2018年中考中與生活相關的試題賞析

江蘇省徐州市第二十六中學(221000) 史志偉

在2018年中考中,出現了與生活密切相關的新試題,即顯示數學源于生活,同時數學又可以解決生活中的實際問題,現選取部分試題進行賞析.

例1(紹興)利用如圖1 的二維碼可以進行身份識別.某校建立了一個身份識別系統, 圖2 是某個學生的識別圖案, 黑色小正方形表示1, 白色小正方形表示0.將第一行數字從左到右依次記為a,b,c,d,那么可以轉換為該生所在班級序號, 其序號為a × 23+ b × 22+ c × 21+ d × 20.如圖2 第一行數字從左到右依次為0, 1, 0, 1, 序號為0×23+1×22+0×21+1×20= 5, 表示該生為5 班學生.則表示6 班學生的識別圖案是( )

圖1

圖2

分析根據班級序號的計算方法一一進行計算即可.

解對于B 選項,第一行數字從左到右依次為0,1,1,0,序號為0×23+1×22+1×21+0×20=6,表示該生為6班學生,故本題選B.

賞析本題出現了二維碼這一近幾年新生事物,學生對此很熟悉,微信的應用走進了大家的生活,一個微信號可產生二維碼,但二維碼對我們來說是抽象的;那么從生活中的數學角度,又如何識別學生的身份呢? 當然通過算式計算就可以求出學生所在的班級;從題型上看屬于數學中的新定義題型,與生活息息相關,考查了學生的抽象辨析能力.

例2(溫州)小明發現相機快門打開過程中,光圈大小變化如圖3 所示,于是他繪制了如圖4 所示的圖形.圖4 中六個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內接六邊形和一個小正六邊形,若PQ 所在的直線經過點M,PB =5cm,小正六邊形的面積為則該圓的半徑為____cm.

圖3

圖4

分析隨著人們生活水平的提高,很多家庭都擁有了相機,光圈的大小是受圓和多邊形影響的,要設法尋找圓和兩個正六邊形之間的關系.

解設兩個正六邊形的中心為O,連接OP,OB,過點O 作OG ⊥PM于點G,OH ⊥AB 于點H,如圖5 所示, 由題意得∠MNP = ∠NMP =∠MPN = 60°,所以△PMN 是一個等邊三角形, 邊長而且面積等于小正六邊形的面積的故△PMN 的面積為因為OG ⊥PM,且O 是正六邊形的中心,所以所以在R t △OPG 中,根據勾股定理得OP2=OG2+PG2,即OP2, 所以OP = 7, 設OB 為x, 因為OH ⊥A B 且O 是正六邊形的中心, 所以所以在R t △PHO 中, 根據勾股定理得OP2= PH2+OH2,即解得：x1=8,x2=-3(舍),故該圓的半徑為8cm,答案為8.

賞析沒想到吧,相機中也有數學問題;在光圈變化過程中,通過正六邊形、正三角形、圓的變換,構成了一幅美妙的數學畫卷.解題中兩次運用勾股定理,再加上三角函數,巧妙解決了問題;培養了學生的邏輯推理與幾何直觀能力.

例3(衢州)某游樂園有一個直徑為16 米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3 米處達到最高,高度為5 米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖6 所示,以水平方向為x 軸,噴水池中心為原點建立直角坐標系.

圖5

(1) 求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式;

(2) 王師傅在噴水池內維修設備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8 米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內?

(3) 經檢修評估,游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴大到32 米, 各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請探究擴建改造后噴水池水柱的最大高度.

圖6

分析(1) 根據頂點坐標可設二次函數的頂點式,代入點(8,0),求出a 的值,此題得解;

解(1) 設水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式為y =a(x-3)2+5(a0),將(8,0)代入得25a+5=0,解得所以水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式為

分析(2) 利用二次函數圖像上點的坐標特征,求出當y =1.8 時x 的值,由此即可得出結論;

解(2) 當y = 1.8 時,有解得x1= -1(舍去),x2= 7,所以為了不被淋濕,身高1.8 米的王師傅站立時必須在離水池中心7 米以內.

分析(3) 利用二次函數圖像上點的坐標特征可求出拋物線與y 軸的交點坐標, 由拋物線的形狀不變可設改造后水柱所在拋物線(第一象限部分) 的函數表達式為代入點(16,0)可求出b 值,再利用配方法將二次函數表達式變形為頂點式,即可得出結論.

解(3) 當x = 0 時,設改造后水柱所在拋物線(第一象限部分) 的函數表達式為因為該函數圖象過點(16,0),所以解得b = 3, 所以改造后水柱所在拋物線(第一象限部分) 的函數表達式為所以擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米.

賞析利用數學建模思想,先解決拋物線問題,再根據實際需要引出安全問題及改擴建問題,彰顯了數學為生活服務的宗旨.

例4(臨安)用一條寬相等的足夠長的紙條,打一個結,如圖7 所示,然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖8 所示的正五邊形ABCDE,其中∠BAC =______度.

圖7

圖8

分析利用多邊形的內角和定理和等腰三角形的性質即可解決問題.

解因為五邊形ABCDE 是正五邊形,所以∠ABC =而△ABC 是等腰三角形, 所以∠BAC =∠BCA=36°,故答案為36.

