基于余弦自卷積窗的高精度介質損耗角測量算法

張超，邱衍江，王維慶，王海云

(1．廣東電網有限責任公司廣州供電局，廣東 廣州 510620；2．可再生能源發電與并網技術教育部工程研究中心(新疆大學 電氣工程學院)，新疆 烏魯木齊 830047；3．廣東電網有限責任公司江門供電局，廣東 江門 529030)

在電力系統中，系統的安全穩定運行與絕緣條件有關。當高壓設備發生絕緣事故時，不僅會損壞設備，還會造成重大經濟損失[1]。電容型器件絕緣狀況可以通過介質損耗角(dielectric loss angle，DLA)這個重要指標進行衡量，它是目前預防性試驗的主要內容?？焖贉蚀_的DLA監測和計算可為電氣設備故障診斷提供可靠依據，為電力系統安全經濟運行提供重要保障。

目前主要通過硬件法和數字測量法對DLA進行測量，前者易受噪聲等外部條件干擾，導致不可忽略的測量誤差。后者主要包括高階正弦擬合法、過零時差法、濾波法和快速傅里葉變換(fast Fourier transform，FFT)及其改進算法。其中，FFT因為計算量小、易實現且直流分量和諧波分量影響小，應用最為廣泛[2-4]；然而，使用FFT方法測量設備的DLA很容易發生頻譜泄漏和柵欄效應[5-6]。為了減少異步采樣下的檢測誤差，一般采用截斷窗對信號進行加權，以減少譜泄漏對測量精度帶來的影響，最常用的截斷窗函數包括包括Hamming窗[7]、Hanning窗[8]、Nuttall窗以及各種余弦組合窗[9]。對于柵欄效應，通常使用雙譜線[10]、三譜線和四譜線插值校正算法[11-12]。

電容器件的DLA是一個微小的值，通常為0.001～0.02 rad；因此，測量算法必須在滿足檢測效率的前提下具有較高的分析精度。目前常用單窗函數旁瓣性能較差，雖運用簡便但無法達到高精度的工程要求；因此，通過卷積運算并以8項余弦窗為母窗構造余弦自卷積窗(cosine self-convolution window，CSCW)函數，同時考慮到主瓣性能和旁瓣性能指標，選用2階CSCW函數對信號進行截斷。多譜線插值算法檢測精度略高于雙譜線插值校正算法，但分析時延與計算量也隨之增加，無法實現高效、高精度檢測功能；因此，提出一種基于2階CSCW函數的雙譜線插值FFT高精度DLA測量方法，利用曲線擬合函數推導出實用的校正公式。通過仿真及對比分析，對所提DLA測量算法的檢測精度和實用性進行驗證。

1 基于CSCW的DLA測量原理

交流電壓下的電容型器件等效模型如圖1所示。其中：R為介質的等效電阻；C為介質的等效電容；IC為流過電容元件電流；IR為流過電阻元件電流；I(t)為流過電容型器件干路電流；U(t)為電容型器件端口電壓；I與U為I(t)和U(t)的模值；θ為通過電介質的電流與施加的電壓之間所夾相位角；δ為θ的余角，即DLA[13-14]。在實際應用中，δ的正切值tanδ(介質損耗因數)常用于表征介質損耗水平的特征值，對tanδ的測量可轉換為對δ的測量。在圖1中的電容性設備中加入電壓u(t)與電流i(t)：

u(t)=Umsin(ωt+φu)，

(1)

i(t)=Imsin(ωt+φi).

