抓住起點發揮潛能創設素材豐富內涵
——“平均數”教學實錄與評析

◇執教/金蕾紅 評析/陳慶憲

課前思考：

“平均數”雖然是學生認識的第一個統計量，但學生在學習本課之前有“平均分”和“等分除法”等認知基礎，再加上在平常生活中無意識地感受到平均數的一些應用，因此，在本課教學時我們首先要思考的是如何更好地從學生的認知起點出發，充分挖掘學生的學習潛能，促使學生自主理解平均數的含義，體驗平均數的應用價值。所以我們想，選擇怎樣的學習素材，才能讓學生在經歷猜想、質疑、交流、概括的過程中更好地認識平均數？能否選擇一些富有數學內涵的感知材料，讓學生在經歷比較、分析的過程中去進一步理解平均數的含義？針對以上想法，我們對本課作了以下的教學嘗試。

教學實錄：

一 引發自主猜想，理解概念含義

1.談話引入。

屏幕上出示以下問題：某班一次數學考試的平均分是90。那么是不是這個班的每一位同學在這次考試中一定都得了90 分？

生1：不一定。

生2：有的比90 分多，有的比90 分少，也有的可能剛好是90 分。

師：那考得比90 分多的分數，去哪兒了呢？

生：給沒有考到90 分的同學了。

師：那全班同學都考了90 分有可能嗎？

生：有可能，但這可能性太小了。

師：那全班同學都考到90 分以上有可能嗎？

生：不可能，因為平均分是90。如果都考到90 分以上，那平均分就要在90 以上了。

師：是的。顯然全班同學也不可能都考到90分以下。

評析：教師引進學生平常最熟悉的全班平均成績，通過簡短的對話，喚起了學生在平常生活中的經驗積累，使學生初步感覺到平均分是通過移多補少得來的。

2.引發探究。

屏幕又出示以下問題： 在一次投籃比賽中,齊齊、東東、雷雷3 位同學平均每人投進5 個球。那么是不是這3 位同學在這次比賽中一定都是投進了5 個球？

生：不一定。

緊接著教師向學生提出：請你猜一猜這3 位同學有可能各投進幾個球，并把你的猜想在統計圖（圖1）上用畫小圓圈的方法畫一畫。想到誰投進1 個球，就在誰的上方畫1 個小圓圈。

圖1

學生獨立猜想畫圖后，小組交流。教師在巡視中找出有代表性的5 個學生的猜想，讓學生用貼小磁片的方法在黑板上呈現出來。這5 個學生貼好磁片后，教師提出：你覺得以上同學的猜想都對嗎？

生：有2 位同學的猜想總數不是15 個。

教師及時讓學生自己作了修正，并隨機提出：為什么總數一定要是15 個呢？

生：因為總個數15，除以人數3，剛好是平均每人5 個。

師：你們的意思是平均數可以用“總數÷份數＝平均數”去求。請大家繼續觀察黑板上所擺的圖，想一想，除了通過計算得到平均數，還可以用什么方法來驗證？

針對黑板上的各種猜想，學生提出把圖中超出5 個的磁片，移到少于5 個的上面去，使每人一樣多。 教師根據學生的表述在圖上勾畫出移動的個數，并畫出“5 個”高度的水平紅線（如圖2）。

