三角形費馬點的再推廣

儲炳南

(安徽省合肥市第四中學 230601)

1 問題的提出

1640年，費爾馬提出如下問題：“在平面上給出A、B、C三點，求一點P使距離和PA+PB+PC達到最小.”這就是數學史上著名的“費爾馬問題”.特別地，點A、B、C三點不共線時，使PA+PB+PC最小的點P稱為△ABC的費爾馬點.

文[1]把費馬點問題推廣到“兩定點、一條定直線”的情形，下面筆者再對“費馬點”問題做出如下推廣：

推廣一在平面內，已知三條定直線l1、l2、l3，在平面內求一點P，使點P到直線l1、l2、l3的距離之和最小.(不考慮“三線共點和三條直線中有平行直線”的平凡情況)

推廣二在平面內，已知兩條定直線l1、l2和一個定點A，在平面內求一點P，使點P到直線l1、l2和點A的距離之和S最小.(不考慮“點A在直線l1或l2上和l2∥l2”的平凡情況)

2 問題的解決

2.1 推廣一的解決

圖1

設直線l1、l2、l3兩兩相交于不同的三點A、B、C，且BC=a，AC=b，AB=c，P點到三條直線l1、l2、l3的距離分別為x、y、z，三角形△ABC的面積為S.為了證明的方便，不妨設a≥b≥c,

“=”當且僅當y=z=0時成立，即此時點P與點A重合.所以當平面上三條直線l1、l2、l3兩兩相交于三個不同的點A、B、C時，點P到l1、l2、l3的距離之和的最小值恰為△ABC的最長邊上的高，并且最小值在點P與最長邊所對的頂點重合時取得.

2.2 推廣二的解決

設兩條定直線EF與MN相交于點O，定點為A，下面筆者根據EF和MN，以及定點A的相對位置進行分類求解S取得最小值時的最優點.

情形一點A在兩直線EF和MN所成的鈍角區域內(只需考慮點A在∠MOE內部的情形，點A在∠FON內部的情形同理可證.)過點O分別作直線EF、MN垂直的射線OG、OH，將∠MOE內部分成三個區域，即∠HOE內部，∠HOG內部，∠GOM內部，下面分三種情況：

設點P是平面內任意一點，過點P作PB⊥MN，PC⊥EF，垂足分別為B，C，則S=PA+PB+PC.

圖2

(1)當點A在∠HOE內部(如圖2中陰影部分，包括邊界)時，過A點作MN的垂線AQ，垂足為Q，此時AQ與EF必相交，記交點為P0，則當P點與P0重合時，S取得最小值為AQ，證明如下：

S=PA+PB+PC≥PA+PB≥AB≥AQ，

“=”當且僅當P與P0重合時成立.

(2)當點A在∠GOM內部(如圖3中陰影部分，包括邊界)時，過A點作EF的垂線AQ，垂足為Q，此時AQ與MN必相交，記交點為P0，同理可證明當P點與P0重合時，S取得最小值為AQ.

圖3

圖4

(3)當點A在∠HOG內部(如圖4中陰影部分，包括邊界)時，下面證明此時O點即為最優點，S的最小值為AO.

①當點P在∠GOM內部(包括邊界)時，如圖4所示，由于∠AOC≥∠GOC=90°，

所以AC≥AO.

而S=PA+PB+PC≥PA+PC≥AC≥AO，

即S≥AO.

②當點P在∠HOE內部(包括邊界)時，如圖5所示，類似①，可證：S≥AO.

圖5

圖6

③當點P在∠HOG內(如圖6所示)時，

因為∠POB+∠POC>90°，

所以90°>∠POB>90°-∠POC>0°，

所以sin∠POB>sin (90°-∠POC) =cos∠POC，

所以S=PA+PB+PC

=PA+PO(sin∠POB+sin∠POC)

>PA+PO(cos∠POC+sin∠POC).