(2)

式中：φu、φi為電壓、電流的基波相位；Um、Im為所加電壓、電流的峰值；ω為角頻率；t為時間。

圖1 電容型設備絕緣等效電路與相量圖Fig.1 Equivalent circuit and phasor diagram of capacitive equipment insulation

根據圖1所示的電容器件等效模型，δ的測量公式由式(3)表示，即將δ的測量變換為求解電壓與電流基波相位的差值：

(3)

如上所述，DLA是一個微小的值，對算法的測量精度要求嚴苛。當電網中存在諧波或發生頻率波動時，由于頻譜泄漏現象及柵欄效應，會大幅度降低傳統FFT對于初相位參數的提取精度。為了提高DLA的測量精度，本文提出一種基于CSCW函數的雙譜線插值DLA測量算法。

余弦截斷窗是一種具有出色旁瓣性能的組合函數，相比于其他窗函數，可以很好地抑制遠程與近程頻譜泄漏，其時域表達式為[15-16]

(4)

式中：n=0,1,2,…,N-1，N為窗函數數據長度；M為函數的項數；bm為窗函數中第m項的參數系數，通過改變bm的取值，可以得到不同的余弦組合截斷窗。

余弦窗的離散傅里葉變換(discrete Fourier transform，DFT)為

(5)

(6)

式中：WN(ω)為余弦窗函數的頻域表達式；WR(ω)為矩形窗函數的譜函數。通常，數據長度N遠大于1，則余弦截斷窗的DFT為

(7)

CSCW可定義為幾個余弦窗函數的自卷積運算結果。p階CSCW序列由p個長度相同的余弦窗序列作p-1次離散卷積，并首尾補零所得，即

wp(n)=w(n)*w(n)*…*w(n).

(8)

式中wp(n)表示p階CSCW離散序列。

時域中的函數作卷積運算后再進行FFT運算，相當于分別進行FFT運算后得到的結果再進行乘積運算。簡而述之，時域卷積對應著頻域作乘積，則p階余弦自卷積窗的離散頻率響應

Wp(ω)=[W(ω)]p.

(9)

基于CSCW函數的插值FFT DLA測量算法主要包括加截斷窗、DFT、插值校正和DLA計算等步驟，算法流程如圖2所示。

圖2 算法流程Fig.2 Algorithm flow chart

待分析數據加CSCW窗并通過插值FFT運算，可有效降低譜泄漏和柵欄現象對參數檢測精度的影響，提高電壓、電流的基波相位參數的提取精度，實現高精度DLA測量。

2 基于CSCW的DLA測量算法

2.1 CSCW的頻域特性

根據式(7)繪制如圖3所示的典型余弦窗函數幅頻響應曲線。在0.5 Hz時，8項余弦截斷窗的旁瓣峰值電平為89.69 dB，旁瓣衰減率最大，相比于其他窗函數，其具有更加優良的旁瓣特性；因此，本文以8項余弦窗為卷積窗函數的原始母窗[17-18]。

基于8項余弦窗的1～4階自卷積窗函數的歸一化對數譜(N=128)如圖4所示?？梢钥闯?，隨著卷積階數p的增加，CSCW函數的旁瓣性能迅速提高，但主瓣寬度也隨之降低，且3階與4階卷積

圖3 典型余弦窗的幅頻響應曲線Fig.3 Frequency response of typical cosine windows

窗函數頻譜已經發生失真現象?？紤]到這2個因素，本文使用2階CSCW函數對信號進行加權，以有效地抑制譜泄漏對檢測精度的影響。

圖4 基于8項余弦窗的自卷積窗函數幅頻響應曲線Fig.4 Amplitude-frequency response curves of self-convolution window functions based on 8-term cosine window

2.2 基于2階CSCW雙譜線插值DLA測量算法

柵欄效應在異步采樣時發生，且待檢測的信號頻率不是采樣頻率fs的整數倍；因此第k個諧波頻率分析結果與之相對應頻點的真實頻率值不一致，需要進行插值校正。由于選用8項余弦窗為母窗，且以2階卷積窗為截斷窗，檢測精度在一定程度上已得到極大改善。為了減少計算量并改善延遲特性，本文選擇雙譜線插值校正算法。設第h次諧波準確頻點kh附近的2根譜線分別為kh-1和kh+1，譜線的幅值分別為y1與y2[19]，設共含H次諧波信號采樣后離散序列

(10)

式中Ah、fh、φh分別為第h次諧波的幅值、頻率、相位。

首先采用2階CSCW函數wp(n)對信號進行截斷，則信號的頻譜函數

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(11)

