例說Desmos輔助高中數學教學

江蘇省南京外國語學校仙林分校(210023) 張愛民

Desmos(https：//www.desmos.com/calculator)是一個免費的、基于瀏覽器的圖形計算器網站.目前已有手機APP 可以使用.它可以作為《幾何畫板》之外畫圖的有力補充,比畫板處理分段函數、隱函數畫圖等問題更為便捷.實際學習和教學使用的過程中,我覺得以下列幾種功能比較實用.

1.畫分段函數

分段函數是高中函數學習中的重要內容,在Desmos 中,只須標注每一段的定義區間,即可得到相應圖形(幾何畫板通常需要借助符號函數改寫函數解析式來作圖象,操作不夠便利).

例1(2018 浙江-15) 已知t ∈ R, 函數f(x) =當t = 2 時, 不等式f(x) ＜0的解集是____.若函數f(x)恰有2 個零點,則t 的取值范圍是____.

說明：打開Desmos,先輸入解析式f(x)=x-4{x ≥t},添加滑塊t;下一行輸入式子f(x)=x2-4x+3{x ＜t}.

圖1

先將滑塊中t 的值調整到2, 觀察可得第一空的解集(1,4);再左右拖動t 滑塊改變t 的值,分析后不難得到第二空的結果(1,3]∪(4,+∞).

關于分段函數的輸入, Desmos 有專門的方法.此函數的規范輸入為：f(x) ={x ＜t:x2-4x+3,x ≥t:x-4},添加滑塊t.不過當函數分段比較多或解析式比較長時,這種方法似乎不如上一種方便.

2.畫圓錐曲線

進行圓錐曲線幾何性質教學時,可以方便地畫出給定方程的曲線,并利用滑塊調整參數,觀察曲線變化情況.

例2(蘇教版習題改編)已知橢圓求k 的取值變化時,橢圓焦點所在坐標軸.

說明：打開Desmos,輸入橢圓方程,添加滑塊k,并將的取值范圍設為1 ＜k ＜9(k5).

圖2

手動調整滑塊k 位置,方便學生觀察橢圓形狀變化.也可以點擊滑塊播放按鈕,使k 的值自動變化,讓學生觀察,非常直觀.

例3(蘇教版復習題)設雙曲線直線l 的方程是y-1=k(x-2).當k 為何值時,直線l 與雙曲線C(1)有兩個公共點? (2)有一個公共點? (3)沒有公共點?

說明：Desmos 中輸入雙曲線方程和直線方程,添加滑塊k,拖動滑塊改變k 的值,觀察并分析交點個數變化情況,即可得出相應結論.

圖3

3.畫線性規劃中的可行域

線性規劃問題畫圖是重點,也是難點.不過Desmos 中處理這類問題非常簡單易操作.

例4(2013 全國II-9 改編) 已知a ＞0, x,y 滿足, 若z =2x+y 的最小值為1,則a 的值為____.

在Desmos 中輸入x ≥1{x+y ≤3}{y ≥a(x-3)},添加滑塊a,設置a ＞0,右邊即時顯示出相應的可行域.輸入目標函數z =2x+y,添加滑塊z.

圖4

分別通過拖動兩個滑塊,易發現當目標函數圖象經過直線x = 1 與y = a(x-3)的交點P 時,z 有最小值.先將z的值調整為1,再拖動a 使得點P 在直線z =2x+y,此時a的值即為所求結果1.

圖5

4.畫參數方程和極坐標圖象

(2019 南京一模)已知在極坐標系中,圓C 的極坐標方程為ρ=2 cos θ,以極點O 為原點,極軸Ox 所在直線為x 軸建立平面直角坐標系,直線l 的參數方程為參數),求直線l 被圓C 截得的弦長.

說明：在Desmos 中,用r 表示ρ,輸入r = f(θ),自動按極坐標畫圖.因而此題只要輸入r =2 cos θ 就畫出了圓C 圖象.參數方程要按照點坐標的形式輸入.所以本題直線方程輸入的是右邊畫出了相應直線.數形結合可得出本題結果為

圖6

通過以上初步介紹,相信大家對Desmos 有了一些的印象.在實際教學中,如果我們能依據具體問題,適當選用這一工具,一定會收到良好的教學效果.