因為∠POC為銳角，

所以cos∠POC+sin∠POB>1，

所以S>PA+PO(cos∠POQ+sin∠POQ)

≥PA+PO≥AO，

即S>AO.故無解.

④當點P在∠MOF(或∠EON)內部(包括邊界)(如圖7所示)時，

S=PA+PB+PC≥PA+PC≥AC≥AO.

綜上可知：當點P與點O重合時，S取得最小值.

圖7

圖8

情形二若直線EF與MN的夾角為直角時(如圖8所示)

設P是平面內不同于O的任意一點，過點P作MN、EF的垂線,垂足分別為B、C.

因為S=PA+PB+PC≥PA+PO≥AO，

所以當點P與點O重合時，S取得最小值.

圖9

情形三點A在兩直線EF和MN所成的銳角區域內時，過點A分別作MN，EF的平行線，交EF、MN于點G、H(如圖9所示).

下面首先證明最優點P應在平行四邊形OGAH內.

若點P在平行四邊形OGAH邊AH的上方的區域內，如圖9所示，過A、P分別作EF的垂線，垂足分別為R、C，又過A、P分別作MN的垂線，垂足分別為Q、B.

因為PC>AR，且PA+PB≥AQ，

所以PA+PB+PC≥AQ+PC≥AQ+AR，

所以，P點沒有A點好，即點P不會在AH的上方的區域內.同理可證，點P不會在AG右邊的區域內.

下面再證明點P不會在直線EF的下方.

圖10

當P點在EF下方時，過點P作PB⊥MN，PC⊥EF，垂足分別為B，C.過點C作CD⊥MN，垂足為D.如圖10所示.

因為PA+PC>AC，PB>CD，

所以PA+PB+PC>AC+CD，

所以P不可能在EF的下方.

同理可得P不可能在MN的左邊，所以P點的最優點只可能在平行四邊形OGAH內部的區域.

圖11

(1)當∠FOM<60°時,P點最優點為點A(如圖11所示)，證明如下：

在平面內任意取不同于點A的一點P，過點A分別作EF、MN的垂線，垂足分別為K、Q，又過點P分別作AQ、AK的垂線，垂足分別為G、H，記PA與EF的夾角∠APH=α，PA與MN的夾角∠APG=β，則P點到MN、EF和點A的距離和為：

S=PA+PB+PC=PA+GQ+HK

=PA+AQ+AK-AG-AH

=PA+AQ+AK-PA(sinα+sinβ)

>PA+AQ+AK-PA=AQ+AK,

所以，P點沒有A點好，即A點為最優點.

圖12

(2)當∠FOM=60°時,記∠FOM的平分線為OX，不妨設點A在OX的上方(包括OX)，過點A作OX的平行線，交MN于點T，可證明AT上任意一點均為最優點(如圖12所示).

證明如下:

過點A分別作EF、MN的垂線，垂足分別為K、Q，又過點P分別作AQ、AK的垂線，垂足分別為G、H，記∠APH=α,∠APG=β,

S=PA+PB+PC=PA+GQ+HK

=PA+AQ+AK-AG-AH

=PA+AQ+AK-PA(sinα+sinβ)

≥PA+AQ+AK-PA=AQ+AK.

“=”當且僅當α=β時成立，由α=β可知此時點P在AT上，所以，AT上任意一點均為最優點.

(3)當∠FOM>60°時，設∠AOF=α，∠AOM=β，∠POA=θ(θ

因為α+β=∠FOM∈(60°,90°)，

所以α、β中至少有一個不小于30°，

不妨設α≥β，所以α>30°，

下面對β進行分類加以證明：

①當β≥30°時,作點A關于EF和MN的對稱點A′和A″，再分別過點A′和A″作MN和EF的垂線，垂足為H、G，過點P作OA的垂線，垂足為K(如圖13所示).

