GM（1,1）預計模型時序長度選擇對大型建筑沉降預測精度的影響

王正虎，谷村村

（寧波上航測繪有限公司，浙江 寧波 315200）

1 引言

大型建筑物的垂直位移是一個復雜的空間和時間問題，研究大型建（構）筑物垂直沉降發生的原因、過程以及預測未來一段時間內的下沉趨勢，對建構筑物的安全運營具有重大的指導意義?；疑A計模型目前已經在大型建（構）筑物沉降監測等方面取得了較為廣泛的應用，但是，在應用方面仍存在著部分問題，其中一個就是在預測時的數據時序長度選擇。大型建（構）筑物在垂直監測時短則幾年，長則幾十年，外業測量數據量巨大，用來建模的時序數據長度選擇是一個難題。本文依據地表移動下沉中3個階段的下沉臨界速度為分界點，對基于大型建（構）筑物沉降速度的GM（1，1）預計模型中時序數據長度的選擇進行研究。主要方法是基于監測點實測數據，按照下沉界限速度把數據進行處理并分為2類：下沉速度大于界限速度和不大于界限速度，經過建模和預計并作相關分析。

2 GM（1，1）模型

GM（1，1）模型是灰色系統眾多預測模型中的一種模型，是以數學理論為基礎研究部分信息清楚、部分信息不清楚并帶有不確定性現象的一門新興系統工程學科[1]，主要通過對“部分”已知信息的生成、開發，提取有價值的信息，實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控[2]。目前，我國建筑垂直變形監測領域的數據十分龐大，數據的灰度較大，并且沒有典型的分布規律，有時采用傳統的數理統計方法往往難以分析其規律，而采用灰色系統理論的預測模型效果更好些[3]。近年來，灰色預計模型在垂直位移變形預計方面得到了廣泛的應用，其中最常用的就是GM（1，1）模型。

3 GM（1，1）模型的建立

1）原始數據累加處理：

設x0（1），x0（2），…，x0（n）是原始數據，對原始數據進行一次累加處理，處理后生成新數列x1（1），x1（2），…，x1（n），其中，

2）建立白化形式微分方程，即將新數列對時間t求一次偏導[4]，得式（2）：

3）式（2）記為 GM（1，1），其中a，u為灰參數，其白化值（灰區間中的一個可能值）為a^=[a，u]^T；利用最小二乘法求解得白化值的式（3）：

式（3）中，Yn=[x(0)（2），x(0)（3），x(0)（4），…，x(0)（n），]。

4）預計模型的建立：

4 精度評定

利用GM（1，1）預計模型進行垂直位移預測時，需對預計模型進行檢驗，確定模型精度等級，保證預計質量。對其預計模型精度評定方法有殘差大小檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗3種[5]，一般最常用后驗差方法檢驗，由后驗差比值C和誤差概率P共同描述，在本文實例中評定模型精度主要依據后驗差檢驗方法。

1）計算殘差e（k）：

2）計算原始序列x（0k）和殘差e的方差和

3）計算C和P：

4）模型精度等級判斷：模型精度等級=max{P所在級別，C所在級別}，根據C、P預測模型精度。

5 實例應用

垂直變形過程通常以下沉速度為標準，把垂直變形下沉劃分為開始、活躍和衰退3個階段。此次以地表沉降臨界速度是1.67mm/d為準，活躍階段速度＞1.67mm/d，開始和衰退階段＜1.67mm/d，選擇沉降速度分別＞1.67mm/d和＜1.67mm/d的監測點的實測數據作分析討論。

5.1 數據預處理

由于受到施工環境和天氣等因素影響，外業測量時間間隔不等，造成了監測點數據周期非等時，在建模前可以對數據作插值等時序化處理。利用MATLAB工具對2種數據分別進行3次樣條擬合插值作等時序化處理。對原數據等時序處理后，對2類數據分別選取15期等時序數據用于分析時序數據長度對模型精度和預測精度的影響。

5.2 建模

對15期等時序數據，分別以第1～第14期…第11～第14期的監測數據作為建模數據，第15期數據作為檢驗，分別建立11個GM（1，1）預計模型并預測各個沉降監測點第15期的數據，并與第15期實測數據比較。本文選取T112、T113、D15和D16等4個監測點作為代表進行分析。其中，T112和T113沉降速度＜1.67mm/d，D15和D16沉降速度＞1.67mm/d。利用MATLAB工具對數據進行計算，得出各點的后驗差比值、誤差概率、模型相對誤差和殘差值等，如表1所示。

