立足母題，展開聯想
——以一道“重心”題的解題為例

谷 一

進入高三以來，老師一直要求我們多做題、做好題、多思考、多聯想.能夠通過解一道題，聯想到多種方法和類似的題，有助于開拓我們的思維.

前幾天老師布置我們做一道關于重心的題，題目是這樣的：

如圖1，若點G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則sinC的最大值為________.

圖1

拿到題目后我開始思考：點G為△ABC的重心，就有，又有.好！我就以與為基底處理.

解設，則-a-b，a·b＝0.

老師看了我的做法后，表示認可.卻又提出了一個問題：本題中，三角形三條邊又有怎樣的關系呢？

我思考著：如果能夠用邊BC，AC，AB的長度表示出BC，AC邊上的中線的長度，那么就可以表示出AG，BG的長度，問題就可以解決.

用三邊長表示中線長？我聯想到公式“（a＋b）2＋（a-b）2＝2（a2＋b2）”，有思路了！

設BC＝a，AC＝b，AB＝c，如圖2，延長AG交BC于點E，則E為BC中點，由得到

圖2

因為AG⊥BG，所以，

整理得，a2＋b2＝5c2，所以cosC＝，

所以C為銳角，.

立即向老師匯報我的做法，老師很贊賞.卻又提出一個問題：從形的角度看，還有其他想法嗎？

圖3

如果從幾何的角度去思考：由AG⊥BG，則，所以.若固定A，B兩點，則點C的軌跡是圓D（去除直線AB上兩點），如圖3，則∠ACB顯然是銳角.再往后，卻無從下手！

突然聯想到“張角最大”的一道經典題：

引例如圖4，A（0，a），B（0，b），0＜a＜b，點C為x軸正半軸上一動點，若∠ACB最大，則點C的坐標是________.

圖4

常規做法：構造關于∠ACB的三角函數.

解設C（x，0），x＞0，∠ACO＝α，∠BCO＝β，則∠ACB＝β-α.所以tanα＝，

引例的幾何解法：

如圖5，過A，B兩點作⊙M（當然可以作出無數個圓），若使得⊙M與x軸正半軸相切，則切點即為所求點C（可由平面幾何知識證明：∠ACB＞∠ADB）！此時，由切割線定理可以得到：OC2＝OA·OB，即x＝時取“＝”！

圖5

從引例我得到啟發：本題不過是把引例中的x軸正半軸換成了⊙D而已，只需找出動⊙M與⊙D的切點即可！

如圖6，過A，B兩點作⊙M，逐步增加其半徑，直至與⊙D內切，顯然切點為AB中垂線與⊙D的交點C！此時∠ACB取得最大值.（在⊙D上任選一異于點C的點N，連結AN交⊙D于點K，則∠ACB＝∠AKB＞∠ANB，即可證明）

圖6

由CA＝CB，，所以sinC＝.

繼續思考：剛才的解法中是固定A，B兩點.如果固定其他兩點呢？比如固定C，B呢？

另解如圖7，延長CB至K，使CB＝BK＝2BE，則GB∥AK，故AE⊥AK，則A點在以EK為直徑的⊙O上.顯然當CA為⊙O的切線時，∠ACB取得最大值.此時，OA⊥AC，易得.

圖7

看了我的完整解答，老師笑了：“聯想是一種非常有效的解題方式，它不僅能夠幫助我們突破思維中的局限瓶頸，拓展思維，還可以提高思維靈活性與想象能力.”

至此，我從幾個不同角度探究了本題的一些解法.這些，都是聯想得來的.在以后的數學解題中，我們應仔細觀察題設條件中的細微之處，發掘題目的隱含條件，大膽聯想，從而找到解題的突破口，使得數學問題快速得解.