深度融合信息技術的“正態分布”教學設計*

廣東省廣州市南海中學(510000) 豐夢婷

一、引言

“加強信息技術與數學教學融合的實踐與研究”是全面深化數學課改的關鍵之一.融合的核心是要借助信息技術,為學生提供有挑戰性的、互動交流的數學學習環境——保持應有的數學思考水平和強度,促進學生積極的思維參與.而作為點燃學生積極思維的導火線——提出和發現問題,理應成為貫穿教學設計的主線.因此,融合信息技術的教學設計,其要點在于：以問題引導學習,通過提出問題、獨立思考、課堂討論與交流、解決變式等多種活動,逐步深入、層層遞進,最終解決問題并獲得對數學知識的正確理解,并在“不知道怎么辦”的問題場景中,萌生新思想,進而生成駕馭具體問題的數學方法[1].

二、融合信息技術于正態分布教學設計之原因探析

融合信息技術的教學設計,其特點在于充分、恰當地利用現代信息技術和信息資源,科學地安排教學過程的各個環節和要素,以實現教學過程的最優化.而如何做到“充分”和“恰當”,則需要教師明確融合信息技術的目的,制作、收集可以使用的信息技術課程資源,思考如何有效組織這些課程資源,明晰學生在融合信息技術的教學環境中對于數學知識的理解以及可能的誤解.下文以人教A 版選修2-3“正態分布”為例,從以上幾個方面展開分析.

(一) 融合信息技術的目的

明確融合信息技術的目的,即在教學中明確為什么要使用信息技術,它可以帶來怎樣的優勢.在“正態分布”一節中,使用信息技術的目的之一：化抽象為具體,凸顯數學對象的本質特征.例如為了引導學生認識正態曲線的本質特征——中間高,兩邊低,左右對稱,首先借助信息技術展開高爾頓板實驗,學生在增加試驗次數的過程中,初步獲得小球的分布情況——中間球槽內的小球比較多,兩邊球槽內的小球比較少.在此基礎上,以球槽的編號為橫坐標,以小球落入各個球槽內的頻率值為縱坐標,學生借助EXCEL 繪制呈現小球分布規律的頻率分布直方圖和折線圖,觀察它們形狀的共同特點.此時,再一次凸顯了正態曲線的本質特征,給學生建立了正態曲線的直觀印象.最后,借助幾何畫板演示當組距不斷縮小時頻率分布直方圖的形狀變化——越來越接近于一條光滑的曲線,并且具備“中間高、兩邊低、左右對稱”的特點,第三次凸顯了正態曲線的本質特征,與此同時,在組距不斷縮小、不斷逼近的過程中,也滲透了極限的思想.在此過程中,信息技術實現的三次凸顯,讓學生更容易把握正態曲線的本質特征.在本節內容中,使用信息技術的目的之二：化靜態為動態,凸顯數學對象之間的內在聯系.例如在研究參數μ和σ 對正態曲線的影響時,借助幾何畫板的動態演示功能,學生可以直觀感受到兩個參數對正態曲線的影響.繼而回歸到正態分布密度函數中參數μ和σ 的位置以及本身的意義,那么,學生對于正態分布密度函數的由來也就不會感到突兀了.

(二) 可以使用的信息技術課程資源及組織形式

本節內容中,用于課堂教學的信息技術主要是幾何畫板和EXCEL.在新課引入時,使用了課程資源——高爾頓釘板實驗演示程序(圖1).在理解高爾頓板實驗原理的基礎上,學生動手操作高爾頓板實驗, 在不斷增加小球個數的過程中,觀察演示程序中所呈現的小球的分布情況.

