具有雙疾病的隨機SIRS傳染病模型的滅絕性與持久性分析

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(廣西師范大學數學與統計學院，廣西桂林541006)

長期以來, 傳染病的流行給人類健康造成巨大傷害, 人們一直很重視傳染病的預防和控制, 因為它一旦失控, 輕則危及人的生命, 重則影響種族延續和國家的存亡。傳染病的防控不僅是公共衛生問題, 更是公共安全問題, 因此，傳染病的研究吸引了大量學者，運用數學建模建立了很多傳染病模型[1-5], 研究其傳播規律, 通過人為干預來切斷疾病的傳播途徑, 從而達到控制疾病傳播的目的。但是大多數學者在建立數學模型時只考慮了一種疾病的影響, 而在實際生活中, 同一個群體中可能同時存在2種疾病, 因此也有部分學者研究了雙疾病傳染病模型的動力學行為[6-8]， 例如Meng等[7]研究了一類具有雙疾病的非線性隨機SIS傳染病模型:

(1)

(2)

該文獻主要考慮的是第一種疾病是關于染病者的飽和發生率, 第二種疾病是關于易感者的飽和發生率, 應用相應的隨機微分方程的知識得到了環境干預下疾病滅絕與持久的條件以及白噪聲強度對疾病所產生的影響。

由于在實際生活中, 當染病者數量增加時, 傳染率趨于飽和狀態, 疾病的流行在一定程度上會受到心理因素的影響[12], 當染病者的數量增加, 人們開始重視, 從而通過采取一些措施(如隔離、媒體宣傳等)來控制接觸率, 進而降低傳染率。因此, 為了更好地描述心理因素對疾病的影響, 對第一種疾病和第二種疾病都采用關于染病者的飽和發生率, 根據相關的染病機制, 建立如下的SIRS傳染病模型：

(3)

(4)

1 全局正解的存在唯一性

定義正不變集為

對于模型(4), 首先考慮其正解的全局存在唯一性。

τη=inf{t∈[0,τe):S(t)≤η或I1(t)≤η或I2(t)≤η或R(t)≤η}。

其中

因此

(5)

對式(5)兩邊同時從0到τη∧T積分, 并取期望, 則有

EV(S(t),I1(t),I2(t),R(t))≤V(S(0),I1(0),I2(0),R(0))+KT。

因此

其中χΩ是Ωη的示性函數。令η→0, 則有

∞>V(S(0),I1(0),I2(0),R(0))+KT=∞,

矛盾, 所以τ0=∞ a.s., 即模型(4)存在唯一的全局正解。證畢。

2 疾病的滅絕與持久

2.1 疾病的滅絕

本節主要討論在白噪聲干預下模型(4)中兩種疾病都滅絕的條件, 定義隨機基本再生數為

(6)

或

(7)

則SDE模型(4)中的兩種疾病都滅絕。

證明根據It公式, 有：

(8)

對式(8)兩邊積分, 有：

(9)

其中

(10)

此時

(11)

對式(11)兩邊同時除以t,得：

(12)

因為Mi(t)(i=1,2)是一個局部鞅, 根據鞅的強大數定理[14], 有：

對式(12)兩邊取上確界再取極限得：

(13)

根據式(9), 有

(14)

因此

注此定理說明白噪聲在一定強度下, 兩種疾病都滅絕, 并且由條件(6)知, 大的白噪聲強度會抑制疾病的爆發。

2.2 疾病的持久性

研究流行病動力學行為, 除了關心疾病在什么情況下滅絕, 也關心疾病在什么情況下流行, 并長期存在。因此, 本節將討論兩種疾病在時間均值意義下的持久性。

定理3令(S(t),I1(t),I2(t),R(t))是模型(4)關于初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))∈Γ的解, 則有：

其中

(15)

因此,

(16)

對a1lnI1(t)+I1(t)運用It公式, 有：

(17)

對式(17)從0到t積分, 并且兩邊同時除以t, 再根據式(16)有：

(18)

所以

(19)

根據式(18)、(19)有：

(20)

根據式(20)有：

當0≤I1(t)≤1時, 有：

(21)

當I1(t)≥1時, 有：

(22)

(23)

對a2lnI2(t)+I2(t)運用It公式, 有：

(24)

對式(24)從0到t積分, 并且兩邊同時除以t, 再根據式(19)、(23)有：

(25)

根據式(25), 當0≤I2(t)≤1時, 有：

(26)

當I2(t)≥1時, 有：

(27)

③根據式(15)、(19)知：

(28)

定義如下Lyapunov函數

對上式兩邊積分, 根據式(28), 則有：

所以

(29)

對式(29)取下確界再取極限, 令t→∞, 則

定理得證。證畢。

3 數值模擬

在本節中, 為了驗證所得結論的正確性, 利用Milstein方法[16-17]和Matlab 軟件數值模擬不同白噪聲強度對疾病持久性和滅絕性的影響。將模型(4)離散化可得到如下形式

選擇初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))=(10,7,5,5), 參數取值如下:Λ=4,μ=0.25,β1=0.7,β2=0.8,a1=10,a2=10,α1=0.4,α2=0.3,δ1=0.1,δ2=0.2,γ=0.3。

圖1 隨機系統(4)關于初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))=(10,7,5,5)的路徑Fig.1 The path of S(t),I1(t),I2(t) and R(t) for the stochastic model (4) with initial values (S(0),I1(0),I2(0),R(0))=(10,7,5,5)

4 結論