式中：k=0,1,2,…,N-1；Δf為頻率間隔。忽略負頻點處譜峰的旁瓣影響，式(11)可簡化為

(12)

為方便插值公式推導，忽略其他次諧波影響并單獨分析第h次諧波信號參數，則式(12)變為

(13)

記α=kh-kh-1-0.5，由于0≤kh-kh-1≤1，則α取值范圍是[-0.5, 0.5]。另記

(14)

將式(7)和式(9)代入式(14)，β可以被認為是α的函數，即β=f(α)。由于系數bm為實系數，頻率響應是偶對稱的，因此f(·)和f-1(·)均為奇數函數。在[-0.5, 0.5]區間取1組數據，代入可得1組β，利用MATLAB中polyfit(β,α, 7)函數對式(14)進行反擬合，表達式為

α≈0.300 5971β7+0.468 657 4β5+

0.937 500 4β3+3.750 000β.

(15)

求得頻偏后，可以通過式(16)對第h次諧波頻率參數進行校正：

(16)

式中Np為p階余弦窗函數長度。

第h次諧波的幅值與相位計算式為：

(17)

φh=arg(X(kh±1))-arg(Wp(-α±0.5)).

(18)

3 算法精度驗證

3.1 穩態信號檢測精確度對比分析

為了進行對比分析，分別采用加4項3階Nuttall截斷窗、Hanning截斷窗三譜線插值校正算法，加8項余弦截斷窗的四譜線插值校正算，加2階Hanning自卷積截斷窗(Hanning self-convolution window，HSCW)的雙譜線插值校正算法作為對照組，與本文算法共同對諧波信號進行參數估計。幅值、頻率及相位參數的檢測結果如圖5、6、7所示。

圖5 幅值相對誤差比較Fig.5 Comparison of relative errors of amplitudes

圖6 頻率相對誤差比較Fig.6 Comparison of relative errors of frequencies

從圖5可以看出，本文算法具有最高的基波和諧波幅度檢測精度，相對誤差小于10-14%。與其他分析算法相比，檢測精度有數量級的提高。例如采用4項3階Nuttall截斷窗時，2次諧波信號的幅值檢測相對誤差為10-5%，使用本文算法進行幅度檢測的相對誤差為10-14%，改善效果非常明顯。除此之外，雖然基于Hanning窗的DLA檢測算法針對6～14次諧波幅值參數的分析結果整體波動性最小，但參數的估計效果遠不如本文算法理想。

由圖6與圖7可見：采用本文算法對仿真信號的頻率及相位檢測相對誤差分別小于10-15%和10-12%；針對頻率參數檢測結果，除對照組中個別算法檢測誤差較大之外，其余算法均能夠實現高精度的頻率參數檢測功能；針對相位參數檢測結果，采用其他對照組算法的相位檢測相對誤差均大于10-9%。例如250 Hz諧波信號的相位檢測結果，采用基于2階HSCW的雙譜線插值校正算法的相對誤差為10-6%，本文算法相對誤差為10-13%，算法精度有了數量級的提高。因DLA測量精度主要依賴信號初相位參數的提取精度，本文算法的初相位參數檢測相對誤差為10-14%，可以高精度實現目標要求。

綜上所述，本文算法顯著提高了諧波信號參數檢測的準確性，能夠準確檢測基波及諧波的頻率特征值，實現較高精度的初相位提取功能，滿足DLA的檢測要求。

3.2 非穩態信號檢測精確度對比分析

頻率變動會導致頻譜間泄漏量的變化，將影響諧波參數估計的精度，仍采用第3.1節所使用的諧波信號進行頻率變動下的仿真分析。由于DLA的測量精度主要取決于電壓和電流初始相位的參數提取精度，因此下文著重于相位參數的比較分析。當基頻在49.5～50.5 Hz之間變化時，采用Nuttall窗的插值校正算法作為對照組與所提算法共同用于估計信號的相位參數，相對誤差如圖8所示。當信號頻率變動時，相位參數估計相對誤差比信號頻率不變動時降低約2個數量級，但檢測精度遠高于對照組算法，說明本文算法能夠有效克服頻率變動對信號相位參數估計精度的影響。