通過模擬和預測結果可以看出，4個監測點預測模型P值均為1，C＜0.2，可見所建立模型精度等級均為“好”。對于同一監測點講，選擇不同時序數據長度建立的預測模型的預測值差別較大，特別是沉降速度＞1.67mm/d的監測點。下面分別作預測模型中不同長度時序數據和C、模型相對誤差和殘差等的關系圖，作進一步分析比較。

表1 各監測點模擬和預測結果

C與各個長度時序數據模型關系圖如圖1所示。

圖1 C與時序長度關系變化曲線圖

可以看出，沉降速度相近的T112和T113監測點各個時序長度預測模型的C也非常接近，且具有相同的變化趨勢，并在5-14的預測模型處取得最小值。同理，D15和D16號監測點對應不同時序數據長度模型的后驗差比值C也非常相近，具有相同的變化趨勢，在7-14預測模型取得最小值。經過比較，D15和D16號監測點取得C最小值時序數據長度比T112和T113監測點取得C最小值的時序數據長度短。

通過表1作T112、T113和D15、D16監測點的模型相對誤差隨不同長度時序數據對應模型的變化圖，如圖2a所示。從圖2a可以發現，T112、T113監測點各個監測模型的相對誤差本身就很小，都小于0.001%且變化平穩，當數據長度為4時，相對誤差驟降；通過圖2可以發現D15、D16監測點對應各個GM(1,1)預計模型的相對誤差比較大，隨著時序數據長度的減小，相對誤差也逐漸變小，從6-14期數據對應的模型開始，D15和D16監測點對應的模型相對誤差開始變小。經過計算發現D15和D16監測點的數據長度和相對誤差具有很強的相關性，相關系數均為0.92。

同時，作T112、T113和D15、D16監測點的殘差值和不同時序數據長度對應模型的變化圖，結果如圖2b所示。

通過圖2可以看出，T112、113號監測點均以9-14期數據為建模數據的預測模型精度最高，殘差值為1mm，此時預測值與實測值最接近，建模數據時序長度為6；通過圖2看出，D15、D16號監測點以6-14期、7-14期和8-14期數據為建模數據的預測模型中精度較高，其中，以6-14期數據為建模數據的預測模型精度最高，殘差值最小分別為1mm和2mm，此模型預測值與實測值最接近，建模數據時序長度為9。當監測點下沉速度＜1.67mm/d時，每個等時序階段內的下沉值較小，而且穩定性較好，可以判斷用模型預測時不需要過長的時序；當監測點下沉速度＞1.67mm/d時，日沉降量起伏較大，造成了等時序時間段內數據變化較大。

圖2 監測點各個模型誤差變化圖

6 結語

根據灰色系統預計模型精度評定標準，無論是處于下沉開始或衰退階段的T112、T113號監測點，還是活躍階段的D15、D16，按照不同時序長度構建的11個模型的精度均在“好”這一等級范圍內。同時處于下沉開始或衰退階段預測模型預測結果也較好，殘差值均在10mm內，可以用來預測監測點第15期數據；當監測點下沉速度＞1.67mm/d，處于下沉活躍階段時，最大的殘差值達上百毫米，這不能保證其準確性。在本次實例應用中得出監測點下沉速度＞1.67mm/d時，建模時序數據長度宜為7～9，即選擇8期左右的時序長度數據作為建模數據，建模數據不宜過長。

通過以上實例應用分析，可以得出以下結論：

1）無論監測點下沉速度大小，都可以按照下沉階段的臨界速度分為2類數據處理，分別是下沉速度＞1.67mm/d，處于下沉活躍階段和下沉速度＜1.67mm/d，處于下沉開始或衰退階段。

2）GM（1,1）預計模型的預測精度可達毫米級，能夠在一定程度上解決實際工程中沉降監測數據因漏測、點位丟失和天氣環境等無法獲得數據的問題，保證大型建（構）筑物安全。

3）當監測點下沉速度＜1.67mm/d時，日下沉值小且穩定，基本上以不同長度時序數據建立的模型都符合灰色預計模型的精度要求，但以6期左右長度的時序數據作為建模數據并預計較好。

4）當監測點下沉速度＞1.67mm/d時，監測點日下沉值大而不穩，利用預計模型進行預計時，需要選擇8期左右的長度時序數據作為建模數據進行建模和預測。