第二學段目標提出：在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果；會獨立思考，體會一些數學的基本思想；經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程；能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性；在運用數學知識和方法解決問題的過程中，認識數學的價值。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》第二學段課程內容中提出：知道2，3，5的倍數的特征；在1～100的自然數中，能找出10以內自然數的所有倍數；了解自然數、整數、奇數、偶數、質（素）數和合數。

2.學習“因數和倍數”，為什么要把“0”排除在外？

因為整數與自然數都包括0，根據因數和倍數的定義，0是任何非零自然數的倍數，任何非零自然數都是0的因數。特別地，因為0是2的倍數，2是0的因數，所以0是偶數。但是，以后研究最大公因數和最大公倍數時，如果不排除0，很多問題就沒有探究的價值。例如，如果把0考慮在內，任意兩個自然數的最小公倍數就是0，這樣的研究沒有任何價值。所以，教材指出本單元所說的數指的是自然數（一般不包括0）。

3.一些常用的數的倍數的判斷方法。

9的倍數的特征。一個數各位上數的和是9的倍數，這個數就是9的倍數。

4或25的倍數的特征。如果一個數末尾兩位數字所表示的數是4或25的倍數，那么這個數就是4或25的倍數。

8或125的倍數的特征。如果一個數末尾三位數字所表示的數是8或125的倍數，那么這個數就是4或25的倍數。