索伯列夫空間的性質

周建鋒　王宇

摘要：介紹了廣義函數的導數，引入了索伯列夫空間的有關概念，討論了索伯列夫空間的一些性質，應用泛函分析方法，給出了這些性質的證明。

關鍵詞：廣義函數;弱導數;索伯列夫空間;完備性;可分性;自反性

中圖分類號：O175.2;文獻標志碼：A

1 引言

前蘇聯著名數學家索伯列夫在研究偏微分方程理論中系統地應用了泛函分析方法，引進的一類泛函空間被稱為索伯列夫空間，已成為研究非線性偏微分方程的有力工具，在微分方程、理學、計算數學、物理學等近代理論研究中被廣泛的應用。本文我們將介紹索伯列夫空間的有關概念，討論索伯列夫空間的一些性質，并給出這些性質的證明.

設 是 中的開集， 是一非負整數，向量 如果它的每一個分量都是非負整數，就稱 是一 重指數（指標），并記 稱為 重指數 的長度.記 用 ，表示 階微分算子， .于是 . 表示由定義在 上所有連續且具有 階連續偏導數 的函數 組成的集合， 簡記為 ，令 = ， 中的函數本身或某些階的偏導數可以

在 上無界. 表示由 且它和它的偏導數 在 上有界的全體函數組成的集合，若 是 中的有界區域，則空間 是Banach空間.

為了使泛函分析方法能夠應用于偏微分方程，就必須擴充導數的概念，索伯列夫建立的廣義函數理論把每個函數都看成廣義函數，每個廣義函數都是無窮次可導的，廣義函數實質上是定義在一類性質很好的函數組成單位基本空間上的線性泛函。在 ）中定義收斂性就能以它為定義域定義線性泛函，而且可以使它成為完備的空間。

2 廣義函數及其導數

定義1.1? Ω）（或? 稱 在 （或 ）中收斂于 ，如果滿足下列條件：

（1）存在K? Ω（或 ），使得 與 都包含在 中，即? ? ?， …

對于任意 重指數 ，函數序列 在K上一致收斂 ，對于任意 重指數 ，有?.

在給定上述收斂后，就稱 （或（ ）為基本函數空間（或簡稱為基本空間） .上述收斂記為

（在 （或在 ）中）.

由此可見，基本空間 （或（ ）與 （或 ）所含有元素相同，并且定義有上述收斂性. （或 ）中的元素成為基本函數或試驗函數.

設 （或 ）， （ ，由 公式可知，成立等式

如果 是一 重指數， （或 ），重復使用 次 公式推出

因此把廣義函數 的 階廣義導數 用以下方式來定義

定義1.2 廣義函數 的 階廣義導數

（或 ）.

易證泛函 具有可加性和連續性且具有一致收斂性，故 是 （或D（R ）上的線性泛函。所以不難看出，廣義函數 的 階廣義導數 仍是一廣義函數，由于 可取任一 重指數，所以每一廣義函數有任意階的廣義導數;求廣義函數的導數與求導的次序無關。

Ω（或 ）上所有局部可積函數全體記為 （或 ）. （或 ）中每一個函數 對應著一個廣義函數 ，但不是每一個局部可積函數的廣義導數都是局部可積的.

設 于是 和 都是廣義函數，其中 是任意 重指數.如果存在某一函數 且 ，就稱 是 的 階弱導數，即設 如果存在 滿足

就稱 是 在區域 上的 階弱導數.若函數 的 階弱導數存在，則除去一個零測集外是唯一的，即弱導數具有唯一性.且具有下列性質

設 則

（1）對于任意滿足 的 重指數 和 有

（2）對于每一 有?和

（3）若 是 的一開子集，則 .

3索伯列夫空間

定義3.1 空間

設任意開集? 是 重指數， 是非負整數，集合 的元素 的范數定義為

由于 顯然是線性空間，于是 是一線性賦范空間，稱 為 上的整數階索伯列夫空間。

特別的 ， 是 的子空間。如果 ，常常把 寫成 （ 1，2，…）. 是Hilbert空間. .

4索伯列夫空間的性質

性質4.1 空間是Banach空間.

證明 設? 中任一基本列，即

設 是定義在Ω上所有滿足 的可測函數 構成的函數類，對任一 重指數 ，序列 是 中的基本序列。因為 是一Banach空間，所以序列 在 中收斂于 .下面去證明 ，

由于 ，所以每一個 分別對應一個廣義函數，分別記為 和 .

不妨設 ，當 時，利用Holder不等式可知

其中 是 的共軛指數。當 時，有

而當 時，直接得

因為 有界， 有界，所以可推得

.

同理可證當 上式也成立.

所以 和 有

有弱導數的定義知

所以 ，其中 故性質得證.

性質4.2? 是集合 關于空間 范數的完備化空間.

因為 是Banach空間。于是 的充要條件是存在函數列 ，使得當 時

性質4.3設 ，則 是可分空間.

性質4.4? 設 ，則 是可分的.

性質4.5 設 ，則乘積空間 是可一致凸的.

性質4.6? ，則 是一致凸的.

證明 為了證明 的一致凸性和可分性，我們先建立 與乘積空間之間的關系.設 是一 重指數，用 或 表示滿足條件 的N重指數 的個數。顯然次數依賴 和 .把Q個N重指數依次序排列為 做乘積空間

乘積 中的元素 的范數定義如下：

則乘積空間 是Banach空間.可以在 和 的一個子空間 之間建立一個等距同構.

令 ，則算子 一對一地把 映射到 的一個子空間 內，且 因此是一個等距同構。因為 是Banach空間，所以 是乘積空間 中的一個閉集.

因為，當 時， 是可分空間.設

其中 表示系數為有理數的多項式全體，

由于 是可列集，所以 也是可列集， 在 中稠密.因而 在 中稠密.故 是可分空間.

當 時，由于 與 的子空間 等距同構，所以也是可分的.類似地，通過證明 空間一致凸和自反可得 也是一致凸和自反的.

性質4.7設 ，則乘積空間 是自反的.

證明 設? 有唯一? 與之對應.

，令 而且

于是 因為 所以 故有

性質4.8設 ，則空間 是自反的.

參考文獻：

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基金項目：

陜西省教育廳科研計劃項目（15JK2157）;國家自然科學基金（10571114）

作者簡介：

周建鋒（1965-），男，陜西藍田人，副教授，主要從事算子理論和小波分析的研究.

（作者單位：西安文理學院 數學與信息工程學院）