追求深度學習的高三數學課堂實踐與思考①
——以“離散型隨機變量分布列、期望與方差”復習課為例

伍春蘭 許綺菲

(1.北京教育學院數學系 100120；2.北京市第一七一中學 100013)

1 問題提出

高三數學復習，很多老師以任務重、時間緊、學生差為由，讓學生長時間、高密度、低思維地刷題，選題考題做題講題成為課堂常態. 可各種的題海之術，各樣的“嚴防死磕”，效益并不高，令師生苦不堪言.

實踐表明，盲目大量做題，缺少高階思維的淺層學習，既不利學生成績的提高，也有害身心的健康，更無助核心素養的發展. 我們認為學生的深度學習，可以減輕重負低效的復習現狀.

深度學習可以追溯到20世紀50年代，布盧姆(Bloom)等人將認知維度從低到高分為六層：識記(Knowledge)、理解(Comprehension)、應用(Application)、分析(Analysis)、綜合(Synthesis)和評價(Evaluation)，體現了學習的深淺[1]. 美國學者Ference Marton和Roger Saljo設計了學生閱讀的實驗，針對兩種相對立的學習方式，借鑒布盧姆認知維度層次理論，于1976年首創了深度學習(Deep Learning)和淺層學習(Surface Learning)概念[2]. 隨后，深度學習得到不少學者的進一步研究和發展. 我國學者2012年前后開始關注深度學習，研究成果逐年上升. 迄今，深度學習的認識并不統一，但就深度學習認知層面上的理解，基本達成一致. 即，按照布盧姆認知領域學習目標分類，淺層學習的認知水平只停留在“識記、理解”；而深度學習的認知水平則對應“應用、分析、評價、創造”[3].

我們主張的學生深度學習的數學教學，就是學生以主動積極的情感，將思維特別是高階思維貫穿到數學學習過程的始終，不僅關注知識技能“是什么”“怎樣用”，還要探究知識技能的來龍去脈，逐步養成思維參與學習的自覺意識.

下面以2019年第五屆北京市示范性高中同課異構教學研討會的“離散型隨機變量分布列、期望與方差”復習課為例，探求高三數學復習課學生深度學習的可行路徑.

2 前期分析

2.1 前測：了解學情

2.1.1前測設計

本節課的學習者為北京市某示范校高三年級中等水平學生，共計29名. 借班上課的教師，課前訪談該班任課教師，得知：學生已經復習了概率與統計主線相關內容，大部分學生在高二學習時對于一些概念沒有深入理解，沒有建立起對該部分知識的完整結構，因而在高三復習過程中他們期待對單元知識的全面梳理、系統建構和實踐指導.

為進一步了解學生“離散型隨機變量分布列、期望與方差”現有狀態，特命制考查知識點相對單一的A卷(共13個小題)，及需要對該部分知識總結、比較、區別、評論的B卷(共2個大題). B卷題1出自2016—2017年北京市西城區高三年級第一次模擬考試數學理科試卷第17題，該題以試題難度為背景，考察用樣本估計總體的離散程度，以及離散程度參數的統計含義的理解(圖1)；題2選自2018—2019年北京市海淀區高三年級第二次模擬考試數學理科試卷第16題，該題以某快餐連鎖店招聘外賣騎手為背景，考察用樣本估計總體的集中趨勢，以及集中趨勢參數的統計含義的理解. 兩題都需要學生從大段文字中提取相關信息，利用學過的有關知識，用統計與概率的視角分析、解決問題.

圖1 前測B卷題1

2.1.2結果分析

(1)A卷測試統計結果(圖2)表明，知識點相對單一，只需簡單描述、記憶、復制知識的題目，學生完成得較好.

圖2 前測A卷統計結果

(2)B卷兩題的第二問，正確率各為70%及84%(圖3)，原因之一就是部分學生超幾何分布和二項分布概率模型混淆. 比如，有兩名學生試卷顯示，在兩種概率分布模型中徘徊后，選擇了超幾何模型. 部分學生對不同概率模型的適用情境分辨不清，因此也無法選擇恰當模型求解. 兩題的第三問，正確率僅各為28%及46%(圖3)，說明大部分學生不能區分呈現材料的相關與無關部分及重要與次要部分，不能準確確定呈現材料背后的觀點，傾向或意圖.

圖3 前測B卷統計結果

總之，在具體問題情境中，學生基本上能讀懂可視化表格呈現的數據，會簡單地判斷或推斷，解決簡單問題尚可. 如前測A卷除去第6題(正確率85%)及第13題(正確率89%)外，正確率均在90%以上；前測B卷兩個題目第一問，正確率分別達到97%與96%. 但是大部分學生把多個信息恰當聯系使用困難，不同數據表示形式之間的靈活轉換不及，所解讀到的數據信息清晰表達以及推斷不足，對不恰當的數據處理或說法主動提出質疑不夠，靈活選用理論或實驗的途徑解決概率問題欠缺.

2.2 教法：深度學習

教師訪談和學生調研，發現了學生學習困惑，以此確定了3個教學任務.

