基于波動光學的顯微光場成像點擴散函數

顧夢濤，宋祥磊，張彪，唐志永，許傳龍，*

（1.東南大學 能源與環境學院 能源熱轉換及其過程測控教育部重點實驗室，南京210096；2.中國科學院上海高等研究院 低碳轉化科學與工程重點實驗室，上海201210）

航空航天發動機由于換熱量大，且內部結構復雜，傳統換熱器已經不能滿足其對空間及換熱性能的雙重需求，而微通道換熱器因換熱性能強、結構緊湊、質量輕、體積小等優點成為研究熱點。目前，微通道換熱器仍處于發展階段，研究其流動特性可指導微通道的構型優化，且流動特性的研究有助于換熱特性的研究。因此，流動特性是微通道換熱器重要的研究內容之一［1］。由于微通道流動特征尺度微小，流體分子間作用力、靜電力等表面力效應增強，同時受到微通道構型、壁面粗糙度和浸潤性等因素影響，微尺度流動特性非常復雜，目前還沒有合適的理論模型來對微通道內復雜的流動特性進行解釋［2-3］。傳統的接觸式測量會侵入微通道影響流動，無法完成精確測量，而顯微粒子圖像測速（Micro-PIV）技術可實現非接觸、全場、瞬態、定量的微尺度速度場測量，是流動可視化的實驗方法之一，特別是三維Micro-PIV技術可以揭示微通道內的三維流動，對研究微尺度流動有重要意義［4］?，F有的三維Micro-PIV技術或設備復雜或局限于周期性流場的測量，無法利用單相機完成非定常和非周期性流場的測量［5-6］。

近年來，光場技術進一步發展，利用微透鏡陣列，單相機一次曝光能同時完成光線的位置和方向信息（即光場）的記錄。因此，在傳統顯微成像系統的基礎上加裝微透鏡陣列構成顯微光場成像系統［7］，可以實現單相機一次曝光記錄物空間的光場信息，進一步利用圖像處理技術可以得到物空間的三維坐標信息［8］，因此光場顯微成像結合粒子圖像測速技術（光場Micro-PIV），通過單個光場相機有望實現微尺度瞬時三維速度場的測量。微尺度流場中，示蹤粒子的三維坐標信息的準確重建是光場Micro-PIV技術實現瞬時三維速度場測量的關鍵。示蹤粒子的成像過程可表示為示蹤粒子的光強分布與成像系統的點擴散函數（PSF）的卷積［9］，因此可通過反卷積進行示蹤粒子三維重建。反卷積算法主要有線性反卷積法［10］、盲反卷積法［11］和Lucy-Richardson（L-R）算法［12］。線性反卷積法對噪聲敏感度高且無法復原高頻信息，重建精度低；盲反卷積法雖然精度高，但需在迭代重建的同時更新PSF，計算量大，耗時長；L-R算法能夠按照泊松噪聲統計標準對給定PSF的退化圖像進行反卷積迭代推演，當給定的PSF足夠精確時，可以準確而快速地完成三維重建。但準確獲得PSF是L-R算法完成示蹤粒子三維重建的關鍵。

現有的PSF模型可分為兩大類：基于幾何光學的PSF模型和基于波動光學的PSF模型。由于顯微光場成像系統衍射無法忽略，同時系統中微透鏡陣列的引入，導致現有的基于幾何光學和波動光學的PSF模型均不適用于光場Micro-PIV中PSF的確定。因此，需要建立適合顯微光場成像系統的PSF模型。目前，PSF可通過理論計算和實驗測量方法確定。對于顯微光場成像系統，實驗測量方法要求粒子直徑小于衍射限制，同時，當系統參數變化時，需要重新進行實驗測量，導致PSF確定過程極為耗時。而理論計算方法沒有上述限制，且系統參數變化時，只需改變PSF模型中相應的參數，即可計算出新的PSF。

針對光場Micro-PIV中PSF的確定，本文基于波動光學建立了顯微光場成像PSF模型，進行了數值模擬，獲得了理論的PSF圖像。構建了光場Micro-PIV實驗裝置，實驗確定了顯微光場成像系統的PSF圖像，進一步通過L-R算法實現了微尺度三維流動中示蹤粒子的三維重建，對PSF理論計算模型的準確性進行了驗證。

