加強課堂教學研究,培養學生核心素養—一道解析幾何定點問題的課堂探究

廣東省廣東實驗中學越秀學校(510095) 吳愛明

普通高中數學課程標準(2017年版)指出：“數學教育也承載著落實立德樹人根本任務, 我們要提升學生的數學素養,促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展,探尋事物發展規律.”[1]數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六個方面.如何在課堂教學中引導學生進行課堂探究,從而讓學生實現數學學科核心素養的提升.我以一道解析幾何定點問題的課堂探究活動為例,進行探究分析小結.在高二講完解析幾何后的一次周測中,老師命制了一道定點探究問題,作為初學解析幾何的學生來講,確實有一定的難度,做對的同學較少,但是,本題是解析幾何中非常典型的一類問題,學生必須掌握并能融會貫通.雖然教學時間緊張,為了培養學生的核心素養,真正加強學生的分析解決問題的能力,我借助對這個題目講評機會進行一次探究性課堂.現將課堂設計實錄敘述如下.

一.原題呈現與解法探究

題目已知動圓C 過定點A(2,0),且與直線x = -2 相切.

(1) 求動圓圓心C 的軌跡方程;

(2) 若過點A(2,0) 的直線l 交第(1) 問所求曲線于P、Q 兩點, 在x 軸上是否存在一點N, 使得對直線l 都有∠PNA = ∠QNA,若存在,求出點N 的坐標;若不存在,說明理由.

(引導學生分析解決問題思路)：

師：探究1動圓圓心C 滿足什么曲線的定義?

生1：根據題意,滿足拋物線的定義.

師：探究2像這樣的動點軌跡問題用什么方法求方程?

生2：定義法.

然后,學生自己計算求出方程.

師：探究3第二問中的∠PNA = ∠QNA 可轉化成什么關系? 用什么表示? (畫出草圖,進行引導),這是解題的突破口.

(師生共同分析)得出：可看成PN 和QN 的傾斜角互補.從而有kPN=-kQN,即kPN+kQN=0

解題過程：解：(1) 由拋物線定義知：動圓圓心的軌跡為以A(2,0)為焦點,直線x = -2 為準線的拋物線.設拋物線方程為y2= 2px.因為所以p = 4,所以動圓圓心的軌跡方程為y2=8x.

歸納分析：本題中的動直線剛好過拋物線的焦點,滿足條件∠PNA=∠QNA 的點N 正好是拋物線準線與x 軸的交點.

這時,我并沒有認為本題講完就結束,而是繼續引導學生進行探究,提出這樣一個疑問：剛才這個分析結果是一種巧合,還是遵循他的一般規律?

探究4它對所有的拋物線都滿足嗎?

為此,我大膽提出猜想,給出拋物線中的一般結論：

二.拋物線中過焦點的弦一般結論

性質1已知拋物線y2=2px,過焦點的任意直線l,且與拋物線交于P,Q 兩點,N 為拋物線準線與x 軸的交點,則∠PNF =∠QNF.

由學生仿照前面的方法進行證明如下：

證明直線l 的方程為則由得y2-2pty-p2=0.設P (x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=2pt,y1·y2=-p2.因為

所以kPN=-kQN即∠PNF =∠QNF.

三.運用類比思想,在其它圓錐曲線中進行橫向探究拓展

(乘熱打鐵)運用類比思想,進一步探究：既然在拋物線中滿足這種關系,那么在其它圓錐曲線中是否成立?

先給出一個具體例子：

題目已知動點M 到定點F(-1,0)和定直線x = -4的距離之比為設動點M 的軌跡為曲線C.

(1) 曲線C 的方程;

(2) 過點F 作斜率不為0 的直線l 與曲線C 交于兩點A,B, 定直線x = -4 與x 軸交點為P(-4,0), 設直線PA,PB 的斜率分別是k1,k2,求證∠APF =∠BPF.

(學生當場探究,當堂解答)

(2) 設直線 l′: x = ty - 1(t0), 則A(ty1-1,y1),B(ty2-1,y2).由聯立得：(3t2+4)y2-6ty-9 = 0.因為所以即k1+k2=0,所以∠APF =∠BPF.

分析歸納根據圓錐曲線的統一定義可知：F(-1,0)為橢圓的焦點,定直線x=-4 是橢圓的準線,P(-4,0)即為橢圓的準線與x 軸的交點.也符合上面的結論.因此,給出以下兩個性質：

性質2已知橢圓過焦點F(c,0)的任意直線l,且與橢圓交于P,Q 兩點,為橢圓的準線與x 軸的交點,則∠PNF =∠QNF.

性質3已知雙曲線過焦點F(c,0)的任意直線l,且與雙曲線右支交于P,Q 兩點,為雙曲線的準線與x 軸的交點,則∠PNF =∠QNF.

(歸納出這兩個性質后,下課鈴響了.我將這兩個性質讓學生作為作業課后探究證明,第二天上課進行展示).

四.利用由特殊到一般思想,在圓錐曲線中進行橫向探究拓展

探究5如果在圓錐曲線中,過的不是焦點而是一般的點,是否還有這樣的結論? 如果存在滿足條件的點,它們有何關系?

為了探究這個問題,我給出了2015年全國新課標卷I 第20 題,給大家探究：這題正好考查了這個問題.

題目在直角坐標系xOy 中,曲線C :與直線y =kx+a(a ＞0)交于M,N 兩點.

(1) 當k =0 時,分別求C 在點M 和N 處的切線方程;

(2) y 軸上是否存在點P, 使得當k 變動時, 總有∠OPM =∠OPN? 說明理由.

分析探究本題的直線過非特殊定點A(0,a),要探究y軸上是否存在點P,滿足條件.

解答過程：(1) 略;

五.歸納總結規律,得出一般結論

性質4已知拋物線y2= 2px, 過定點A(t,0) 的任意直線l, 且與拋物線交于P,Q 兩點, 在x 軸上存在一點N(-t,0),使得∠PNA=∠QNA.

性質5已知橢圓過定點A(t,0) 的任意直線l, 且與橢圓交于P,Q 兩點, 在x 軸上存在一點使得∠PNA=∠QNA.

證明直線 l 的方程為 x = my + t,則由得(b2m2+a2)y2+ 2b2ty +b2(t2-a2= 0.設P (x1,y1), Q(x2,y2), 則y1+ y2=所以

所以kPN=-kQN,即∠PNA=∠QNA.

性質6已知雙曲線過定點A(t,0)的任意直線l,且與雙曲線同一支交于P,Q 兩點,在x 軸上存在一點使得∠PNA=∠QNA.

(性質4、6 供有興趣的讀者自己證明)

六.教學反思,總結評析

教學并不能為解題而解題,不要認為講完一道題,學生就掌握了本知識和方法,而是要從不同角度審視問題.本次課就是基于核心素養視角下設計的.為了能夠更好的培養學生的核心素養,教師在課堂教學中要有意識地引導學生進行“一題多解和一題多變”進行探究.通過獨自或合作探究,逐漸養成一種問題探究的思維習慣,總之,學生能力是學生自己悟出來的,我們不能包辦一切,只能正確引導.