圖1

圖2

在新課探究環節,以使用幾何畫板和EXCEL 制作的課程資源為主.在學生初步獲得小球分布規律的基礎上,嘗試借助統計學中的圖形工具呈現小球的分布規律.每個小組選擇兩組數據,借助EXCEL 制作頻率分布直方圖和折線圖(圖2).在探究正態曲線特點的過程中,學生動手操作幾何畫板,通過不斷縮小組距,觀察頻率分布直方圖的形狀變化;通過改變參數,觀察曲線的位置、形狀變化(圖3 和圖4).

圖3

圖4

(三) 學生在融合信息技術的教學環境中對于數學知識的理解以及可能產生的誤解

通過動手操作高爾頓板實驗——動手制作頻率分布直方圖和折線圖——動手演示組距不斷縮小時的頻率分布直方圖,有助于學生理解正態曲線的本質特征.因此,在探究正態曲線特點的過程中,學生對正態曲線的位置、對稱性、峰值等特點脫口而出.幾何畫板在呈現正態曲線時,容易給學生帶來誤解,如正態曲線的兩端是否會接觸到x 軸,此時借助正態分布密度函數以及正態曲線的幾何意義,可以有效化解學生的誤解.

三、融合信息技術的正態分布教學設計

基于以上原因,筆者嘗試將信息技術融合于正態分布教學設計中.

教學目標

1.借助歷史上的高爾頓板試驗,建立鐘形曲線的直觀印象——兩頭低,中間高,左右對稱,從中滲透數學文化.

2.借助鐘形曲線,引出正態分布密度函數解析式,引導學生結合解析式及概率的性質,借助數學幾何畫板,小組合作探究正態曲線的特點,揭示正態曲線的幾何意義.

3.在理解正態分布定義的基礎上,引導學生分析、認識生活中的正態分布現象.

教學重點

正態分布密度曲線的特點;正態分布密度曲線所表示的意義

教學難點

正態分布密度曲線所表示的幾何意義

新課引入

解釋高爾頓板試驗原理

圖5

著名的試驗裝置——高爾頓板試驗裝置.它的最上層是通道口,里面綠色的部分表示小球.中間層是圓柱形小木塊,它們相互平行但相互錯開,小木塊之間留有適當的空隙作為通道.前面擋有玻璃.小球從通道口落下,與層層木塊發生碰撞,每一次碰撞結果都有兩種可能,一種是從木塊左邊的空隙落下,另一種是從木塊右邊的空隙落下,最后落入球槽中.最下面一行是計數器,它會統計出對應球槽內小球的個數.

新課探究

探究1高爾頓板試驗中小球的分布規律

活動1：計算機演示高爾頓板試驗

問題1：在投放小球之前,你能知道這個小球落在哪個球槽中嗎?

問題2：隨著試驗次數的增加,落入球槽中的小球又將如何分布?

設計意圖研究一個隨機現象,就是要了解它所有可能出現的結果和每一個結果出現的概率.問題1 旨在讓學生注意投放一個小球試驗是隨機試驗,其結果就是球落在某一個小槽內.問題2 引導學生觀察試驗次數增加時小球的分布情況,思考高爾頓板試驗中可能出現的結果.

問題3：能否借助圖形工具來呈現球槽中小球的分布規律?

提示：從圖形的角度,表示樣本分布的方法有哪些? 如何建立坐標系?

設計意圖由樣本估計總體,一般分為兩種,一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布,另一種是用樣本的數字特征估計總體的數字特征.從圖形的角度,表示樣本分布的方法有：頻率分布直方圖、頻率分布折線圖.引導學生回顧從圖形的角度來表示樣本分布的方法,探究小球的分布規律,體會樣本估計總體的思想.

活動2：小組合作——借助EXCEL 繪圖

以球槽的編號為橫坐標,以小球落入各個球槽內的頻率值為縱坐標.請各小組選擇兩組數據,截圖到EXCEL 中,嘗試運用EXCEL 繪制出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.

問題4：它們的形狀有何共同特點?

