在問題解決中探尋學生的思維路徑

◇程翠萍 王玉玲 趙瑞杰

一、問題的提出

為了探尋學生在解決問題中的思維路徑，我們結合北師大版小學數學五年級教材精心編制了5 道“有充分思考價值、適宜探究空間、無限對話可能”的測試題。測試中，讓學生在自主、自然的狀態下完成，教師觀察學生能動的、自覺的、習慣化的思維情況，以挖掘學生內心深處的數學思考。

二、調研的內容、結果、分析

在調研中，我們主要采用問卷調查、個別訪談的方法，對鶴壁市3 所小學共150 名五年級學生進行了調研。

第1 題用長度為1 米的三根小棒圍成一個等邊三角形，這個三角形的面積是（ ）。（選擇合適的選項）

A.1 平方米

B.比1 平方米小而比0.5 平方米大

C.0.5 平方米

D.比0.5 平方米小

A B C D人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比37 24.67% 23 15.33% 59 39.33% 31 20.67%選項人數及占比

面對等邊三角形面積的計算，有的學生忽略了尋找對應的底和高，第一反應是用相鄰兩邊相乘得到1，于是選擇A；有的學生又想起三角形面積公式中的除以2，于是選擇C；有的學生發現這個三角形的面積比邊長為1 米的正方形面積要小，沒有辨別三角形面積與0.5 平方米的關系，于是選擇B；有的學生明白三角形面積公式，發現三角形的底是1 米，而高不知道是多少，但發現高一定會小于斜邊1 米，于是選擇D。

觀察并分析學生思考問題的路徑，不難發現不少學生對三角形面積公式的理解還存在模糊的認識，運用知識解決問題缺乏相應的方法和策略（畫圖、推理、比較）。學生習慣于問題解決的最后是具體的算式、準確的答案，因而選擇答案A、C 的學生之和占總人數的64%。

雖然該題中等邊三角形的面積是一個能計算出的具體數，但由于小學生學識、能力達不到，本題的初衷是讓學生通過數學推理確定等邊三角形面積的大小范圍即可，但小學生對此不適應，約15%的學生能夠想到或畫出“底邊上對應的高”，只是因它的具體值無法確定所以沒有更深入地去研究它的范圍。 僅有約21%的學生通過畫圖、推理判斷出等邊三角形面積大小的范圍。

由此可知，學生的思維路徑符合小學生的思維發展規律，即由具體思維逐步向抽象思維過渡。其過程是緩慢的、漸變的，需要教師潤物細無聲的浸潤和滴灌。

第2 題計算×2×3×4×5。

選項人數及占比結果為154 結果為4 結果是其他人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比54 36% 57 38% 39 26%

圖1

在結果正確的人群中，約28%的學生繞過了乘法分配律，“中規中矩”地（如圖2）得出答案。

圖2

約8%的學生（如圖3）顯示出已對乘法分配律有深刻的理解，且能正確地運用，透過現象看到了本質，能把2×3×4×5 看作一個數，這是一種整體思想，對于學生來說算是一種創造了。

圖3

第3 題數m、n、t 在直線上的位置如圖4 所示：與數t 最接近的是（ ）。 （選擇合適的選項）

A.m＋n B.n－m C.n×m D.n÷m

圖4

人數及占比人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比44 29.33% 3 2% 40 26.67% 63 42%

此題巧妙地將小數加、減、乘、除運算同數軸相結合，考查學生對“大于0 且小于1 的小數加、減、乘、除運算結果”的數學經驗是否準確、恰當。在選擇D 的學生中能夠清晰表達的學生僅占16%（如圖5），剩下的26%是借助數形結合假設具體數計算（如圖6）或直觀發現m 和n 的關系（如圖7）巧妙解決問題，策略的靈活運用讓問題解決化繁為簡，化難為易。

圖5

圖6

圖7

整數、小數、分數的除法計算分散到不同的年級中進行學習，在實際教學中，教師往往會忽略它們之間的聯系，學生很難整體建構知識體系，不少學生對小數除法算式結果的認知仍停留在整數除法認知水平，總認為經過除法計算的結果會更?。ㄈ鐖D8）。

圖8

第4 題72AA3A 是一個六位數，它一定是（ ）的倍數。（選擇合適的選項）

A.2 B.3 C.5 D.不能確定

A B C D人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比23 15.33% 47 31.33% 0 0 80 53.33%選項人數及占比

此題考查的顯性知識是2、5 和3 的倍數的特征，隱性知識是探尋3 的倍數特征背后的原理。不少學生想不到去抽象這個六位數的數字之和，約69%的學生選擇了A 和D，他們對2、5和3 的倍數的特征以及判斷方法已經熟練掌握（如圖9），但不能有效地對問題進行分析、歸納、總結、提升而“半途夭折”，很顯然是缺乏解決問題的策略和方法。