1 光場M icro-PIV

光場的概念最早由Gershun［13］提出，用來描述光在三維空間中的輻射傳輸特性。當光線在傳播過程中保持能量不變時，可表示為四維光場。對于四維光場的表征，主要采用雙平面法，表達形式為L（u，v，s，t），其中（u，v）和（s，t）分別表示光線與2個相互平行的平面的坐標交點?；诠鈭隼碚?，在傳統顯微鏡與相機傳感器之間加裝微透鏡陣列，可組成顯微光場成像系統，從而記錄待測對象的光場信息。圖1為顯微光場成像原理示意圖。其中，微透鏡陣列位于筒鏡后焦面處，相機傳感器位于微透鏡陣列后焦面處。測量體內任意一點S發出光線，經過顯微鏡內物鏡與筒鏡的作用，會聚于微透鏡陣列C處，每個微透鏡把接收的光線按其傳播方向分散到相機傳感器的不同像素點上，因此可通過單光場相機實現四維光場信息采集。

基于顯微光場成像的Micro-PIV系統原理如圖2所示。光場Micro-PIV 系統主要由激光器（激光波長λ0＝532 nm）、顯微鏡、微注射泵、光場相機系統和計算機組成。通過光場Micro-PIV系統獲得時間間隔為Δt的2張示蹤粒子的光場圖像后，通過L-R算法反卷積重建出示蹤粒子的三維坐標信息，再利用互相關算法獲得瞬時三維速度場。L-R算法的迭代公式可表示為［11］

圖1 顯微光場成像原理示意圖Fig.1 Schematic diagram ofmicroscopic light field imaging

圖2 光場M icro-PIV系統原理圖Fig.2 Schematic diagram of light field Micro-PIV system

從式（1）可見，顯微光場成像系統的PSF是光場Micro-PIV通過L-R算法完成三維重建的前提。準確獲得顯微光場成像系統的PSF圖像之后，反卷積問題將轉換為線性復原問題。

2 顯微光場成像PSF模型

點光源是最基本的光源單位，對于復雜的光源，可以將其視為眾多點光源的疊加?，F以點光源為例，分析其在顯微光場成像系統中的成像過程。以物鏡的焦點為原點，系統光軸為z軸，建立如圖1所示坐標系。其中，z＝0表示物鏡焦平面，z＞0表示離焦且靠近物鏡，z＜0表示離焦且遠離物鏡。測量體內任一點光源發出的球面波在系統中的傳播過程可分為以下3個部分：

1）球面波經過顯微鏡內物鏡和筒鏡到達微透鏡陣列。顯微鏡可視為衍射受限光學系統，點光源S（x，y，z）發出的發散球面波投射到物鏡上，經顯微鏡變換為筒鏡上的會聚球面波，根據基于波動光學的標量衍射理論［14］，到達微透鏡陣列的球面波的波陣面U（x，y，z）可表示為

式中：x、y、z為點光源的三維坐標；r和a分別為物面徑向和軸向光學坐標；fo為物鏡焦距；λ為熒光波長；M為物鏡的放大倍率；α為物鏡孔徑角的半數，sinα＝NA，NA為物鏡的數值孔徑；ρ為物鏡孔徑的規格化徑向坐標；P（ρ）為歸一化光瞳函數；J0（·）為零階貝塞爾函數；s、t為微透鏡陣列面坐標。