圖2

師：像這樣把多的移給少的，使每份一樣多，叫作移多補少。

教師板書：移多補少。同時指出：平均數還可以通過移多補少得到。

師：在這次比賽中，他們3 人實際上各進了幾個呢？大家請看——（投影出示：奇奇2 個，東東9 個，雷雷□個）想一想雷雷實際投進了幾個。

生：4 個。

師：你是怎么知道的？

生答略。

評析：在以上的教學過程中學生之所以能充分展開猜想，首先取決于教師準確地把握了學生的學習起點，學生根據日常經驗的積累發揮了潛能。其次，教師精心設計了簡約的猜想素材，以3位同學平均每人投進5 個球為猜想的切入點，而這“3”位、平均投進“5”個，數量不多不少，便于學生猜想和畫圖。另外，在學生獨立猜想之后，教師選擇了5 位同學的猜想，并用擺小磁片的方法，在黑板上呈現了條形統計圖。接著，針對這5 位同學的猜想，組織學生分析它們的共同點。當學生概括出3 位同學投籃總數應該是15 個時，自然得出平均數的計算方法；當教師提出用另一種方式驗證時，學生自然想到了移多補少的方法?？梢娺@一猜想、畫圖、質疑、概括的過程，實際上是學生把已有的經驗積累上升為理性認識的過程，同時在這一動態過程中學生初步理解了平均數的含義。

二 創設對比素材，認識概念作用

教師對教材中的例2，原先是男生隊有5 人在踢毽子，女生隊有4 人在踢毽子，先改成男生隊和女生隊都是4 人，投影出示圖3。并提出：比較這兩隊的成績，你認為哪隊成績好？

圖3

生：當然是女生隊成績好，因為女生隊踢的總個數多。

接著教師出示圖4，并提出：現在說男生隊成績好你同意嗎？

圖4

生：不同意。因為男生隊現在有5 人，而女生隊只有4 人。

師：怎樣比較？哪隊成績好呢？

生：可以先計算出各隊平均每人踢多少個，再來比較。

師：你們覺得用這種方法比較可以嗎？為什么可以？

學生思考片刻后回答：因為用各隊踢的總個數除以各隊的人數，可以計算出各隊平均每人踢多少個，用兩隊的平均數進行比較，對兩隊來說是公平的。

師：好吧，大家分別算一算吧。

教師根據學生的計算，板書算式。

生：從平均每人踢毽子的個數看，還是女生隊成績好。

師：是呀！當日常生活中碰到兩組數量的份數不同時，可用平均數來說明各組數量的一般水平。

評析：為了突出平均數的作用，教者對教材中的例2（原先兩隊人數不同），先改成兩隊人數相同，這時學生自然地采用了比較總數量的方法來判斷兩隊成績。 但當改為兩隊人數不同時，學生認識到不能用總數量來比較了，從而想到采用計算出平均數的方法來比較。這樣小小的一點改變，使學生產生了認知沖突，強化了平均數在解決實際問題中的作用。

三 增設練習素材，體驗概念價值

1.分析合理性。

投影出示以下生活素材：體育老師要求同學們自己來匯報平常立定跳遠的成績。

聰聰到操場跳了1 次，成績是185cm，就向老師匯報說自己的成績是185cm。

明明跳了4 次，成績分別是：138cm、140cm、198cm、136cm。他匯報說自己的成績是198cm。

芳芳也跳了4 次，成績分別是：160cm、152cm、154cm、142cm。 她匯報說自己的成績是152cm。

教師先讓學生看清以上3 位同學的匯報方式后提出： 你認為哪位同學匯報的成績比較合理？為什么？讓學生先分組交流，再集體交流。

生：芳芳匯報的比較合理，因為她選擇自己跳了4 次的平均成績。

師：為什么聰聰匯報的不合理呢？

生：因為聰聰只跳了1 次就匯報了，帶有很大的偶然性，僅用跳1 次的成績還不能說明他平常的成績。

師：是的，跳1 次不能反映平常的成績。那明明同學也跳了4 次，他的匯報合理嗎？

生：因為明明匯報了4 次中的最高成績，而其他3 次的成績都比較低，只匯報最高的成績是不合理的。

生：我認為明明的匯報也是合理的，因為我們運動會比賽時都是取最高成績。在有些比賽項目中也取最高成績來衡量選手的水平。

師：平均數可以說明平常的一般成績。

評析：這一環節學生通過對三種匯報方式的質疑交流，感悟到從多次發生的事件中計算出它們的平均數，通常能更好地衡量事件發生的一般水平。對這類素材的討論，使學生進一步知道了平均數在解決日常生活問題中的價值。