圖13

因為∠MOA′=2α+β>90°，所以垂足H在ON上，同理可證垂足G在OE上.此時，P點的最優點為點O，證明如下：

因為θ

S=PA+PB+PC

=PA+OP[sin(β+θ)+sin(α-θ)]

≥AK+OP[sin(β+θ)+sin(α-θ)].

因為α>30°，β≥30°，

所以S>AK+OP[sin(30°+θ)+sin(30°-θ)]

=AK+OPcosθ=OA.

所以O點為最優點.

② 當β<30°時，如果∠FOA″=α+2β≥90°，即過A″作EF的垂線，垂足為G在OE上.過點P作OA的垂線，垂足為K(如圖14所示).

圖14

(i)當點P在∠AOF內部(如圖14所示)時，

由α+2β≥90°?α≥90°-2β

?90°>α-θ≥90°-2β-θ>0

?sin(α-θ)≥sin(90°-2β-θ)

?sin(α-θ)≥cos(2β+θ)，

S=PA+PB+PC=PA+OP[sin(β+θ)+sin(α-θ)]

>AK+OP[sin(β+θ)+cos(2β+θ)]

=AK+OP[sin(β+θ)+cos(2β+θ)-cosθ+cosθ]

=AK+OP[sin(β+θ)-2sinβsin(β+θ)+cosθ]

=AK+OP[sin(β+θ)(1-2sinβ)+cosθ].

因為β<30°，θ

所以sin(β+θ)(1-2sinβ)+cosθ>cosθ，

所以S>AK+OP[sin(β+θ)(1-2sinβ)+cosθ]

>AK+OPcosθ=AK+OK=OA.

(ii)當點P在∠AOM內部(如圖15所示)時，

圖15

由α+2β≥90°?α≥90°-2β

?90°>α+θ≥90°-2β+θ>0

?sin(α+θ)≥sin(90°-2β+θ)

?sin(α+θ)≥cos(2β-θ)，

S=PA+PB+PC=PA+OP[sin(β-θ)+sin(α+θ)]

>AK+OP[sin(β-θ)+cos(2β-θ)]

=AK+OP[sin(β-θ)+cos(2β-θ)-cosθ+cosθ]

=AK+OP[sin(β-θ)-2sinβsin(β-θ)+cosθ]

=AK+OP[sin(β-θ)(1-2sinβ)+cosθ].

因為β<30°，θ

所以sin(β-θ)(1-2sinβ)+cosθ>cosθ，

所以S>AK+OP[sin(β-θ)(1-2sinβ)+cosθ]

>AK+OPcosθ=AK+OK=OA.

③當β<30°時，如果∠FOA″=α+2β<90°即過A″作EF的垂線，垂足為G在OF的上.設A″G與MN交點為P0,則點P0為最優點.證明如下:

過點P0作PC的垂線，垂足為R(如圖16所示).

圖16

設∠AP0R=α′，∠AP0M=β′，∠AP0P=θ′，

因為α′+β′=∠AP0R+∠AP0M

=∠MP0R=∠MOF>60°，

故α′、β′中至少有一個大于30°，不妨設α′>30°.

又因為α′+2β′=90°，所以β′<30°；

由α′+2β′=90°?α′+θ′=90°-2β′+θ′

?sin(α′+θ′)=sin(90°-2β′+θ′)

?sin(α′+θ′)=cos(2β′-θ′)，

所以PA+PB+PR

=PA+P0P[sin(β′-θ′)+sin(α′+θ′)]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)+cos(2β′-θ′)]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)+cos(2β′-θ′)-cosθ′+cosθ′]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)-2sin(β′-θ′)sinβ′+cosθ′]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)(1-2sinβ′)+cosθ′]

>PA+P0Pcosθ′=P0A=P0A″,

即PA+PB+PR>P0A″，

所以S=PA+PB+PC

=PA+PB+PR+RC>P0A″+P0G

=A″G，

所以點P0為最優點.