賞析本題是折疊問題,通過折疊產生新圖形正五邊形,顯出了一種美感;體現了積累基本活動經驗這一核心素養.

例5(金華) 小靚用七巧板(如圖9) 拼成一幅裝飾圖,如圖10 所示,放入長方形ABCD 內,裝飾圖中的三角形頂點E,F 分別在邊AB,BC 上,三角形 ①的邊GD 在邊AD上,則的值是____.

圖9

圖10

分析可設原來七巧板的邊長為4(或一個字母),在圖10 中,需要作輔助線,尋求七巧板中相關圖形線段之間的關系是關鍵,進而求出AB 與BC 的長.

圖11

解如圖11,過G 作于H,交三角形 ②斜邊于點I,則AB = GH = GI +HI,BC =AD = AG+GD = EI +GD,設原來七巧板的邊長為4,則三角形 ②斜邊的長度為4,三角形 ③斜邊長則AB = GI +IH =而AG = EI = 4,GD = 4, 則BC = 8, 所以故答案為

賞析小小七巧板,構筑數學大舞臺,七巧板中的相關圖形的線段之間有密切的關系,這也是本題的突破所在.

例6(臺灣)如圖12 的宣傳單為菜克印刷公司設計與印刷卡片計價方式的說明, 妮娜打算請此印刷公司設計一款母親節卡片并印刷,她再將卡片以每張15 元的價格販售.若利潤等于收入扣掉成本,且成本只考慮設計費與印刷費, 則她至少需印多少張卡片, 才可使得卡片全數售出后的利潤超過成本的2 成? ( )

圖12

A.112 B.121 C.134 D.143

分析設妮娜需印x 張卡片,根據利潤=收入-成本,結合利潤超過成本的2 成,即可得出關于x 的一元一次不等式,解之即可得出x 的取值范圍,取其內最小的整數即可得出結論.

解設妮娜需印x 張卡片,根據題意得15x-1000-5x ＞0.2(1000+5x),解得因為x 為整數,所以x ≥134.

答：妮娜至少需印134 張卡片,才可使得卡片全數售出后的利潤超過成本的2 成,故選C.

王府飯店門口，矗立著一個大大的氣囊，上寫著：瑞恩·杰克蘇婷婷婚禮志喜。一輛掛彩的紅色寶馬駛來，立刻鞭炮齊鳴，鼓樂聲起。車門打開，身著婚紗的蘇婷婷和身著禮服的杰克下了車，周圍人鼓起掌來。杰克拉著蘇婷婷的手，向周圍人群連連揮手。彩絲彩帶同時在兩人頭上飄下。

賞析臺灣的這個中考題考查的是利潤問題,根據題目意思列出不等式即可,體現數學建模思想.

例7(達州)如圖13,在物理課上,老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中,然后緩慢勻速向上提起,直至鐵塊完全露出水面一定高度,則下圖能反映彈簧測力計的讀數y(單位：N)與鐵塊被提起的高度x(單位：cm)之間的函數關系的大致圖像是( )

圖13

分析根據題意,利用分類討論的數學思想可以解答本題.

解由題意可知,鐵塊露出水面以前,F拉+F浮= G,浮力不變,故此過程中彈簧的度數不變;當鐵塊慢慢露出水面開始,浮力減小,則拉力增加;當鐵塊完全露出水面后,拉力等于重力,故選D.

賞析本題考查函數圖像,解答本題的關鍵是明確題意,要運用物理學的知識,再運用數形結合和分類討論的數學思想解答,展現了數學與其他學科的融合.

圖14

練習2(隨州)隨州市新水一橋(如圖15)設計靈感來源于市花--蘭花,采用蝴蝶蘭斜拉橋方案,設計長度為258 米, 寬32 米, 為雙向六車道, 2018年4 月3 日通車.斜拉橋又稱斜張橋,主要由索塔、主梁、斜拉索組成.某座斜拉橋的部分截面圖如圖16 所示, 索塔AB 和斜拉索(圖中只畫出最短的斜拉索DE 和最長的斜拉索AC) 均在同一水平面內,BC 在水平橋面上.已知∠ABC = ∠DEB = 45°,∠ACB =30°,BE =6 米,AB =5BD.

(1) 求最短的斜拉索DE 的長;

(2) 求最長的斜拉索AC 的長.

圖15

圖16

通過以上試題分析和練習,我們知道對于與生活相關的問題,這也是各地中考試題的熱點;在以后的教學中,我們要關注這類吃穿住行的問題;在平時的課堂中,首先,說明生活中孕育著數學問題,另一方面,生活中的問題是可以用數學解決的;這樣能充分激發學生學習數學的興趣,興趣是最好的老師,學生的數學綜合能力自然能提高.其次,注重數學實驗,在教學中,還要培養學生動手實踐的能力,讓學生親自操作,比如拼圖、旋轉、平移、翻折折紙等,手腦并用,在實驗中積累經驗,思考中增長智慧.最后,注重數學與其他學科的融合;中考中,不僅考查數學知識,還有語文、物理、生物等知識,教師在平時多留心此類的問題,也可以買些數學科普讀物讓同學們去閱讀,開闊視野,培養思維.通過以上三個方面,就會培養學生的創新意識與應用意識,培養用數學的眼光觀察世界、用數學的語言表達世界、用數學的思維思考世界的能力,從而提高學生的核心素養.