關于圓的對稱性命題可逆性的研究

湖北省赤壁市第一初級中學(437300) 李道生 李亞平 鄧楚明

內容決定形式,形式反映內容.圓作為天底下最對稱的平面圖形,具有完善的全方位的輪換對稱不變性.于是猜想,涉及圓的方方面面的內容,也應具有全方位的輪換對稱不變性.圓的性質是以命題的形式反映出來的,根據圓的輪換對稱不變性的完美性,我們預測：反映圓的性質的命題的題設與結論之間應有輪換對稱不變性,亦即：

一.圓的性質輪換不變性的猜想

(圓的性質輪換不變性)猜想所有關于圓的性質的命題,其題設與結論之間具有輪換對稱不變性(即等量交換不變性).換句話說,所有關于圓的性質的真命題的逆命題都是真命題.

(圓的性質輪換不變性)猜想是根據圓的全方位對稱性的的完美性所作的預測.揭示圓的對稱性的特點,由圓的對稱性的完美性猜想圓的性質的等量交換不變性,這是美的召喚,美的預測功能在這里得到淋漓盡致的表現.

由于(圓的性質輪換不變性)猜想是根據圓的結構的全方位對稱性出發作出的,因而具有合理性、準確性(注意,這里所作的預測不能看作圓的性質定理, 它不是證明的產物,而是美的直覺產生的預感,是一種哲理性的認識).如此預測,不但有利于教師設計教學程序,而且有利于學生對圓的性質的探索發現.不斷猜想、不斷證實,極有利于學生對圓的性質的深刻理解、全面掌握.

這里,我們以垂徑定理及推論的教學設計為例,說明(圓的性質輪換不變性)猜想的教學價值.

垂徑定理及推論的教學設計

如圖1,垂徑定理可以表示如下：

根據(圓的性質輪換不變性)猜想,其條件與結論等量交換后所得逆命題(共九個)皆為真命題(稱為推論),于是垂徑定理及九個推論,可用一句話概括如下：

圖1

“對一個圓和對一條直線來說,如果具備下列條件中的任何兩個,那么也具有其它三個：(1)過圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所對的優弧(5)平分弦所對的劣弧”(經證明本預測完全成立,注意：當(2)、(3)為條件時要對弦增加它不是直徑的限制)

至此,關于垂徑定理及推論一覽無余地展示出來,從而為全面、靈活、選擇垂徑定理及推論的各種情況提供了完備的理論基礎.

反觀課本,只給出了九個推論中的一個,對需要運用其它八個推論之一的問題(學生尚不知另有其它八個推論可供利用),只有采用迂回曲折的方法解決之.

正是因為學生掌握的知識支離破碎,沒有形成系統全面的規律性的認識(教材內容造成),致使學生初次接觸垂徑定理及推論的時侯,被復雜多變的表述形式所迷惑,更談不上融會貫通、靈活運用了.

筆者認為,對垂徑定理一節的教學,應在講完垂徑定理后,根據(圓的性質輪換不變性)猜想,直接引出一個統一的概括性的命題讓學生掌握,無須專門額外安排垂徑定理的一個推論讓學生去背記(可告訴學生垂徑定理的九個推論都是正確的,我們可用統一的一句話來概括,至于具體證明留給大家去思考,如果證明有困難可先放著;這樣讓學生對知識有一個全面的認識,從中感受到圓的性質的和諧美、統一美.課本只安排垂徑定理的一個推論而刪去其它八個推論,則如腸梗阻,如喉梗刺,阻斷了圓性質的流暢性與全面性).統一的表述,條理性的記憶,不但簡化了對它實際代表的10 條定理及推論的記憶且便于解題時的靈活選用(教材只安排垂徑定理的一個推論,估計是怕增加學生學習負擔,只挑選一個認為最重要的推論讓學生掌握,要知道每增加一個推論,就必須給出一個證明才能確定下來,九個推論要證明九次,這是多么麻煩啊.但有(圓的性質輪換不變性)預測及后面的說明,我們完全可以在不增加學生負擔的前提下直接引出垂徑定理及推論的一個統一的概括性的命題讓學生掌握,從而讓學生更加全面地掌握垂徑定理及推論的實質,更利于學生感受到知識之間的縱橫聯系及來龍去脈;預測一有彌補知識暫時不足的缺陷,有先打預防針,先讓學生放心地運用垂徑定理及九個推論解題的功效).