任務1以B卷題1第二問的學生解答為情境，期望幫助學生辨別、區分超幾何分布及二項分布概率模型的適用情境，選擇恰當模型求解. 其教學流程是：感性判斷—回憶提取—解釋舉例—比較—區分—檢查. 任務2以B卷題1第三問的學生解答為資源，通過生生、師生對話交流，區分呈現材料的相關與無關部分及重要與次要部分，確定呈現材料背后的觀點，傾向或意圖；嘗試判斷、評論，初步獲得自主復習的能力. 其教學流程是：感性認知—推斷總結—區別—組織—實施—檢查評論. 任務3課下研究并完善B卷題2解答，達成鞏固復習效果、累積活動經驗，及提升思考水平的目標.

3 片斷回顧

3.1 迷失概念(misconception)的轉化

迷失概念是概念偏離科學性或產生遷移(應用)障礙的一種現象. 利用前測B卷第二問兩位學生的錯答和正答(圖4)，針對學生超幾何分布與二項分布概率模型的迷失，設計了問題情境與遞進的4個問題(圖5).

圖4 B卷題1第二問兩位學生的錯答和正答

圖5 任務一情境與問題

3.1.1誘導思考

以同伴的作答為情境，點燃了學生的內驅力，因為多數學生都沒有十足的把握區分兩種不同概率模型. 無論是否做對，學生都渴求知道“為什么”. 此時學生完全沉浸在兩個概率模型的探究中，思維被激活.

3.1.2由淺及深

學生L(先選擇二項分布概率模型計算，后劃掉，再利用超幾何模型計算者)，回顧解題過程時說：開始只是直覺，后再看題目(20人中選取2人)，覺得應該用超幾何模型計算. 但無法進一步解釋，其他同學也沒有更好地補充. 于是教師逐次拋出問題1至問題4(圖5).

學生Z(圖4錯答者)積極要求回答問題3，“圖4中右側答案正確，因為超幾何分布是不放回抽取，二項分布是有放回抽取(獨立重復)；計算超幾何分布中事件{X=k}發生的概率時需要知道總體的容量；當總體容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布. ”看到學生臉上洋溢的收獲的喜悅，教師也由衷的夸獎：“你把老師要說的話都說了”.

師生在課堂活動中建立積極、友善的心理環境，提升學習興趣和積極的情感體驗. 學生通過回憶提取、解釋舉例、區分辨別，評價創造等思維活動，實現了超幾何分布與二項分布概率模型這一組迷失概念的轉化.

3.2 高階思維(higher-orderthinking)的發展

教師以B卷題1第三問的學生C作答(圖6)為情境，兩次引導學生判斷、評論. 第一次評議時，教師適時提出問題：能否體會C同學的統計量設置的想法？這個統計量的設置是否能體現樣本數字特征，為決策提供依據？在思維碰撞中，學生對于“方差”在結構中的合適位置與作用，對于設置更能反映樣本數字特征的統計量有了進一步認識，同時有了探究試題預估難度標準的訴求. 在學生合作得出評分標準后，教師第二次引導學生評議學生C的“作品”.

圖6 B卷題1第三問學生C的作答

學生C的分享得到老師、同學充分肯定后，也對自己作答進行了反思：我做法的問題是沒有對試卷整體合理性做出評價，如果加上“若5個題目都預估合理，則整張試卷預估合理”就可以了. 教師及時點評：我認同你的統計量設置思路和剛才的修正，統計思想與確定性思想，歸納推斷與演繹證明存在差異，我們尋求更科學的統計結果為決策提供依據.

4 回顧啟示

4.1 復習教學的定位

提升解題能力需要累積活動經驗，需要融會貫通、舉一反三，而缺少思考的大量重復練習的復習課，很難擔此重任. 因此復習要設計有思維含量的活動，組織、引導和激勵學生實現數學的深度學習：構建知識結構；拓展知識技能；感悟思想方法；提升學習能力；發展核心素養.

4.2 學生調研的利用

前期調研，不僅暴露了學生部分問題，也成為教學的真正起點. 前測B卷，密切聯系學生生活和現實生活，半開放題型具有挑戰性又在學生最近發展區內，使學生愿意卷入其中. 通過查閱標準答案、借助于學習軟件等方法，學生無法判斷自己的作答是否正確，他們希冀得到教師與學習同伴的幫助. 利用B卷題1的學生作答，引發學生思維沖突，教師的適度跟進與點撥，使學生學習過程中思維高度參與.

4.3 交流水平的提升

學會數學地交流是我國數學教育的重要課程目標之一，是深度學習的體現. Kimberly Hufferd-Ackles等學者從問題的提出、數學思考的闡述、數學觀點的來源、學習的責任，就學習共同體中師生的參與程度，劃分了數學交流的4個水平(0級-3級)[4]. 本節課數學交流處于較高水平(2級)，即教師將學生的錯誤生成為學習資源，持續地以探究性和開放性的問題促進學生的思考與交流，支持學生暴露自己的所思所想，深入地了解學生的思維，進而采用相應策略以加深學生對知識的理解；學生則分享、解釋、澄清自己的想法和策略，其他學生認真傾聽以相互理解，并在結對交流和全班討論中實現深度學習.

在教學實踐中，引導學生會學數學，會用數學的眼光觀察、數學的思維分析、數學的語言表達，將數學核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程，這是我們為之努力的方向.