范叔旺
摘 ?要:本節課在學習完“任意角和弧度制”后的一節新授課——任意角的三角函數。為更好地突出“三角函數作為描述周期變化的數學模型”這一本質,教材通過現實世界的周期現象,在學生感受引入三角函數必要性的基礎上,引出三角函數概念。特別強調了單位圓的直觀作用,用單位圓上的點的坐標定義正弦函數、余弦函數和正切函數。
關鍵詞:三角函數;過程;反思
一、學生學習情況分析
學生雖然有銳角三角函數的知識和經驗,但他們自己在閱讀教材時,會產生以下的疑惑:
1.任意角的三角函數定義為什么要引入坐標系?
2.的正弦值為什么規定用比,而不是的絕對值比?
為此要利用學生的日常生活經驗,設計數學應用的問題情境,讓學生感受到數學的自然性、實用性。
二、教學過程(教學片段)
師:學習任意角的概念讓你留下哪些深刻的印象?
生:負角、零角、正角等。
師:還有比較具體的嗎?
生:(遲疑了下)哦,角的周而復始的旋轉。
師:很好,如何表示角的周而復始的旋轉加表示什么含義?
生:
師:很好。若我在終邊上取一距離原點的半徑為1的定點,那么它在旋轉后形成的軌跡就是圓。那么,我們學過的函數中有沒有刻畫圓周運動?
生:(學生疑惑)好像沒有。
師:我們這節課就是來一起學習如何刻畫圓周運動的函數,叫做《任意角的三角函數》。當終邊轉過時,則等于多少?
生:(很快的)。
師:那么的正弦、余弦、正切值呢?
生:還是吧。
師:還是直角三角形中的三角函數?
生:是。
師:它能等同于這個角三角函數值嗎?
生:能。
師:你是利用銳角三角函數的知識來做的,但是角已經不是銳角了吧,在銳角三角形中還能找到它嗎?
生:(疑惑)不行。
師:那有更好的方式來定義它嗎?(教師旋轉終邊,與單位圓的交點P的坐標隨時在變化,同時在學生熟悉的等角處停留)
生:(經觀察后恍然大悟)可以利用點P的坐標來表示。
師:(喜悅)如何具體表示?
生:設坐標P(),則。
師:(部分學生還有疑慮)這樣定義到底何不合理要看具體情況,我們可以具體舉例進行驗證。當旋轉到時呢?
有學生通過計算器驗證得
,
符合剛才的定義。也有學生仍然通過構建直角三角形求出為。
師:若依然利用直角三角形的三角函數來做,它的問題在哪里?
生:此時的不是,也就是說,在直角三角形里已經找不到了。
師:對于確定的角,這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變嗎?為什么?
由于學生第一次接觸單位圓,對它所能起的作用不了解,所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡,使得分母為1,之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。
師:剛才圓的半徑,當它的半徑不等于1時,又如何呢?
生:,,。
給出下列表格,讓學生自己補充完整。
三角函數
定義一:
定義二:
定義域
及時歸納總結,有利于學生對所學知識的鞏固和掌握。
三、教學反思
1.教學設計緊扣課程標準的要求,重點放在任意角的三角函數的理解上。從任意角的而周而復始的旋轉入手,抓住了三角函數是刻畫圓周運動的數學本質,認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發展規律——具體到抽象,現象到本質,特殊到一般,體現了數學核心素養。
2.通過單位圓來定義三角函數,滲透數形結合思想。同時在說明三角函數是函數上體現了函數與方程思想。由銳角三角函數的坐標表示引到任意角的三角函數的坐標表示,展示類比的思想。在探索四象限的三角函數的符號特征時,我采用探究式學習方式,鍛煉了學生的獨立思考能力,也充分展現了學生自學、探究學習的過程。
參考文獻:
[1]魏翠萍,高志海,郭婷婷.一個基于三角函數的直覺模糊熵公式[J].控制與決策,2012,27(4):571-574.
[2]李加文,陳宗雨,李從心.基于函數逼近的三角函數加減速方法[J].機床與液壓,2006(3):66-67.