2.計算平均數。

師：芳芳向老師匯報的成績是152cm，這真是她4 次跳的平均數嗎？你想用什么方法來驗證？

生1：可以把4 次成績加起來，再除以4，看看是不是152cm。

生2：還可以用移多補少的方法來計算。

師：怎樣移多補少呢？

生答略。

師：這種方法真好，快速地驗證了芳芳跳4次的平均成績。你們能用這種方法得到明明跳4次的平均成績嗎？

學生思考了片刻后，覺得有點困難。這時教師提出：那請大家用先加再除的方法來算一算明明跳4 次的平均成績好嗎？

學生獨立計算后，教師板書：（138+140+198+136）÷4=153（cm）。

評析：以上環節教師先巧妙地向學生提出問題，引發學生再次總結，要驗證“152cm”是不是芳芳跳4 次的平均成績，可以用計算 “總數量÷次數”的方法，也可以采用直接對數量進行移多補少的方法。 因為這兩種方法的本質都是移多補少，對于芳芳這組數教師特意突出了直接用移多補少的方法后，接著又向學生提出：你們能用移多補少這種方法得到明明跳4 次的平均成績嗎？當學生感到困難時，再讓學生列算式計算，其計算結果還可以為以下的教學環節提供素材。

3．比較平均數。

師：現在我們把明明、芳芳兩位同學4 次跳遠的成績和平均成績畫成條形統計圖（投影出示圖5），請大家思考：如果比賽時跳1 次決定勝負，你覺得選誰去成績可能會更好？為什么？

圖5

學生分小組討論后，再組織集體交流。

生1：我覺得應該選明明去。

師：為什么？

生1：因為明明4 次的平均成績是153cm，比芳芳要高。

師：有道理，但也高不了多少，只高了1cm。你們還有什么想法嗎？

生2：我覺得應該選芳芳去，因為明明只有1次跳得比較好，而3 次跳的成績都比較低，所以選明明去不保險。

師：你說的也有道理，選明明去有點不保險。

生3：我覺得還是選芳芳去比較好，因為芳芳4 次跳的都與平均數很接近，所以選她去跳出成績是152cm 的可能性是很大的。

生4：我覺得選明明去也可以，畢竟明明有1次成績很好，說明他有爆發力，讓他去賭一把吧。

師：我們在前面分析芳芳匯報的成績時，知道平均數可以反映一組數的一般水平，本來就用他們的平均成績來選就可以了，那為什么現在會出現這樣的爭議呢？

生：因為明明的4 次成績太特殊了，有1 次特別高，其余3 次又很低，所以這樣的平均成績很難說明他的一般水平。

師：說得真好。實際上，平均數通?？梢院饬恳唤M數據的一般情況，但也容易受到特殊數據的影響。

接著教師又向學生提出：現在軍軍跳了2次，成績分別是162cm、142cm，那他這2 次的平均成績是多少？

生：也是152cm。

師：如果從軍軍和芳芳兩位同學中選出一位，同樣也是跳一次決定勝負，你覺得應該選誰？

學生先根據圖6 分組討論后，再集體交流。

圖6

生1：我覺得還是選芳芳去。因為芳芳跳了4次的平均成績是152cm，而軍軍只跳了2 次，平均成績是152cm，所以選芳芳去比較保險。

生2：因為軍軍只跳了2 次，平均成績與芳芳是一樣的，軍軍接著跳，成績可能會更好，所以我選軍軍去。

生3：我不同意……

師：是呀！為什么軍軍和芳芳的平均成績一樣了，你們還會出現爭議呢？

生：因為軍軍只跳了2 次，而芳芳跳了4 次。

師：這說明跳的次數越多，平均數越能準確地反映這組數的一般水平。

評析：我們知道，一組數的平均數容易受極端數據的影響，這也說明一般情況下樣本的數據越多，平均數越能準確地反映這組數據的一般水平。但這些道理要讓四年級學生在第一次課時就完全理解是不可能的，而我們創設以上的質疑素材，只是讓學生達到初步的領悟。從以上教學中可以看到，我們已經達到了目的。