二.圓的性質輪換不變性猜想的驗證分析

分析圓的三大基本性質定理：1.垂徑定理; 2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理;3.切線性質定理(它們是圓的理論發展的基石)

我們發現一個共同的特征;每個定理的的條件與結論一一對換,所得的所有命題都是真命題.因此,每個定理及推論都可用統一的形式進行表述：垂徑定理及推論可以統一表述為“知二推三”;圓心角、弧、弦、弦心距四者之間的關系定理及推論,可統一表述為“知一推三”;切線性質定理及推論可統一表述為“知二推一”.

至此,所有接觸到的圓的性質都滿足(圓的性質輪換不變性)猜想,(圓的性質輪換不變性)猜想所揭示的有關圓的性質具有輪換對稱不變性的背后是否潛伏著深刻的必然性來暗示(圓的性質輪換不變性)猜想的正確性呢? 有必要進行深入的研究與探討(注意,(圓的性質輪換不變性)猜想是一種美的感覺而作出的猜想,不可能有嚴格的幾何證明來確定,我們只能多做些感覺性的工作來認同它,為感覺打氣鼓勁.培養學生美的直覺能力是培養學生探索創新能力的重要途徑).

首先從垂徑定理說起.

對于圓內異于圓心的一個定點M, ①對應著圓內唯一的一條過定點M 的直徑CD (兩點確定一條直線), ②對應著唯一的一條過定點M 且垂直于直徑CD 的弦AA′(過直線上或直線外一點有且只有唯一一條直線與已知直線垂直);從而 ③對應著唯一的一條以M 為中點的弦, ④優弧ACA′的中點C 唯一, ⑤劣弧ADA′的中點D 唯一(垂徑定理).

唯一意味著確定, 垂徑定理圖告訴我們, 對一個圓和對一條直線來說, 如果具備下列條件中的任何兩個, 那么也具有其它三個：(1)過圓心, (2)垂直于弦, (3)平分弦, (4)平分弦所對的優弧,(5)平分弦所對的劣弧.

圖2

正是垂徑定理圖所顯示的結構關系的唯一確定性,就有了垂徑定理的條件與結論的一一交換不變性.

再看切線性質定理.

對于圓上的一個確定的點A, ①對應唯一的一條過圓心O 與點A 的直線OA(兩點確定一條直線), ②對應唯一的一條以點A 為切點的切線(過直線上或直線外一點有且只有唯一一條直線與已知直線垂直).

切線性質定理圖告訴我們,對一個圓和對一條直線來說,如果具備下列三個條件中的任何兩個, 那么也具有第三個：(1)過圓心, (2)過切點, (3)垂直于切線.

正是切線性質定理圖所顯示的結構關系的唯一確定性,就有了切線性質定理的條件與結論的一一交換不變性.

最后看圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理(簡稱“關系定理”,教材刪去了弦心距).

“關系定理”換一種說法就是：在同圓中,圓心角確定,則所對的弧確定,所對的弦確定,所對的弦心距確定.

“關系定理”圖告訴我們,在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量分別相等.

正是“關系定理”圖所顯示的結構關系的唯一確定性,就有了“關系定理”的條件與結論的一一交換不變性.

可見,圓性質的輪換對稱不變性,在于圓性質定理圖所顯示的結構關系的唯一確定性.

如若教材每給出一個有關圓的性質定理就指出所有的逆命題都成立并統一表述,則可讓學生對定理及推論形成系統完整的認識,并作為探索性問題留在心中,不一定先要個個證明一遍才罷休.如同三角形全等的判定定理,有些作公理(盡管不是公理)處理承認它成立;再如圓面積公式也是先記住它并去應用它, 其證明等以后學了微積分再證也不晚.在嚴格要求下,我們應允許若干重要的暫時不能證明的基礎性定理讓學生先行掌握,以形成完整系統的知識結構,感受知識的和諧統一美.

圓性質的輪換對稱不變性,在于圓的性質定理圖所顯示的結構關系的唯一確定性.圓性質的輪換對稱不變性,用映射的觀點看,就是在全方位對稱前提下的一一對應關系下的交換不變性.(圓的性質輪換不變性)預測成立的“真相”就在于此(這里的“真相”,仍是一種美的感覺,不是證明意義下的“真相”).