圖8 頻率變動時相位參數仿真結果的相對誤差分布Fig.8 Relative error distribution of the simulation results of phase parameters in frequency variation

在實際運用時，信號中往往含有豐富的噪聲，這會對信號分析準確度產生很大的影響。在信號模型上添加具有不同信噪比的白噪聲，并分別選擇Blackman窗、2階HSCW窗的雙線插值校正算法，8項余弦窗的四線插值校正算法為對照組，與本文算法進行仿真對比分析。信號基波相位參數的相對誤差分布曲線結果如圖9所示。

圖9 白噪聲下基波相位估計Fig.9 Fundamental phase estimation under white noise

由圖9可見，由于Blackman單窗的旁瓣性能較差，在添加白噪聲之后，基波信號的相位參數估計誤差變化很大。當噪聲強度較大，即信噪比(signal-noise ratio, SNR)小于30 dB時，相對誤差變化均較大，但是本文算法仍占據明顯優勢。例如：當SNR為30 dB時，本文算法的參數提取精度為10-4%，基于8項弦余弦單窗算法的檢測精度為10-3%；當噪聲強度較小時(SNR不小于40 dB)，所有算法的相位估計誤差均隨著SNR的增大而不斷減小。仿真結果表明：本文算法能有效抑制白噪聲對基波相位參數估計精度的影響，誤差變化明顯低于其他算法。

4 應用與討論

為了進一步驗證基于CSCW的雙線插值FFT DLA分析算法的有效性，在Simulink中搭建電容設備模型，并在注入諧波及加入白噪聲等情況下進行仿真分析。使用工具箱提取數據，分別采用加Hamming窗、加4項3階Nuttall窗、2階三角形自卷積窗(triangular self-convolution window，TSCW)插值校正算法為對照組，與本文算法進行仿真對比分析。

4.1 信號基頻變動時的仿真實驗與分析

在實際電網中，頻率在一定范圍內有波動性，因此必須考慮頻率波動對DLA測量精度的影響。有頻率波動但是無諧波且無噪聲時，電容型設備的等效電路和數字信號產生模型如圖10所示，其中C=50 μF，R2=10 kΩ，根據計算式δ=ωR2C得到δ理論值為0.006 366 1 rad。設電壓源如式(19)所示，頻率在±0.2 Hz范圍內波動，步長為0.1 Hz，采樣點數為512，分析結果如圖11所示。

U=311sin(50×2πft+30°) V.

(19)

圖10 基波頻率變動時的仿真電路Fig.10 Simulated circuit in fundamental frequency variation

由圖11可知，相同條件下本文算法的測量精度比對照組算法高。例如頻率在49.9 Hz時，本文算法測量誤差約為10-9%，比TSCW插值算法高了4個數量級?；贖anning窗插值算法檢測精度

圖11 基波頻率變動時DLA檢測值的絕對誤差分布Fig.11 Absolute error distribution of DLA detection values in fundamental frequency variation

最低，在頻偏較大時已產生嚴重檢測誤差。隨著頻率偏移，本文算法的DLA測量精度波動性較小。上述分析說明本文提出的算法克服了頻率波動的影響，具有較高的DLA測量精度。

4.2 有諧波注入時的仿真實驗與分析

在非同步采樣的情況下，當待分析的信號中存在諧波分量時會發生譜干擾現象，增加DLA的測量誤差。針對圖12所示的仿真模型，采用式(20)的信號進行實驗，設置同樣的頻率波動范圍及變化步長，采樣點數為512，仿真結果如圖13所示。

U=[311sin(50×2πft+30°) +

0.01sin(150×2πft+45°)+

0.006sin(250×2πft+60°)] V.

