高維Euler方程組的強松馳極限

2019-11-28 11:38徐志琳林春進

吉林大學學報（理學版） 2019年6期

關鍵詞：對式初值范數

徐志琳,林春進

(河海大學理學院,南京 210098)

0 引言

考慮如下高維帶松弛項的Euler方程組：

(1)

其初始條件為

ρ(x,0)=ρ0(x),u(x,0)=u0(x).

(2)

這里:x∈n為空間變量;t>0為時間變量;ε>0為松弛常數;ρ(x,t)∈和u∈n分別表示流體在t時刻、x處的密度和速度;P=P(ρ)表示流體的壓強,對于任意的ρ>0,滿足P′(ρ)>0.

對于Euler方程組整體解的研究目前已有很多成果[1-12]：文獻[1]研究了一維Euler方程組在Lagrange坐標下解的大時間行為,并證明了當時間t→∞時,方程組(1)的解收斂于非線性擴散方程的解;文獻[5]用流函數的方法證明了等溫Euler方程組的解在有界變差的初值條件下收斂于熱傳導方程的解;文獻[6]利用熵變量研究了在初值充分小時,等溫Euler方程組的光滑解當ε→0時收斂于熱傳導方程的解;文獻[7]利用熵變量,將文獻[6]的結論推廣到包含等熵Euler方程組在內的一般Euler方程組上；文獻[8]將這類方法推廣到一般的松弛極限.但該方法對方程對稱子關于變量的依賴關系有較高要求.文獻[9]通過引入新的變量,利用Euler方程的等價形式得到了有效的能量估計,從而證明了解的整體存在性；文獻[10]在能量估計中利用密度關于時間t的偏導數估計,得到了解的整體存在性；文獻[11-12]利用該方法得到了類似的結果.但文獻[9-12]中只考慮了帶阻尼項的Euler方程解的整體存在性(即ε=1情形),由于缺少關于時間的一致先驗估計,因此不能直接用來處理松弛極限.文獻[13]討論了相互作用力下帶阻尼的Euler方程的極限模型；文獻[14-15]討論了帶阻尼的Euler方程強松弛極限在其他物理模型上的推廣.本文借助文獻[6-8]的方法和文獻[9-10]中能量估計的技巧,建立一般的可壓縮Euler方程組的解關于ε的一致先驗估計,從而獲得光滑解的整體存在性.

這里C和δ與參數ε和初值(ρ0,u0)均無關.

本文關于松弛極限的結論與文獻[6]一致,但獲得解的估計比文獻[6]更精細,且本文對松弛模型的研究方法可推廣至更一般的物理模型中.若無特殊說明,本文中C均表示一個與ε和初值均無關的正常數,但不同之處可表示不同的值.用α∈n表示多重指標,即α=(α1,α2,…,αn),其中αi∈,i=1,2,…,n,用|α|表示其階數,即|α|=α1+α2+…+αn.?α表示關于x的|α|階偏導數,‖·‖L2,‖·‖L∞,‖·‖Hk分別表示n上的L2范數、L∞范數和Hk范數.

1 一致先驗估計

(3)

其中

(4)

由式(3)中的質量守恒方程可得速度變量的散度為

(5)

對于(V,U)∈C([0,T];Hk(n)),定義能量泛函為

若Nε(T)≤δ,則根據Nε(T)的定義以及Sobolev嵌入定理,可知

(7)

由式(7)式,易見

(8)

下面進行能量估計,首先證明如下的L∞(Hk)估計:

命題1若擾動方程組(3)的解(V,U)∈C([0,T],Hk(n)),且滿足Nε(T)≤δ,則存在常數C,使得對于?t∈[0,T],有

下面估計式(10)右端的第一個積分,結合式(5),有

其中[,]表示交換子,即

[A,B]C=A(BC)-B(AC).

對于I1,通過分部積分,有

由式(7)知

則

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