2）球面波透過微透鏡陣列。微透鏡陣列可簡化為疏狀函數，本文采用的微透鏡孔徑為正方形，因此微透鏡陣列的透過率函數T（x，y，z）可表示為

式中：rect（·）和comb（·）分別為矩形函數和梳狀函數；fμ和D分別為微透鏡的焦距和孔徑。

球面波穿過微透鏡陣列后，其波陣面U′（x，y，z）為

3）球面波傳播到相機傳感器面。球面波傳播到相機傳感器面可視為菲涅爾衍射，到達相機傳感器面的波陣面U″（x，y，z）可表示為

U″（x，y，z）＝U′（x，y，z）*

式中：k為波矢，k＝2π／λ；u、v為傳感器面坐標。

通過傅里葉變換，式（7）可表示為

式中：ξ和η分別為傳感器面上坐標u和v的空間頻率，ξ＝u／（λfμ），η＝v／（λfμ）；F（·）和F－1（·）分別為傅里葉變換和傅里葉逆變換。

因此，測量體內點光源S（x，y，z）發出的球面波到達相機傳感器面的光強分布h（x，y，z）為

光學系統的PSF定義為輸入物為一點光源時其輸出像的光強分布，因此，h（x，y，z）即為光場Micro-PIV系統的PSF。

3 實驗系統

為了驗證本文建立的PSF模型，基于圖2所示的光場Micro-PIV系統原理，搭建了光場Micro-PIV實驗系統，如圖3所示。其中，光場相機系統由微透鏡陣列、1∶1中繼鏡和CCD相機組成，各部件通過籠板和籠桿加以固定。顯微鏡可控制載物臺與物鏡距離，精度為1μm，因此可確定測量體所處深度范圍。顯微鏡內的二向色鏡用于過濾被反射的激光，以提高光場圖像的信噪比。顯微光場成像系統參數如表1所示，改變系統參數主要通過更換顯微鏡物鏡和相應的微透鏡陣列來實現。實驗所用微流控芯片為矩形層流芯片，其長直微通道截面寬度為150μm，深度為50μm。實驗時，含有示蹤粒子的溶液經微注射泵注入到微流控芯片中，示蹤粒子被激光激發出峰值波長為584 nm的熒光，粒子激發的熒光經顯微光場成像系統成像于相機傳感器面，通過計算機可實時記錄含有示蹤粒子的光場圖像。

圖3 光場M icro-PIV實驗系統Fig.3 Light field Micro-PIV experimental system

表1 顯微光場成像系統參數Table 1 M icroscopic ligh t field im aging system param eters

4 結果分析

4.1 仿真結果

參照表1所示的顯微光場成像系統參數，利用式（2）～式（9），計算不同深度的軸上點（x＝0，y＝0）的PSF，結果如圖4所示。圖4為深度z＝0～80μm時光軸上點的模擬PSF圖像?？梢园l現，除焦面附近（z＝0～20μm）外，軸上點的PSF已經不再是圓斑，而是由離散的點斑組成。這是因為系統中加入了微透鏡陣列，軸上的點發出的光線會被微透鏡按照其傳播方向折射到微透鏡覆蓋的不同像素點上，從而形成離散的點斑。當深度不同時，軸上點光源發出的球面波到達微透鏡陣列時會有不同的波陣面，且會經過不同數量的微陣列，因此不同深度的軸上點會產生不同的PSF圖像，由此可以通過PSF反演出深度信息。

圖4 光軸上不同深度點的模擬PSF圖像Fig.4 Simulated PSF image of points at different depth on optical axis

圖5為點光源處于深度z＝50μm時不同水平位置處PSF仿真結果。圖5（b）給出了位于同一深度（z＝50μm）不同水平位置的點的PSF圖像，各點的具體位置如圖5（a）所示，圖5（c）為同一深度不同微透鏡對應位置點的PSF圖像。圖5（a）中一個色塊對應一個微透鏡，邊長為D／M，其中S0為軸上點，S1～S8為離軸點。通過比較圖5（b）中S0～S8的PSF圖像可以發現，當測量體內的點處于同一深度不同位置時，其PSF圖像不一致，即PSF圖像不滿足平移不變性。通過比較圖5（c）中S1和S′1的PSF圖像可以發現，當點光源處于不同微透鏡的對應位置時，如圖5（a）中的S1和S′1，點光源形成的PSF圖像一致。這是因為當點光源產生值為D／M的位移時，其產生的球面波到達微透鏡陣列時會形成值為D的位移，而D恰為微透鏡孔徑的大小，因此同一深度的PSF圖像滿足周期分布，周期為D／M，即

圖5 深度z＝50μm 時不同水平位置處PSF仿真結果Fig.5 PSF simulation results at different horizontal positions when depth z＝50μm

式中：m、n為正整數。

從式（10）可見，只需計算同一深度中心微透鏡區域各點的PSF圖像，再經過平移，即可獲得同一深度任意點的PSF圖像。通過PSF所處微透鏡區域及其圖像，可以反演出水平位置信息。

結合圖4和圖5，可見本文所建立的顯微光場成像系統PSF模型可以模擬出點光源處于不同水平位置不同深度時的PSF圖像，PSF反映了測量體內任意點的三維坐標信息。

4.2 模型驗證

基于搭建的光場Micro-PIV實驗系統，實驗獲取了粒徑為2的示蹤粒子的光場圖像。深度處于z＝0～80μm 的軸上點的PSF圖像如圖6所示。

圖6 光軸上不同深度點的實際PSF圖像Fig.6 Actual PSF image of points at different depth on optical axis