(20)

由圖13可以看出，當信號中存在諧波分量時，與第4.1節的檢測結果相比，所有算法的測量精度均有所降低。如頻率為50.1 Hz時，本文算法與基于Hamming窗插值算法的DLA檢測誤差值分別為10-9%和10-3%數量級，比無諧波干擾時均降低1個數量級。但橫向比較，本文算法仍具有明顯的精度優勢。

圖12 有諧波時的仿真電路Fig.12 Simulated circuit with harmonics

圖13 注入諧波時DLA檢測值的絕對誤差分布Fig.13 Absolute error distribution of DLA detection values with harmonics

如果諧波注入比改變，則諧波對基波的泄漏量也會改變，進一步探討諧波注入比例變化對DLA檢測精度的影響。3次諧波占電壓和電流諧波信號很大比例，因此將3次諧波的注入比例從0%提高至8%，并采用相同的仿真模型和測量方法，結果如圖14所示。

圖14 3次諧波注入比例變化對DLA測量的影響Fig.14 Influence of the 3th harmonic component on measurement of DLA

當3次諧波含量變化時，DLA測量誤差也會發生變化。例如，基于4項3階Nuttall窗插值校正算法在3次諧波比為8%時，檢測精度降低約1個數量級。由于CSCW函數可以有效地抑制諧波對基波的泄漏干擾，本文算法測量精度高于其他算法，可以克服諧波成分變化對DLA測量精度的影響。

4.3 有白噪聲時的仿真實驗與分析

在非實驗室條件下，噪聲不可忽略，它會大幅降低DLA的測量精度。有噪聲時電容型設備的等效電路如圖15所示，在式(20)的信號中添加不同信躁比的白噪聲，采用本文算法進行DLA測量。噪聲是隨機的，取100次測量的平均值以降低測量誤差，分析結果如圖16所示。

圖15 有噪聲時的仿真電路Fig.15 Simulated circuit with white noise

由圖16可知，DLA的檢測精度隨著信噪比的不同而改變。當噪聲強度較大時(SNR小于60 dB)，DLA測量誤差較大，誤差平均值約為10-2%～10-4%數量級；當噪聲強度較小時(SNR不小于60 dB)，誤差平均值小于10-6%數量級；本文算法誤差隨著信噪比的增大而不斷減小。仿真結果表明，本文算法能有效抑制白噪聲對DLA測量精度的影響。

圖16 存在白噪聲時DLA檢測值的絕對誤差分布Fig.16 Absolute error distribution of DLA detection values with white noise

4.4 不同采樣長度情況下的仿真實驗與分析

信號采樣長度對采用DFT算法的DLA測量結果有直接影響，增加采樣點數可提高頻率分辨率，同時伴隨著計算量的增加。采用第4.1節的電路模型及電壓信號進行仿真，設卷積窗長為256點、512點、1 024點、2 048點及4 096點對信號進行加權，DLA測量結果的絕對誤差如圖17所示。

圖17 不同采樣點數的DLA檢測值的絕對誤差分布Fig.17 Absolute error distribution of DLA detection values at different sampling points

由圖17可知，采樣點數為512時，DLA測量的絕對誤差為10-10%數量級，滿足檢測要求，之后隨著點數增加，測量精度不會顯著提高；因此，當實際工程要求不是很高時，選擇合適點數可以實現較高的計算精度，還可以減少計算量和分析延遲。

5 結束語

在非同步采樣的情況下，頻譜泄漏和柵欄效應會降低FFT對電容器件的DLA的測量精度，不能滿足實際工程應用的需要。本文通過卷積運算，以8項余弦窗作為原始母窗構建p階CSCW函數，所提出的窗函數具有比經典窗更好的旁瓣性能，并選用2階CSCW對信號進行加權；然后基于雙譜線插值原理，提出了一種加2階CSCW函數的雙譜線插值校正算法；利用MATLAB的polyfit函數求出插值校正公式，實現DLA的高精準測量分析。精度實驗結果驗證了本文算法的正確性和有效性，并且具有比其他算法更高的檢測精度。最后，將本文算法應用于電容型設備的DLA測量并與對照組算法進行對比分析，結果表明該方法適合于DLA的精確測量。