利用判別式法求二次分式函數的值域

陜西省城固師范學校(723200) 劉敬民

而對于b2-4ac ≥0 時的函數值域問題采取回避的態度.實際上此法可擴展適用于所有的二次分式函數,在解題過程中要注意判斷是否為函數值及定義域對函數值的影響,檢驗Δ=0 時的情形.

判別式法又名方程法是用方程的觀點求解的,也就是把函數y = f(x)同解變形為x 的一元二次方程,利用Δ ≥0求得原函數的值域.此法不僅適用于分式函數而且適用于二次分式函數,還適用于解析式中含有根號的情形.用此法求二次分式函數值域解題步驟和方法容易被學生掌握,但知其法不明算理的情況應引起我們的重視和關注.

命題一如果二次分式函數中至少有一個不為零)的分子分母互素,那么關于x 的分式方程

與關于x 的整式方程

同解.

證明設 x0是 (1) 方程的一個根, 即 y =由于有成立, 這說明x0也是方程(2)的一個根.

反過來, 設x0是方程(2) 的一個根, 即此時有b2x0+ c20, 否則有這樣a1x2+b1x+c1與a2x2+b2x+c2有公因式(x-x0),與已知分子分母互素矛盾.于是有成立.這說明x0也是方程的根.

因此,方程(1)與方程(2)是同解的.

2.分子分母互素的二次分式函數值域

命題二如果二次分式函數a20)的分子分母互素,那么

證明由命題一知方程與方程y(a2x2+b2x+c2)= a1x2+b1x+c1是同解的,進一步有同解方程

設a2y - a10, 因為x 是實數, 故判別式非負.即Δ = (b2y-b1)2-4(a2y-a1)(c2y-c1) ≥0,此時由同解變形方程(3)得到的每一個x 的值均有a2x2+b2x+c20,也就是說由解出的任意一個y 均為函數值.

設a2y-a1=0,此時a20 否則a1=0,a1,a2同時為零與已知矛盾.因而有當即a1b2a2b1時, 由方程(3)得由于方程(1)(2)(3)同解, 有為相應的函數值; 當時,由于函數的分子分母互素,因此關于x 的方程(3)無解,不是函數值.

又a2y-a1= 0 時,Δ = (b2y-b1)2≥0 顯然成立,因此當且a20 時,所求值域要從Δ ≥0 的解集中去掉

3.分子分母有公因式的二次分式函數值域

命題三如果二次分式函數a20) 的分子分母有唯一公因式(x - m), 那么函數的值域為Δ ≥ 0 的解集中去掉和后的部分, 即y =且和或y =

證明設x1和x2分別為方程a1x2+b1x+c1= 0 和a2x2+b2x+c2=0 的另外一個根且x1x2,于是函數y =即：可化為方程

設ya2-a10,有于是當 Δ ＞ 0 時, 由方程 (4) 得 x =進 一 步 有：x=或者x=m 增根;

當Δ = 0 時, 即ya2x2- a1x2= (ya1-a1)m 等價于：a2(x2-m)y - a1(x1-m) = 0(x2m 時), y =此時是增根.也就是說Δ = 0, x2m 時方程(4) 有解而原函數的值不存在, 因此要從Δ ≥0 的解集中去掉

又, 當 x2= m 時, 由于 x1x2, Δ =[a2(x2-m)y-a1(x1-m)]2=而Δ ＞0 時, 不等式解集中y 均存在相應的x(xx1和xm)使得y 為函數值.因此,x2=m 對于Δ ≥0 的解集沒有影響.

設ya2- a1= 0, 即由方程(4) 可得：a1(x2-x1)m = ma1(x2-x1), 由于a10,x1x2, 則x = m 為增根, 因此不是函數值.又ya2- a1= 0 時, Δ = [ya2(x2-m)-a1(x1-m)]2=[a1(x2-m)-a1(x1-m)]2=因此,要從Δ ≥0 的解集中去掉

4.小結與應用舉例

以上分情形討論了用判別式法就求解二次分式函數值域時分子分母可能出現的各種情形,一言蔽之,倘若事先不去考慮各種可能的因素, 需要判斷是否為函數值以及Δ=0 時的檢驗.

例1求函數且x-3,x1)值域.

解由已知得yx2+ 2xy - 3y = x2- 2x + 3, 即(y - 1)x2+ 2(y + 1)x - 3(y + 1) = 0.當y = 1 時, 得為函數值.當y1 時,Δ=4(y+1)2+12(y+或y ≤-1.檢驗：時,x=3;y =-1 時,x=0.和y =-1 均為函數值.

例2求函數且x-3,x1)的值域.

解由已知得yx2+ 2xy - 3y = 2x2+ 4x + 1, 即(y-2)x2+2(y-2)x-3(y+1)=0.

(1) 當y =2 時,得-7=0,x 不存在.因此,y =2 不是函數值.

例3求函數(x ∈R 且x3)值域.

解由題有xy-3y =x2-3x+2,即x2-(y+3)x+3y+2=0,有Δ=(y+3)2-4(3y+2)=y2-6y+1 ≥0,或檢驗：時,時,均為函數值.值域為

類似地,可以繼續用判別式法求下列分式函數值域.