圖9

選擇B 的學生中有16%是假設A 為0～9 中的一個（如圖10）進行判斷，這種方法屬于不完全歸納，不完全歸納得到的結論準確可靠嗎？怎樣啟發學生確認不完全歸納法獲取結論的正確性？從學生的分析解答中映射出“小學教師在歸納推理的認識、理論、方法、技能等方面存在嚴重缺失”。

圖10

只有約15%的學生把“3A+12”作為結果來判斷它是否為3 的倍數，并通過數學分析獲取結論（如圖11），屬于演繹推理。研究表明：演繹推理能力隨著年齡的增長而提高，它在小學階段就得到了發展，不同的教學水平對演繹推理正確性的影響具有顯著差異性。

圖11

第5 題一個正方體的展開圖如圖12 所示，把它折疊成正方體時，點A 和點（ ）重合。

圖12

和S、E 重合 和S 重合 和E 重合 和其他點重合人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比 人數 百分比34 22.67% 54 36% 32 21.33% 30 20%選項人數及占比

此題考查平面圖形和立體圖形相互轉化中關鍵“元素”之間的對應，要求學生具有較強的空間想象能力。36%的學生發現點A 和點S 重合，思考的路徑是把正方形BCHL 作為正方體的底面，正方形ABLM 和正方形BCTS 分別作為正方體的左面和前面，在這次想象中點A 和點S 正好重合。為了表達得清晰、簡潔，有些學生用不同符號來表示各個不同的面 （如圖13），顯示出較強的符號意識，有一定的解決問題的策略。

圖13

約21%的學生發現點A 和點E 重合，思考的路徑是把正方形ABLM 作為正方體的左面，正方形CDGH 就是正方體的右面，那么正方形DEFG 是正方體的上底面，在這次想象中點A 和點E 正好重合。 約23%的學生能夠把這兩次想象合二為一（如圖14），發現點A、點E 和點S 重合。

圖14

三、對教學的啟示

1.從思維路徑中的“拐點”發現學生對概念的認識不準確，對規律的本質把握不到位。

正確的背后可能隱藏著模糊，甚至錯誤的認知。學生掌握了知識還是會犯錯，這些錯誤往往是思維方式的不同導致的。學生的思維容易傾向解決問題時的“舒服”“方便”“簡潔”，簡單的類比和受思維定式、順向思維的影響造成偏離數學的本質的現象。

當學生基本概念不清的時候，面對稍微具有靈活性的變式題目，往往會出現思維混淆的現象。如第1 題中，學生是能夠正確地表述三角形面積計算公式的，但在實際運用中往往不去判斷底和高是否對應或者忘記除以2。第2 題中×2×3×4×5”和考查的同樣是分數乘法分配律，所不同的是后者為標準格式，前者為變式，將括號外的一個數轉換為一組數連乘的形式。

知識貴在求聯，聯則通，通則透。當學生把知識間的聯系與變通潛在地沉淀下來，自覺地實現觀念的更新和知識的重構時，其數學素養才會悄悄地得到發展。

2.從思維路徑中的“錯誤點”發現學生對數學經驗提升的缺失，映射出探究過程中的體驗、感悟不足，造成學生數學認知結構的不完善。

審視第3 題的“思維路徑”，發現學生對小數除法的認知沒有同整數除法相互關聯和對比，而小數除法的學習是介于整數除法、分數除法之間，作為 “橋梁” 要溝通它們三者的聯系。 將來學習分數除法運算時同樣要和整數、小數的除法運算相關聯，最終讓學生建立“除法計算” 完整的知識結構和體系，理解三者相同的本質。

3.從“不同”的思維路徑中發現學生問題解決的策略缺乏科學性。

第3 題思考的路徑是從一般中尋找特殊，m、n 取符合題意（0＜m＜n＜1）的所有數均能獲取正確的答案。第4 題思考的路徑是從特殊中尋找一般，六位數72AA3A 中A 可取0、1、2……9 共10 種情況，研究完所有情況下的結論則是科學的。如果不能研究完所有情況就需要進行整體分析、分類討論……小學數學教學中滲透特殊化與一般化方法對學生進一步學習數學和解決問題將有積極意義。 第5 題思考的路徑需要把正方體表面展開圖在頭腦中完成折疊操作，較高的錯誤率反映出空間觀念的欠缺。

通過研究學生在問題解決中的思維路徑，可以真實地再現學生隱形、個性的思維，讀懂學生學習起點、難點、差異及需求。教學中，我們要順應學生思維路徑，在認知的狹隘、粗淺、偏頗、混沌、疑惑、困難處設置“障礙”引發矛盾沖突，追溯思維原點，挖掘、拓寬思維的難度和深度，引領學生思維向縱深發展，向學科本質發展。