設計意圖通過學生自己動手操作完成頻率分布直方圖和頻率分布折線圖的繪制,引導學生對高爾頓板試驗中的隨機現象進行思考,建立鐘形曲線的直觀印象——兩頭低,中間高,左右對稱,為建立正態曲線的概念設置鋪墊.

探究2正態曲線的特點

問題5：如果不考慮小球的大小,不斷縮小球槽的寬度,那么頻率分布圖的形狀會發生怎樣的變化?

越來越接近于一條光滑的曲線——總體密度曲線,它可以反映總體的分布情況.這條總體密度曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的特點,我們說它像一條鐘形曲線.我們把這種鐘形曲線稱為正態分布密度曲線,簡稱正態曲線.這條曲線所對應的解析式稱為正態分布密度函數.這個函數中,有兩個參數μ和σ,μ——均值,σ——標準差.

設計意圖借助幾何畫板演示,讓學生直觀形象地感受頻率分布直方圖和折線圖的極限形狀,完成由離散型隨機變量到連續性隨機變量的過渡.從描述鐘形曲線形狀的角度引入正態曲線和正態分布密度函數的數學表達式.

活動3：小組合作——探究正態曲線的特點

問題6：結合正態分布密度函數和正態曲線,研究正態曲線的特點.

當μ和σ 確定時,這條正態曲線又有何特點? 當σ 一定時,μ的變化會對曲線產生什么影響? 當μ一定時,σ 的變化會對曲線產生什么影響?

設計意圖借助幾何畫板直觀感受兩個參數對正態分布密度曲線的影響,進而得出正態分布的一些其他性質.通過小組合作交流的方式探究正態曲線的特點,突出本節課重點.

探究3正態分布

問題7：能否借助正態曲線準確計算出隨機變量X 落在區間(a,b]內的概率?

提示：(1) 用頻率估計概率;(2) 定積分的幾何意義：平面圖形的面積.

設計意圖研究一個隨機現象,就是要了解它所有可能出現的結果和每一個結果出現的概率.即不僅需要了解隨機變量的分布規律,而且要了解它的概率分布規律.對于離散型隨機變量而言,分布列完全刻畫了它的概率分布規律,但是現在無法知道所構造的隨機變量的分布列,所以只能通過頻率來近似.

問題8：分析高爾頓板試驗中,小球的分布為什么近似服從正態分布?

小組分享：一個隨機變量如果是眾多的,互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和,它就服從或近似服從正態分布.

問題9：試分析某一地區同年齡人群的身高近似服從正態分布的原因.

設計意圖正態分布廣泛存在于自然現象、生產和生活實際之中,通過分析,旨在讓學生學會發現生活中的正態分布現象.

歸納小結這節課,我收獲了什么知識? 在正態曲線、正態分布概念的得出和正態曲線特點的探究上,我們收獲了什么數學思想方法? 還有什么困惑?

教學反思運用信息技術使得數學對象直觀化、動態化,可以幫助學生建立直觀印象、理解數學對象,但是這種直觀印象是表面的,教師不能僅僅停留在讓學生看看數學對象的直觀形式,還需引導學生從代數的角度分析產生這種特征的原因,由形回歸到數,學生才能獲得更深層次的理解.例如學生在觀察正態曲線的動畫演示后,容易得到正態曲線的一系列特點,但是為何會有這些特點? 教師要引導學生回歸到正態分布密度函數上,對正態分布密度函數的本身特點進行分析.

四、結束語

融合信息技術的教學設計,需要教師明確融合信息技術的目的,制作、收集可以使用的信息技術課程資源,思考如何有效組織這些課程資源,明晰學生在融合信息技術的教學環境中對于數學知識的理解以及可能的誤解.因此,如何做到充分而恰當的融合? 在融合信息技術之前,需要教師洞穿知識點所處的相關知識結構的環節,剖析學生發生這一知識點的心理環節,精心設計信息技術的呈現方式,如此,方能讓信息技術在教學中最大限度地發揮功效.