從圖6可以發現，當粒子深度逐漸增加時，PSF圖像先呈圓斑（z＝0～20μm），然后變為離散的點斑，且PSF圖像占據的微透鏡陣列數隨著離焦距離增大而增大，這與模擬的PSF圖像表現一致。

通過比較圖4和圖6中對應的PSF圖像，發現其形狀與大小基本一致。

為了進一步評價PSF模型的準確性，本文從圖像相似度與三維重建兩方面進行了驗證。首先通過結構相似性（SSIM）算法［15］進行模型驗證，SSIM算法計算公式為

式中：SSIM（T1，T2）為圖像相似度函數值，T1和T2分別為比較的2張圖像矩陣；μ1和μ2分別為T1和T2的平均值；σ12為T1、T2的協方差；和分 別 為T1和T2的 方 差；c1＝（k1L）2，c2＝（k2L）2為用來維持穩定的常數，L為像素值的動態范圍，k1＝0.01，k2＝0.03。相似度函數值越接近1，表明比較的2張圖片相似度越高。

對圖4和圖6中對應的PSF圖像進行圖像相似度計算，結果如表2所示?？梢钥闯?，在相同條件下，模型得到的模擬PSF圖像與光場Micro-PIV系統的實際PSF圖像計算得到的圖像相似度函數值均大于0.94，可以認為2組圖像具有較好的一致性，證明了本文建立的基于波動光學的顯微光場成像PSF模型的準確性。

進一步以計算獲得的PSF為已知量，對實驗獲得的單個粒子和不同粒子濃度下的流場的光場圖片，利用L-R算法進行反卷積重建，結果如圖7～圖9所示。圖7為單個示蹤粒子的實驗光場圖片和重建結果，示蹤粒子的三維坐標為（61.5μm，61μm，50μm）。從圖7（b）～（d）可見，重建粒子大致為橄欖球形，在水平和豎直方向均有一定的拉伸，水平拉伸為1μm，豎直拉伸為4.3μm，這是由于在拉伸區域內，任意點光源發出的光線經系統成像后形成的圖像相似，系統無法準確識別，使得重建后出現拉伸。雖然重建存在拉伸，但重建粒子的中心點的三維坐標為（61μm，60.5μm，50.5μm），與實際三維坐標僅有一個像素的誤差，在誤差允許范圍之內，即通過L-R算法和本文建立的PSF模型可以完成單個示蹤粒子的三維坐標信息的重建。圖8和圖9分別為低粒子濃度（0.025 g／L）和高粒子濃度（0.25 g／L）的重建結果。低粒子濃度下，示蹤粒子形成的PSF圖像相互影響較小，而高粒子濃度下，示蹤粒子形成的PSF圖像相互影響較大，PSF圖像相互疊加。但在高、低示蹤粒子濃度下，L-R算法結合PSF模型，可實現示蹤粒子的重建，獲取示蹤粒子的三維坐標信息，也進一步驗證了基于波動光學的顯微光場成像PSF模型的準確性。

表2 圖像相似度函數值Tab le 2 Im age sim ilarity function values

圖8 低粒子濃度（0.025 g／L）實驗重建結果Fig.8 Low particle concentration（0.025 g／L）experimental reconstruction results

圖9 高粒子濃度（0.25 g／L）實驗重建結果Fig.9 High particle concentration（0.25 g／L）experimental reconstruction results

5 結 論

1）本文建立了基于波動光學的顯微光場成像系統PSF模型，得到了系統的模擬PSF圖像，仿真結果表明，通過PSF可以獲得測量體內任意點的三維坐標信息。

2）搭建了光場Micro-PIV實驗系統，實驗獲取了系統的實際PSF圖像，對模擬PSF圖像和實際PSF圖像利用SSIM 算法進行了相似度計算，結果表明兩者具有較高的相似性，驗證了PSF模型的準確性。

3）對不同示蹤粒子光場圖片利用L-R算法進行了反卷積計算，結果表明，利用本文建立的PSF模型可完成三維重建，并可獲得示蹤粒子的準確三維坐標信息，進一步驗證了PSF模型的準確性。