對與圓有關的性質定理的教學,主張每學一個性質定理,學生能自覺地去探討所有形式的逆命題(有可能的話,自行證明之),并由此進行全面統一的表述及記憶.盡管教材可能未給出某些命題的逆命題, 但學生應認識到逆命題的正確性(預測的教學功能),甚至允許學生運用這些未學的逆命題去思考問題、解決問題,只有這樣,學生學握的知識才有系統性、全面性,從而達到靈活運用的效果.

寫到這里,可能有人舉出反例,說明(圓的性質輪換不變性)猜想不正確.如：

定理圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

逆命題若圓的兩條弦所夾的弧相等,則這兩條弦平行.

顯然, 該逆命題不成立, 如圖(3), 弧CB = 弧AD, 但AB 不平行于CD.

這是怎么回事? 實際上,上命題并不是原命題的逆命題, 原命題的條件“兩條平行弦”暗含有兩弦不相交這一隱蔽性條件.因此, 原命題的逆命題應是“若圓內兩條不相交的弦所夾的弧相等,則此兩弦平行”,該逆命題易證成立.

圖3

推論同弧所對的圓周角相等.

逆命題相等的圓角角所對的弧是同弧.

顯然,該逆命題也不成立.

這又是怎么回事呢? 圓的旋轉不變性告訴我們,這里的同弧應理解為能夠互相重合的弧,即原命題應是：同弧或等弧所對的圓周角相等,所以,真正的逆命題應是：相等的圓角角所對的弧是同弧或等弧(前提是“在同圓或等圓中”)

倘若有人能舉出—個與圓有關的某性質定理的逆命題不成立,那么我們只有懷疑圓的結構對稱性的完善性,即圓一定有不對稱的地方,這顯然不符合圓的結構特征.可以說,我們對(圓的性質輪換不變性)猜想深信不疑,就在于圓的結構對稱性的完善性.完美無缺,圓也.

總之,猜想到關于圓的每一個性質定理的條件與結論之間具有等量交換不變性, 并由此演變出所有形式的逆命題,進而用一個統一的形式進行表述,則圓的每一個性質定理及推論的各種變化全握在手(以不變應萬變),記憶也一目了然,不會被復雜多變的形式所迷惑,以完整的知識結構牢記于心.

三.圓的性質輪換不變性猜想的特殊價值

設想將(圓的性質輪換不變性) 猜想, 看作一個臨時的“公理”,這樣,對圓一章的有關性質,我們只需給出原命題的證明,其演變出的所有逆命題,就可暫時不經證明直接當作定理去使用.如此處理,學生既掌握了系統全面的知識結構,增加了知識容量,拓寬了解題思路,又不增加課本“厚度”及學習負擔,如此“革命性”的設想,筆者認為有探討研究的必要.(當條件成熟時,再要求學生對未證明的逆定理進行證明也不晚;即使在初中階段學生沒有能力去證明它,(圓的性質輪換不變性)預測的科學性仍使他們對尚未證明的逆定理的應用,顯得“底氣十足、深信不疑”.他們心里明白,所應用的逆定理是成立的,到了一定時候就可證明之,因此可放心大膽地去應用去探索去思考.如此設想,有關四點共圓、相交弦定理等被刪去的內容重回初中幾何教材就變得順理成章了.四點共圓的性質非常優美,是作輔助圓解決非圓類幾何問題的理論基礎之一,從中顯示圓的性質美,感受圓的內在美,是欣賞圓形美、體驗圓的美學價值的絕佳范例.圓一章內容的增刪, 應考慮圓性質的整體完善性及發揮它獨特的美育功能).

圓的美育功能是圓的一項重要的教育功能,在數學美育功能上處于獨一無二的最佳地位, 是美育教材的最佳標本,其美育功能是其它任何幾何圖形無法比擬的.將圓形美的內涵全方位的揭示出來,完美展示圓的形式美、結構美、性質美及美的啟發預測功能, 才能讓學生陶醉在圓形美的世界里,從內心去欣賞它、感受它,進而無怨無悔的去學習它、應用它.

學習知識要直達核心抓住精義,要善于尋找美、感受美,產生美的直覺去發現美的光輝,這樣的學習才是有趣的充滿生機的.